3.8 反比例函数的应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 8　 反比例函数的应用(成都必考) 要点 1 判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象 函数类型 k,k′的符号相同(kk′>0) k,k′的符号相反(kk′<0) 结论 反比例函数 y= k x 与正比例函 数 y= k′x ①k,k′同号,必有两交􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 点􀪍,且两交点关于原 点成中心对称; ②k,k′异号,无交点 反比例函数 y= k x 与一次函数 y= k′x+b ① k, k′同号, 必 有 两􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 交点􀪍􀪍; ②k,k′异号,交点可以 有两个、一个、零个 例 1　 [北师九上 P161 第 6 题]函数 y=ax-a 与 y = a x (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象 可能是 (①　 D　 ) 要点 2 已知两个交点坐标(其中一个交点横坐标或纵坐标用字母表示)求两个 函数解析式 (1)先将已知横、纵坐标的交点的坐标代入反比例函数解析式,求出反比例函数解析式; (2)再将另一个交点已知的横坐标或纵坐标代入反比例函数解析式,求出该交点坐标; (3)最后将两个交点的坐标代入一次函数解析式,求出一次函数解析式. 注:有时也会根据三角形面积求出交点坐标,再按照以上步骤完成. 要点 3 比较两函数值大小,求自变量的取值范围 (1)找交点; (2)分区:过两函数图象的交点分别作 y 轴的平行线,连同 y 轴,将坐标 平面分为四部分,如图,即Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ; (3)观察函数图象找答案:根据图象在上方的函数值总比图象在下方的􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 函数值大􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,在各区域内找相应的 x 的取值范围: ①Ⅰ,Ⅲ区域内: k x >ax+b,自变量的取值范围为 x<xB 或 0<x<xA; ②Ⅱ,Ⅳ区域内:ax+b> k x ,自变量的取值范围为 xB<x<0 或 x>xA . 54 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 4 求图形面积 原始 图形 求 S△AOB 求 S△ADB 求 S△AOB 解 法 一 以 OC 为公共底边, S△AOB =S△BOC+S△AOC 以 CD 为公共底边, S△ADB =S△ADC+S△BDC 以 OC 为公共底边,S△AOB = S△BOC+S△AOC 解 法 二 以OB 为底边,作 AD⊥x 轴 于点D,S△AOB = 1 2 OB·AD 过点 A 作 AE⊥BD,垂足 为 E,S△ADB = 1 2 DB·AE 如图,S△AOB =S△ABE-|k |-S矩形OGEF 例 2　 [人教九下 P9 第 5 题改编]已知一次函数 y= kx+b 的图象与反比例函数 y= m x 的图象的两 例 2 题图 个交点为 A(1,6),B( -2,n) . (1)一次函数的解析式为②　 y = 3x+3　 ,反比例函数的 解析式为③　 y=　 　 ; (2)在平面直角坐标系中画出 y = kx+b 与 y = m x 的图象, 并通过观察图象直接写出: (ⅰ)不等式 kx+b>m x 的解集为④　 x>1或-2<x<0　 ; (ⅱ)不等式 kx+b≤m x 的解集为⑤　 0<x≤1或 x≤-2　 ; (3)连接 AO,BO,则△AOB 的面积为⑥　 　 　 　 . 64 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 5 反比例函数的实际应用 在一个实际问题中,若存在一个常量和两个变量,且满足变量×变量=常量,则考虑反比例函 数模型. 常考类型有: (1)行程问题:路程一定时,速度与时间成反比,即速度=路程 时间 ; (2)压强问题:压力一定时,压强与受力面积成反比,即压强= 压力 受力面积 ; (3)电学问题:电压一定时,电阻与电流成反比,即电阻=电压 电流 ; (4)矩形面积问题:矩形面积一定时,长和宽成反比,即长=面积 宽 . 注:在日常生活中,成反比都是 k>0 的情况,且图象都只是分布在第一象限. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 2 题图 对 点练 习 1. 学科融合 [人教九下 P17 第 8 题改编]已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 I(单位:A)与电阻 R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图 所示. 当蓄电池的电阻为 3 Ω 时,电流为　 12　 A. 2. [2024 达州模拟]某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的 大棚栽培蔬菜. 