3.5 一次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

由(1)得,S△BOC = 1 2 ,∴ S△ACD = 4S△BOC = 2, ∴ t+1 = 2,∴ t= 1,∴ 点 D 的坐标为(1,0), 同理,当点 D 在点 B 左侧时,点 D 的坐标为( -3,0), 综上所述,点 D 的坐标为(1,0)或( -3,0) . 第 6 题解图 命题点 5　 一次函数的实际应用 例 1　 (1)y= 5x+450; (2)解:购进 A 款玩偶 15 个,B 款玩偶 30 个时利润最 大,最大利润为 270 元. 例 2　 (1)解:y 关于 x 的函数关系式为 y= 120x,0≤x≤20, 96x+480,x>20.{ (2)解:w 关于 m 的解析式为 w= 30m,0≤m≤10, 300,10<m≤20, 24m-180,m>20. ì î í ïï ï ①s0 　 ②OA　 ③t1 　 ④AB　 ⑤t2 -t1 　 ⑥BC　 ⑦t3 -t2 　 ⑧s0 ⑨s1 　 ⑩AB　 􀃊􀁉􀁓t2 -t1 　 􀃊􀁉􀁔C　 􀃊􀁉􀁕t3 -t2 　 􀃊􀁉􀁖b　 􀃊􀁉􀁗a　 􀃊􀁉􀁘t1 　 􀃊􀁉􀁙b 􀃊􀁉􀁚a　 􀃊􀁉􀁛( t4 -t3 )　 􀃊􀁊􀁒t3 　 􀃊􀁊􀁓t2 　 􀃊􀁊􀁔< 对点练习 1. 解:(1)300; (2)由函数图象可得:甲车的速度为 300 13-8 = 60 km / h;乙车 速度为: 300 12-9 = 100 km / h, 设乙车出发 t 小时后,两车相遇, 由题意可得:60( t+1)= 100t, 解得 t= 1. 5. 答:乙车出发 1. 5 小时后追上甲车; (3)①甲车出发、乙车没有出发,甲乙两车相距 40 km 用 时为 40÷60 = 2 3 h = 40 min,此时为 8:40; ②甲、乙两车相遇前后,甲乙两车相距 40 km 用时与相遇 时间之差为 40÷(100-60)= 1 h; 又有相遇时刻为 9:00+ 1. 5 h = 10:30,则甲乙两车相距 40 km 时的时间为 9:30 和 11:30; ③乙车到达、甲车途中,甲乙两车相距 40 km 的时刻为 13:00- 40 60 ×60 = 12:20. 答:在 8:40,9:30,11:30,12:20 时,两车相距 40 千米. 2. 解:(1)根据题意得: y1 = 20×300+80×(x-20)= 80x+4 400; y2 = (20×300+80x) ×0. 8 = 64x+4 800. (2)设按照方案一的优惠办法购买了 m 件甲种商品,则 按照方案二的优惠办法购买了(20-m)件甲种商品, 根据题意得:w= 300m+[300(20-m) +80(40-m)] ×0. 8 = -4m+7 360, ∵ w 是 m 的一次函数,且 k= -4<0, ∴ w 随 m 的增加而减小, ∴ 当 m= 20 时,w 取得最小值,即按照方案一购买 20 件甲 种商品、按照方案二购买 20 件乙种商品时,总费用最低. 命题点 6　 反比例函数的图象与性质 ①x≠0　 ②一、三　 ③减小　 ④二、四　 ⑤增大　 ⑥±x ⑦原点　 ⑧k　 ⑨<　 ⑩< 对点练习 1. >　 2. <　 3. b<a<c 命题点 7　 反比例函数解析式的确定 及 k 的几何意义 ① | k | 　 ②2　 ③1 对点练习 1. (1)y= 6 x ;(2) -4　 2. D　 3. C 命题点 8　 反比例函数的应用 ①D　 ②y= 3x+3　 ③y = 6 x 　 ④x>1 或-2<x<0　 ⑤0<x≤1 或 x≤-2　 ⑥ 9 2 对点练习 1. 12 2. 解:(1)设 CD 对应函数解析式为 y= k x (a≤x≤24), 把 D(24,10)代入 y= k x (a≤x≤24)中得: k= 24×10 = 240,∴ y= 240 x , 当 y= 20 时,20 = 240 x ,解得 x= 12,即 a= 12; (2)设 AB 的解析式为:y=mx+n(0≤x≤2), 把(0,10)、(2,20)代入 y=mx+n 中得: n= 10, 2m+n= 20,{ 解得 m= 5, n= 10,{ ∴ AB 的解析式为:y= 5x+10, 当 y= 12 时,12 = 5x+10,解得 x= 0. 