2.2 一元二次方程及其应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·四川数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 2　 一元二次方程及其应用(成都仅 2023 年未考查) 要点 1 一元二次方程的概念 一般地,形如 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的方程是一元二次方程,其中 ax2 是二次项,bx 是一次项,c 是常数项,a,b 分别是二次项系数,一次项系数. 易错警示:对于方程 ax2 +bx+c= 0,只有当①　 a≠0　 时才是一元二次方程;若 ax2 +bx+c= 0 是一元二次方程,则必然隐含着②　 a≠0　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 请在表格中,写出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 方程 二次项系数 一次项系数 常数项 x2 +2x+3 = 0 1 2 3 -2x2 +2x-3 = 0 -2 2 -3 2x2 = 2x-1 2 -2 1 要点 2 一元二次方程的解法(基本思路:降次) 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 x2 = p(p≥0) x1 = p ,x2 = - p (x+n) 2 = p(p≥0) x1 = p -n,x2 = - p -n 因式分解法 (x-a)(x-b)= 0 x1 =a,x2 =b x(ax+b)= 0 x1 = 0,x2 =- b a 公式法 任意一元二次方程: ax2 +bx+c= 0 (a≠0,b2 -4ac≥0) 求根公式为 x= -b± b2-4ac 2a , 在使用求根公式时: (1)要先将一元二次方程化为一般形式; (2)确定 a,b,c 的值时要带符号 配方法 任意的一元二次方程,转 化为形如 x2 + 2mx - n = 0 (一般用于二次项系数化 为 1 后一次项系数是偶数 的方程) 求解过程: 变形得 x2 +2mx=n, 配方得 x2 +2mx+m2 =n+m2, 即(x+m) 2 =n+m2, 解得 x= ± n+m2 -m 注意:二次项系数不是 1 的先化为 1 易错警示:对于方程两边含有相同因式(如 2x(x-1)= 3(x-1))的一元二次方程,切勿直接约 去公因式求解导致丢根􀪍􀪍,正确做法是将方程化为两个因式之积等于 0 的形式,利用因式分解法 求解. 02 基础夯实练·四川数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. [北师九上 P36 做一做改编]x2 +8x+　 16　 = (x+4) 2;x2 -12x+　 36　 = (x-　 6　 ) 2 . 3. 请用你认为的最佳方法解下列方程. (1)x2 -2x-4 = 0;　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (2)2x2 -5x+2 = 0. 解:由原方程得 x2-2x=4, 则 x2-2x+1=4+1,即(x-1) 2 =5, ∴ x-1=± 5 , ∴ x1 =1+ 5 ,x2 =1- 5 ; 解:∵ a=2,b=-5,c=2, ∴ b2-4ac=(-5) 2-4×2×2=9>0, ∴ x=5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 =2,x2 = 1 2 . 要点 3 一元二次方程根的判别式(成都 2020. 22;2018. 16) b2 -4ac 叫作一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根的判别式. (1)b2 -4ac>0⇔方程有③　 两个不相等　 的实数根; (2)b2 -4ac= 0⇔方程有两个相等的实数根(x1 = x2 =- b 2a ); (3)b2 -4ac<0⇔方程④　 没有　 实数根. 由(1)、(2)知 b2 -4ac≥0⇔方程有两个实数根. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 4. 已知关于 x 的方程 ax2 -4x+1 = 0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是　 a<4 且 a≠0　 ; (2)若该方程有两个相等的实数根,则 a 的值为　 4　 ; (3)若该方程没有实数根,则 a 的取值范围是　 a>4　 ; (4)若该方程有实数根,则 a 的取值范围是　 a≤4　 . 要点 4 一元二次方程根与系数的关系(成都 8 年 5 考) 若方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1 +x2 =- b a ,x1x2 = c a . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 拓展 依据根与系数关系求代数式值的常用变形 x21 +x22 = (x1 +x2) 2 -2x1x2;　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (x1 -x2) 2 = (x1 +x2) 2 -4x1x2; (x1 +m)(x2 +m)= x1x2 +m(x1 +x2) +m2;　 　 　 　 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 . 【易错警示】根据根与系数的关系求方程字母系数的数值一定要保证方程有根. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 5. 若一元二次方程 x2 -4x-2 = 0 的两根分别为 x1,x2,且 x1 >x2,则: (1)x1 +x2 = 　 4　 ;(2)x1·x2 = 　 -2　 ;(3) 1 x1 + 1 x2 = 　 -2　 ;(4)x21 +x22 = 　 20　 . 