某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度 y(℃ )与时间 x(h)之间的函数关系如图所示,其中 BC 段是恒温阶段,CD 段是某反 比例函数图象的一部分,请根据图中信息解答下列问题: (1)求 a 的值; (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为 12 ℃到 20 ℃的条件下最适合生长,若某天恒温 系统开启前的温度是 10 ℃ ,那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 当 y=20 时,20= 240 x ,解得 x=12,即 a=12; (2)设 AB 的解析式为:y=mx+n(0≤x≤2), 把(0,10)、(2,20)代入 y=mx+n 中得: n=10, 2m+n=20,{ 解 得 m=5, n=10,{ ∴AB 的解析式为:y=5x+10, 当 y=12 时,12=5x+10,解得 x=0. 4, 令 12= 240 x ,解得 x=20,∴20-0. 4=19. 6, 答:这种蔬菜一天内最适合生长的时间有 19. 6 小时. 温馨提示:请完成分层作业本 P32-35 习题 74 由(1)得,S△BOC = 1 2 ,∴ S△ACD = 4S△BOC = 2, ∴ t+1 = 2,∴ t= 1,∴ 点 D 的坐标为(1,0), 同理,当点 D 在点 B 左侧时,点 D 的坐标为( -3,0), 综上所述,点 D 的坐标为(1,0)或( -3,0) . 第 6 题解图 命题点 5　 一次函数的实际应用 例 1　 (1)y= 5x+450; (2)解:购进 A 款玩偶 15 个,B 款玩偶 30 个时利润最 大,最大利润为 270 元. 例 2　 (1)解:y 关于 x 的函数关系式为 y= 120x,0≤x≤20, 96x+480,x>20.{ (2)解:w 关于 m 的解析式为 w= 30m,0≤m≤10, 300,10<m≤20, 24m-180,m>20. ì î í ïï ï ①s0 　 ②OA　 ③t1 　 ④AB　 ⑤t2 -t1 　 ⑥BC　 ⑦t3 -t2 　 ⑧s0 ⑨s1 　 ⑩AB　 􀃊􀁉􀁓t2 -t1 　 􀃊􀁉􀁔C　 􀃊􀁉􀁕t3 -t2 　 􀃊􀁉􀁖b　 􀃊􀁉􀁗a　 􀃊􀁉􀁘t1 　 􀃊􀁉􀁙b 􀃊􀁉􀁚a　 􀃊􀁉􀁛( t4 -t3 )　 􀃊􀁊􀁒t3 　 􀃊􀁊􀁓t2 　 􀃊􀁊􀁔< 对点练习 1. 解:(1)300; (2)由函数图象可得:甲车的速度为 300 13-8 = 60 km / h;乙车 速度为: 300 12-9 = 100 km / h, 设乙车出发 t 小时后,两车相遇, 由题意可得:60( t+1)= 100t, 解得 t= 1. 5. 答:乙车出发 1. 5 小时后追上甲车; (3)①甲车出发、乙车没有出发,甲乙两车相距 40 km 用 时为 40÷60 = 2 3 h = 40 min,此时为 8:40; ②甲、乙两车相遇前后,甲乙两车相距 40 km 用时与相遇 时间之差为 40÷(100-60)= 1 h; 又有相遇时刻为 9:00+ 1. 5 h = 10:30,则甲乙两车相距 40 km 时的时间为 9:30 和 11:30; ③乙车到达、甲车途中,甲乙两车相距 40 km 的时刻为 13:00- 40 60 ×60 = 12:20. 答:在 8:40,9:30,11:30,12:20 时,两车相距 40 千米. 2. 解:(1)根据题意得: y1 = 20×300+80×(x-20)= 80x+4 400; y2 = (20×300+80x) ×0. 8 = 64x+4 800. (2)设按照方案一的优惠办法购买了 m 件甲种商品,则 按照方案二的优惠办法购买了(20-m)件甲种商品, 根据题意得:w= 300m+[300(20-m) +80(40-m)] ×0. 8 = -4m+7 360, ∵ w 是 m 的一次函数,且 k= -4<0, ∴ w 随 m 的增加而减小, ∴ 当 m= 20 时,w 取得最小值,即按照方案一购买 20 件甲 种商品、按照方案二购买 20 件乙种商品时,总费用最低. 命题点 6　 反比例函数的图象与性质 ①x≠0　 ②一、三　 ③减小　 ④二、四　 ⑤增大　 ⑥±x ⑦原点　 ⑧k　 ⑨<　 ⑩< 对点练习 1. >　 2. <　 3. b<a<c 命题点 7　 反比例函数解析式的确定 及 k 的几何意义 ① | k | 　 ②2　 ③1 对点练习 1. (1)y= 6 x ;(2) -4　 2. D　 3. C 命题点 8　 反比例函数的应用 ①D　 ②y= 3x+3　 ③y = 6 x 　 ④x>1 或-2<x<0　 ⑤0<x≤1 或 x≤-2　 ⑥ 9 2 对点练习 1. 12 2. 解:(1)设 CD 对应函数解析式为 y= k x (a≤x≤24), 把 D(24,10)代入 y= k x (a≤x≤24)中得: k= 24×10 = 240,∴ y= 240 x , 当 y= 20 时,20 = 240 x ,解得 x= 12,即 a= 12; (2)设 AB 的解析式为:y=mx+n(0≤x≤2), 把(0,10)、(2,20)代入 y=mx+n 中得: n= 10, 2m+n= 20,{ 解得 m= 5, n= 10,{ ∴ AB 的解析式为:y= 5x+10, 当 y= 12 时,12 = 5x+10,解得 x= 0. 4, 令 12 = 240 x ,解得 x= 20,∴ 20-0. 4 = 19. 6. 答:这种蔬菜一天内最适合生长的时间有 19. 6 小时. 命题点 9　 二次函数解析式的确定 ①ax2 +bx+c　 ②ax2 　 ③bx　 ④不变　 ⑤不变 对点练习 1. 解:把 A(1,-2)和 B(0,-5)分别代入 y= x2 +bx+c 得 1+b+c= -2, c= -5,{ 解得 b= 2, c= -5,{ ∴ 该二次函数的解析式为 y=x2 +2x-5, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 921