4, 令 12 = 240 x ,解得 x= 20,∴ 20-0. 4 = 19. 6. 答:这种蔬菜一天内最适合生长的时间有 19. 6 小时. 命题点 9　 二次函数解析式的确定 ①ax2 +bx+c　 ②ax2 　 ③bx　 ④不变　 ⑤不变 对点练习 1. 解:把 A(1,-2)和 B(0,-5)分别代入 y= x2 +bx+c 得 1+b+c= -2, c= -5,{ 解得 b= 2, c= -5,{ ∴ 该二次函数的解析式为 y=x2 +2x-5, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 921 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 5　 一次函数的实际应用(成都 8 年 4 考) 类型 1 购买销售费用最值问题(成都 2023. 24;2020. 26;2018. 26) 1.常考设问:如何购进费用最低;哪种方案利润最大等. 2.解题步骤:确定函数关系式→确定自变量取值范围→结合函数增减性求最值. 3.自变量取值范围的确定:如已知 A,B 两种物品共 m 个,设 A 有 x 个,则 B 有(m-x)个,由 “A 的数量不大于 B 的 n 倍”列不等式 x≤n(m-x)可得 x 的取值范围. 注意关键词:不大 于、不超过、不低于等. 4.理解一次函数最值:对于一次函数 y= kx+b,当 m≤x≤n 时,若 k>0,y 随 x 的增大而增大, 则当 x=m 时,y 值最小,当 x=n 时,y 值最大;反之,当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小,则当 x=m 时,y 值最大,当 x=n 时,y 值最小. 例 1　 [2024 泸州十五中二模]小冬在某网店选中 A,B 两款玩偶,决定从该网店进货并销售. 两 款玩偶的进货价和销售价如表: A 款玩偶 B 款玩偶 进货价(元 / 个) 20 15 销售价(元 / 个) 28 20 (1)若小东计划购进 A,B 两款玩偶共 30 个,其中购进 A 款玩偶 x 个,所需总费用为 y 元, 则 y 关于 x 的函数关系式为　 y=5x+450　 ; 审:由 A,B 共 30 个,A 有 x 个得 B 有(30-x)个,结合 A,B 的进货价列出总费用. 基本关系式为:费用=进货价×数量 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (2)网店规定 A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的一半. 小冬计划购进两款 玩偶共 45 个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少? 审(解读关键句): ①“A 款……不得超过 B 款……一半”→A 的数量≤B 的数量× 1 2 ②“……最大利润”→利润=(销售价-进货价)×销量;总利润= A 的利润+B 的利润 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解:设购进 A款玩偶 m 个,则购进 B 款玩偶(45-m)个, ∵A款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的一半, ∴m≤ 1 2 (45-m),解得 m≤15. 设小冬获得利润 w 元,根据题意得 w=(28-20)m+(20-15)(45-m)= 3m+225. ∵3>0,∴w 随 m 的增大而增大, ∴当 m=15 时,w 最大,最大值为 3×15+225=270. 此时 45-15=30(个) . 答:购进 A款玩偶 15 个,B 款玩偶 30 个时利润最大,最大利润为 270 元. 83 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 类型 2 分段讨论问题 1. 