2.4 一元一次不等式(组)及其应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·四川数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元一次不等式(组)及其应用(成都必考) 要点 1 不等式的基本性质 基本性质 文字表达 数学表达 性质 1 不等式两边加(或减)同一个数 (或式子),不等号的方向不变 如果 a>b,那么 a+c①　 >　 b+c(或 a-c>b-c) 性质 2 不等式两边乘(或除以)同一个 正数,不等号的方向不变 如果 a>b,c>0,那么 ac②　 >　 bc(或 a c > b c ) 性质 3 不等式两边乘(或除以)同一个 负数,不等号的方向改变 如果 a>b,c<0,那么 ac③　 <　 bc(或 a c < b c ) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. [人教七下 P120 第 4 题改编]用“ >”“ <”或“ = ”填空: (1)若 a<b,则 a+1　 <　 b+1;　 　 　 　 　 (2)若-2a>-2b,则 a　 <　 b; (3)若 a<b,则 a 3 　 <　 b 3 ; (4)若 a(c2 +1) <b(c2 +1),则 a　 <　 b. 要点 2 一元一次不等式的解法及解集表示(成都每年考 1 道解一元一次不等式组) 解法步骤 与解一元一次方程类似:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项; ⑤系数化为 1(特别注意性质 3 的变号) 注:根据实际情况选择解题步骤,如不等式中无分母,则跳过① 解集 的表示 数轴上 的表示 解集 ④　 x<a　 ⑤　 x>a　 ⑥　 x≤a　 ⑦　 x≥a　 温馨提示:在数轴上表示解集时,要注意“两定”:一定边界点,二定方向. 定边界点时,“≥” 或“≤”是实心圆点,“>”或“<”是空心圆圈;定方向的原则为小于向左,大于向右. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 解不等式 x+1>x +4 2 ,并把它的解集在数轴上表示出来. 解:去分母,得 2(x+1)>x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 62 基础夯实练·四川数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 要点 3 一元一次不等式组的解法及解集表示 (1)不同类型一元一次不等式组解集的表示 类型(b>a) x>a x>b{ x<a x≤b{ x≥a x<b{ x<a x≥b{ 数轴上表示 解集 　⑧　 　 x>b　 　⑨　 　 x<a　 　􀃊􀁉􀁒　 a≤x<b　 无解 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 (2)一元一次不等式组的解法步骤 解法步骤 示例:解不等式组 1+x>-2 2x-1 3 ≤x ì î í ï ï ïï 步骤一:求解各不等式的解集 解不等式 1+x>-2 得　􀃊􀁉􀁓　 x>-3　 ; 解不等式 2x-1 3 ≤x 得　􀃊􀁉􀁔　 x≥-1　 ; 步骤二:画解集. 将每个不等式的解集表示在数 轴上(可以在稿纸上进行) 请在数轴上画出对应的解集 步骤三:写解集. 根据公共部分写出解集,如果 没有公共部分,则不等式组无解 这个不等式组的解集为　􀃊􀁉􀁕　 x≥-1　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. 求下列不等式组的解集. (1) x+4>3, 6x≤5x+3;{ (2) x+1≥0, 3x+1 2 >2x-1. ì î í ï ï ïï 要点 4 求不等式组解集中整数解的方法:先将不等式组的解集表示在数轴上,如图所示. 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 图 3 (1)如图 1,∵ 解集的端点都是空心圆圈,即端点值取不到,∴ 整数解为　􀃊􀁉􀁖　 0 和 1　 ; (2)如图 2,∵ 解集的端点都是实心圆点,即端点值可以取到,∴ 整数解为　􀃊􀁉􀁗　 -1、0、1、2　 ; (3)如图 3,虽然端点- 1 2 处是实心圆点,但是- 1 2 不是整数取不到,∴ 整数解为　􀃊􀁉􀁘　 0和 1　 . 72 基础夯实练·四川数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 要点 5 含参不等式(组)的相关计算 ◆含参不等式问题 例 1　 若关于 x 的不等式为 x-a>1. (1)该不等式的解集为 x>-1,则 a 的值为􀃊􀁉􀁙　 -2　 ; (2)该不等式的最小整数解为 2,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁚　 0≤a<1　 ; (3)该不等式有且只有 3 个负整数解,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁛　 -5≤a<-4　 . 【思维模型———数形结合】 第一步:先将不等式化为 x>1+a; 第二步:在数轴上表示画出 x>1+a,如图所示; 第三步:结合题中信息确定 1+a 的值或范围,得出结论 (1)思路:由不等式解集 为 x> - 1,可得数 1 +a 和 -1 相等,即可得 a 的值. (2)思路:在数轴上画出 1, 2,由最小整数解是 2,得 1+a 在 1 和 2 之间,如图. 