12 基础夯实练·四川数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 要点 5 一元二次方程的实际应用 ◆ 变化率问题 (1)若原来的量为 a,连续两次增长后变为 b,设平均增长率为 x,则 b= 　⑤　 a(1+x) 2 　 ; (2)若原来的量为 a,连续两次下降后变为 b,设平均下降率为 x,则 b= 　⑥　 a(1-x) 2 　 . ◆ 面积问题 (1)如图 1,设阴影道路的宽为 x,则 S空白 = ⑦　 (a-2x)(b-2x) 　 ; 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 (2)如图 2、图 3、图 4,设阴影道路的宽为 x,则 S空白 = ⑧　 (a-x)(b-x) 　 ; (3)如图 5,用总长为 m 米的篱笆,围成一个矩形,一边靠墙,若平行于墙的一边长为 x 米(墙 面长度大于 x 米),则所围成矩形的面积 S = ⑨　 x·　 　 ;如图 6,当在边上留 1 米的门 时,S= ⑩　 x·　 　 ; 图 5 　 　 　 图 6 　 　 　 图 7 (4)如图 7,长为 a,宽为 b 的矩形 ABCD 的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形后做成一个 无盖的盒子,则该盒子的底面积 S= 􀃊􀁉􀁓　 (a-2x)(b-2x) 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 6 题图 对 点练 习 6. 如图所示,某小区计划在一个“长为 40 m,宽为 26 m”的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的道路,使其中两条与 AB 平行,另一条 与 AD 平行,其余部分种草(阴影部分),若使每一块草坪的面积 都是 144 m2,设道路的宽为 x m,可列方程为　 (40-2x)(26-　 , x 的值为　 2　 . ◆其他问题 (1)细胞分裂问题:现有 a 个细胞,若每轮分裂中每一个细胞可分裂成 x 个细胞,则第一轮分 裂后的细胞总数为 ax,第二轮分裂后的细胞总数为􀃊􀁉􀁔　 ax2 　 ; (2)病毒传染问题:有一个人患流感,若每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,则第一轮后共 有(1+x)个人患流感,第二轮后共有􀃊􀁉􀁕　 (1+x) 2 　 个人患流感; (3)握手问题:有 n 个人相互之间只握一次手,则每个人需要握手(n-1)次,总握手次数为 n(n-1) 2 次; (4)互赠礼物问题:一个班级有 n 名同学,每两名同学之间都要互相赠送一个礼物,则每名同 学需赠送礼物(n-1)个,总的礼物个数为 n(n-1)个. 温馨提示:请完成分层作业本 P11-12 习题 22 2.2变式23.1 6x=1经检验，x=1是原分 x+=24. 2 33*2+21 4.7.2km/h.2.6km/h5. (4×3x=12) 式方程的解，且符合实际母乙队的施工速度快 命题点2 一元二次方程及其应用 对点练习 ①a≠0②u≠0③两个不相等④没有⑤a(1+x) L.(1)x=1是分式方程的解 (2)x=1是分式方程的增根，分式方程无解. ⑥a(1-x)2⑦(a-2x)(b-2x）⑧(a-x)(6-x) 2.(1)4:(2)3或4：(3)0<m<2:(4)0:(5)2或0 ⑨x.mW.m+1- 0i(a-2x)(b-2x)2a.x 2 2 1200+100=10000 4540.540+60 1.5x B(1+x) x+20 对点练习 5.原计划每天挖掘隧道的长度变式6 1.1.2.3,-2.2,-3.2,-2.12.16.366 命题点4一元一次不等式（组）及其应用 3.(1)解：x,=1+5x=1-5: ①>②>③<④x<a⑤x>n6x≤a⑦x≥a⑧x>b ⑨x<a①a≤x<bmx-32r≥-1Br≥-10和1 (2)解：x,=2,x=2 5-1.0,1.260和1-2B0≤a<10-5≤a<-4 4.(1)a<4且a≠0：(2)4：(3)a>4:(4)a≤4 20m≥3I0<m≤12>☒<4≥5≤ 5.(1)4:(2)-2:(3)-2:(4)20 x≥上(m-)②ar+6(m-)≤n 6.(40-2x)(26-x)=144×6,2 命题点3分式方程及其应用 对点练习 1.(1)<:(2)<:(3)<:(4)< ①600 ④60-2x350 ⑤x=60 x 2+108350 x+10 x+10 2.解：x>2. ⑥经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意⑦70 解集在数轴上表示略. ⑧A种书包每个进价为60元，B种书包每个进价为70元 3.解：(1)这个不等式组的解集为-1<x≤3 (2)这个不等式组的解集为-1≤x<3. 3x 3x604x 第三章 函 数 命题点1平面直角坐标系 命题点4一次函数的图象与性质及其应用 ①y②x③x=0且y=0④纵⑤横6(x,y) ⑦(-x,y）8(-x,-y）⑨(x+a,y） 0(x,y+a) ④一、二、三 ①(x,y-a)21alBa+1y2y ⑤一、三四6一、三⑦一、二、四⑧二、三、四 对点练习 6 1.二；一：四：三拓展1-1：1： ⑨二，四0增大①减小(-车0)B(0,b) 拓展1-2左：2：下：5：拓展1-3B,D:(1,-2) 0<5<6<7<8>9>>4> 2.(1)-2:2:(2)-2<m<2:m>2:三：(3)-1：-4 对点练习 命题点2函数及函数图象的分析与判断 例1C例2B 1增大；一三四：(1,0)：(0，-2)：减小：一二、四：(2 对点练习 0):(0.1) 1.C2.x≠1：x≥1：x>1:x>1 2.>:>:<:=:<;< 命题点3一次函数解析式的确定 3.(1)-1:(2)<:(3)>:≥：(4)C4.45.A 例1-2 6)(23 例2这个一次函数的解析式为y=x+2 (3)解：如解图，当点D在点B右侧时，作CE轴交AD 3 例3(1)=2 于点E,设点D的坐标为(1,0)， 可得直线4D的解析式为)2一+-2 331 (2)y1的函数解析式为2=-2x+4 对点练习 1.(1)y=- 2-1:(2)y=2x 则点E的坐标为等2.)…03： 3 2.画图略：y=-2x+4:y=-2xy=-2+3y=-2x+1 六Sao=5a4a+5aw2CE·=+l, 128