两种考法 考法 1:图象分段,即已知函数图象分不同阶段; 考法 2:阶梯收费类,即分档(关键句:不超过…,按…,超过…按…) . 2. 解题策略:函数图象有几段,就可求几个函数解析式,注意“拐点”承接前后两段函数. 求 出函数解析式后,一定要注意添加对应的自变量取值范围. 例 2　 某商店计划购进一批篮球,所需费用 y 元与购进数量 x 个之间的函数关系如图所示. (1)计算 y 关于 x 的函数关系式; 审(解读函数图象): ①横轴 x 表示个数,纵轴 y 表示所需费用; ②图象分两段,其中 0≤x≤20 是正比例函数,且经过点(20,2 400),x≥20 是一次函 数,且经过点(20,2 400)和(40,4 320) . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 例 2 题图 解:当 0≤x≤20 时,设 y=kx(k≠0), 将点(20,2 400)代入得 20k=2 400,解得 k=120, ∴ y=120x; 当 x>20 时,设 y=k1x+b(k1≠0), 将点(20,2 400),点(40,4 320)代入得 20k1+b=2 400, 40k1+b=4 320,{ 解得 k1 =96, b=480,{ ∴ y=96x+480, 综上:y 关于 x 的函数关系式为 y= 120x,0≤x≤20, 96x+480,x>20.{ (2)销售时,该商店规定:若一次性购买 10 个以内(含 10 个),按每个 150 元收费,若购 买 10 个以上,其中 10 个按 150 元收费,超出 10 个的部分打八折. 设商店卖出m 个篮 球可获利 w 元,试求 w 关于 m 的函数解析式. 审(解读关键句): ①“若……10 个以内(含 10 个),按每个 150 元”→当 0≤m≤10 时,收费= 150m; ②“若……10 个以上,其中 10 个按 150 元收费,超出 10 个的部分打八折” →当 m>10 时,收费= 150×10+150×0. 8×(m-10) . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解:根据题意,当 0≤m≤10 时,收费 p=150m 元, ∵成本是 y=120m 元,∴w=150m-120m=30m; 当 10<m≤20 时,收费 p=150×10+150×0. 8(m-10)= 120m+300, 成本是 y=120m 元,∴w=120m+300-120m=300; 当 m>20 时,收费 p=150×10+150×0. 8(m-10)= 120m+300, 成本是 y=96m+480,∴w=120m+300-(96m+480)= 24m-180. 答:w 关于 m 的解析式为 w= 30m,0≤m≤10, 300,10<m≤20, 24m-180,m>20. ì î í ï ï ï ï 93 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 类型 3 多方案比较问题 1. 考查方式:以文字型或图象型或文字与图象结合型描述两个或多个不同方案,常考设问 为:比较哪种方案更合算 /更优惠;应如何选择合理的方案等. 2. 解题策略:利用 y1 >y2,y1 = y2,y1 <y2 确定 x 的值或者 x 的取值范围,再确定方案. 类型 4 行程问题(以下均为匀速运动)(成都 2022. 