注意:1 +a 可以是 1 但不能 是 2 (3)思路:由不等式有且只有 3 个负整数解得负整数解是- 1, -2,-3,即不等式的最小整数解 是-3,即-4≤1+a<-3,如图. ◆含参不等式组问题 例 2　 已知关于 x 的不等式组 x≥m,① 5x-2<4x+1. ②{ (1)若该不等式组无解,则 m 的取值范围是􀃊􀁊􀁒　 m≥3　 ; (2)若该不等式组有且只有 2 个整数解,则 m 的取值范围是􀃊􀁊􀁓　 0<m≤1　 . 【思维模型———数形结合】第一步:先求不等式②5x-2<4x+1 的解集为 x<3; 第二步:在数轴上表示画出不等式②的解集,如图所示;第三步:结合题意 画 x≥m 的大致位置 (1)思路:不等式组无解即 x≥m 与②没有公共部分, 画图如下,可得 m 的取值范围. 思考:m 能为 3 吗,为什么? (2)思路:由不等式组有且只 有 2 个整数解,结合②的解集 得这两个整数解是 2 和 1,即不等式 x≥m 的 最小整数解是 1,画图如下,可得 m 的取值 范围. 温馨提示:解含参不等式(组)的问题,一定要注意临界的取舍,看清空心和实心是关键. 要点 6 一元一次不等式的实际应用(成都 8 年 3 考,与不等式或一次函数结合考查) ◆常见关键词与对应不等号:见到“大于、多于、超过、高于”用􀃊􀁊􀁔　 >　 ;见到“小于、少于、不 足、低于”用􀃊􀁊􀁕　 <　 ;见到“至少、不低于、不小于、不少于”用􀃊􀁊􀁖　 ≥　 ;见到“至多、不超过、 不大于、不多于”用􀃊􀁊􀁗　 ≤　 . (1)购买 A,B 共 m 个,且 A 不少于􀪍􀪍􀪍 B 的 1 n ,设购买 A x 个,可列不等式为􀃊􀁊􀁘x≥　 (m-x); (2)购买 A,B 共 m 个,A 的单价为 a 元,B 的单价为 b 元,总费用不超过􀪍􀪍􀪍 n 元. 设购买 A x 个, 则可列不等式为􀃊􀁊􀁙　 ax+b(m-x)≤n　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P15-16 习题 82 2.2变式231 x+y=24. 2 533*22zx Gx=1经检验，x=1是原分 4.7.2km/h,2.6km/h5. (4×3x=12y 式方程的解，且符合实际⑧乙队的施工速度快 命题点2一元二次方程及其应用 对点练习 ①a≠0②a≠0③两个不相等④没有⑤a(1+x) L.(1)x=1是分式方程的解 6a(1-x)⑦①(a-2x)(b-2x)⑧(a-x)(b-x） (2)x=1是分式方程的增根，分式方程无解. 2.(1)4:(2)3或4：(3)0<m<2:(4)0:(5)2或0 ⑨x.mW.m+1 2 2 (a-2x)(b-2x)Bax 200+10=10000 43540.540+60 1.5x B(1+x) x xx+20 对点练习 5.原计划每天挖掘隧道的长度变式6 1.1,2,3,-2,2,-3.2,-2.12.16.36.6 命题点4一元一次不等式（组）及其应用 3.(1)解：x,=1+W5,名=1-5： ①>②>③<④x<a⑤x>a6x≤a⑦x≥a8x>b 1 ⑨x<a0a≤x<b①x>-32x≥-1Bx≥-10和1 (2)解：x=2,=2 -1.0,1260和1-2B0≤a<19-5≤a<-4 4.(1)a<4且a≠0：(2)4：(3)a>4:(4)a≤4 0m≥3L0<m≤122>3<2≥5≤ 5.(1)4:(2)-2:(3)-2:(4)20 国x≥1（m-对）ar+h(m-x)≤n 6.(40-2x)(26-x)=144×6.2 命题点3分式方程及其应用 对点练习 1.(1)<:(2)<:(3)<:(4)< ①600 2+103350④600-2x350 5x=60 x+10 x+10 2.解：x>2, ⑥经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意⑦70 解集在数轴上表示略。 8A种书包每个进价为60元，B种书包每个进价为0元 3.解：(1)这个不等式组的解集为-1<x≤3 %:e器 (2)这个不等式组的解集为-1≤x<3. 3x 3x604x 第三章 函 数 命题点1平面直角坐标系 命题点4一次函数的图象与性质及其应用 ①y②x③x=0且y=0④纵⑤横⑥(x,-y) ⑦(-x,y）⑧(-x,y）⑨(x+a,y) 0(x,3+a) ④-、二，三 (x,)-a)Blal Ba+By:-I 对点练习 ⑤-、三，四6一，三⑦一二四⑧二三四 1二；一：四：三拓展1-1∥：1： ⑨二，0增大减小2(-专，0)B(0,b 拓展1-2左：2：下：5：拓展1-3B,D:(1,-2) <5<0<m<B>9>9>2> 2.(1)-2:2:(2)-2<m<2:m>2:三：(3)-1：-4 对点练习 命题点2函数及函数图象的分析与判断 例1C例2B 1增大：一、三，四：(1,0)：(0，-2)：减小；一二、四：(2 对点练习 0):(0,1) 1.C2.x≠1：x≥1：>1：x>1 2.>:>:<;=:<:< 命题点3一次函数解析式的确定 3.(1)-1:(2)<:(3)>:≥：(4)C4.A5.A 例1-2 6(1)2:(23: 例2这个一次函数的解析式为y=x+2 (3)解：如解图，当点D在点B右侧时，作CE∥x轴交AD 3 例3(1)=2： 于点E,设点D的坐标为(1,0)， 33t (2)y的函数解析式为y2=-2x+4 可得直线D的解析式为y2一-2 对点练习 1.(1)y= 2*l:(2y=2x 则点E的坐标为(2+2 ,1)CE=24+2 3 2.西图略：y=-2x+4:y=-2x:y=-2x+3:y=-2x+1 Sn=S+Sac=2CEy=1. 128