24) 类型 图象及背景 得到的信息 单人 单线 往返 背景:某人从甲地前往乙 地,停留一段时间后返回 甲地 (1)甲、乙两地间的距离为　①　 s0 　 ; (2)表示前往乙地的图象是线段　②　 OA　 ,所用 时间为　③　 t1 　 ; (3)表示在乙地停留的图象是线段　④　 AB　 ,所 用时间为　⑤　 t2-t1 　 ; (4)表示从乙地返回甲地的图象是线段　⑥　 BC　 , 所用时间为　⑦　 t3-t2　 单程 背景:某人从甲地前往乙 地,途中停留一会后继续前 进并到达乙地 (1)甲、乙两地间的距离为⑧　 s0 　 ; (2)停留地与甲地的距离为⑨　 s1 　 ; (3)表示途中停留的图象是线段　⑩　 AB　 ,中途 停留的时间为　􀃊􀁉􀁓　 t2-t1 　 ; (4)表示到达乙地的点是　􀃊􀁉􀁔　 C 　 ,从停留地到 乙地用时为　􀃊􀁉􀁕　 t3-t2 　 双人 双线 追及 背景:OA 与 BC 分别表示 a 车与 b 车从甲地不同时 出发前往乙地 (1) 　􀃊􀁉􀁖　 b　 车比　􀃊􀁉􀁗　 a　 车晚　􀃊􀁉􀁘　 t1 　 h 出发; (2) 　􀃊􀁉􀁙　 b　 车比　􀃊􀁉􀁚　 a　 车早　􀃊􀁉􀁛　 ( t3) 　 h 到达 乙地; (3)点 D 的实际意义为 t2 时刻 b 车在距离甲地 s1 处追上 a 车; (4)若 a 车的速度为 va,b 车的速度为 vb,则追及 时在时间上存在等量关系: s1 va - s1 vb = t1 相遇 背景: a 车从甲地前往乙 地,b 车从乙地前往甲地,两 车同时出发 (1)a,b 两车相向而行,a 车到达乙地的时刻为 　􀃊􀁊􀁒　 t3　 ,b 车到达甲地的时刻为　􀃊􀁊􀁓　 t2　 ; (2)若a 车的速度为 va,b 车的速度为 vb,则 va　􀃊􀁊􀁔 < vb (填“>”“<”或“ =”); (3)点 D 的实际意义为 t1 时刻 a,b 两车在距离 甲地 s1 处相遇; (4)相遇时在路程上存在等量关系:s0 = va t1 +vb t1 04 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 1 题图 对 点练 习 1. 2024 年清明节,某校七年级师生乘大客 车去通江王坪川陕革命根据地红军烈 士陵园研学. 该年级师生 8:00 从学校出 发,13:00 到达目的地,可是 5 班小明同 学睡过了头,错过了出发时间,于是小 明爸爸开私家车沿同一路线送他去目 的地,他们 9:00 出发. 甲车代表大客车, 乙车代表私家车,汽车离学校的距离 y(km)与时间 t(h)的关系如图所示. (1)学校距离目的地　 300　 千米; (2)乙车出发多少小时后追上甲车? (3)在什么时刻,两车相距 40 千米? 解:(1)300; (2)由函数 图象可得: 甲车的速度 为 300 13-8 = 60 km / h;乙车 速度为 300 12-9 =100 km / h, 设乙车出发 t 小时后,两车相遇, 由题意可得:60( t+1)= 100t, 解得 t=1. 5. 答:乙车出发 1. 5 小时后追上甲车; (3)①甲车出发、乙车没有出发,甲乙两 车相距 40 km 用时为 40 ÷ 60 = 2 3 h = 40 min,此时为 8:40; ②甲、乙两车相遇前后,甲乙两车相距 40 km 用时与相遇时间之差为 40÷(100 -60)= 1 h; 又有相遇时刻为 9:00+1. 5 h=10:30,则 甲乙两车相距 40 km 时的时间为 9:30 和 11:30; ③乙车到达、甲车途中,甲乙两车相距 40 km的时刻为 13:00-40 60 ×60=12:20. 答:在 8:40,9:30,11:30,12:20 时,两车 相距 40 千米. 2. 某批发门市销售两种商品,甲种商品每 件售价为 300 元,乙种商品每件售价为 80 元. 新年来临之际,该门市为促销制 定了两种优惠方案: 方案一:买一件甲种商品就赠送一件乙 种商品; 方案二:按购买金额打八折付款. 某公司为奖励员工,购买了甲种商品 20 件,乙种商品 x(x≥20)件. (1) 分别写出优惠方案一购买费用 y1 (元)、优惠方案二购买费用 y2(元) 与所买乙种商品 x(件)之间的函数 关系式; (2)若该公司共需要甲种商品 20 件,乙 种商品 40 件. 设按照方案一的优惠 办法购买了 m 件甲种商品,其余按 方案二的优惠办法购买. 请你写出 总费用 w 与 m 之间的关系式;利用 w 与 m 之间的关系式说明怎样购买 最实惠. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 温馨提示:请完成分层作业本 P24-28 习题 14