1.4 整式与因式分解-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·四川数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 4　 整式与因式分解(成都必考) 要点 1 列代数式及求值(成都 2020. 21;2018. 21) 代数式 用基本运算符号将数或表示数的字母连接所成的式子. 单独的一个数或一个字 母也是代数式 列代数式 在一个现实情境中,用代数式把其中的数量关系表示出来 温馨提示:多项式后面带单位时,多项式要用括号括起来,如:(x+y)米 代数式 求值 直接代入法:例如:已知 a= -2,则 2a+3 = 2×(-2)+3 = -1 整体代入法: 例如:已知 a2 +2a-3 = 0,求代数式 9-2a2 -4a 的值. 第一步:先变形,即 a2 +2a= 3,9-2a2 -4a= 9-2(a2 +2a); 第二步:将 a2 +2a 看成一个整体代入,得原式= 9-2×3 = 3. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 已知 2x+y= 3,用含 x 的代数式表示 y,则 y= 　 -2x+3　 . 2. 已知:a+b= 　 3 ,则 1 2 a2 +ab+ 1 2 b2 = 　 　 　 . 要点 2 简单数列推理 (1)正整数型:若一列正整数:1,2,3,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n,这 n(n≥1)个 数的和为 n(n+1) 2 ; (2)奇偶型:若一列数:1,3,5,7,9,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n-1,这 n(n≥1) 个数的和为 n2; 若一列数:2,4,6,8,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n,这 n(n≥1)个数的和为 n2+n; (3)正负交替型:若一列数:-1,1,-1,1,-1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n; 若一列数:1,-1,1,-1,1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n+1; (4)平方型:若一列数:1,4,9,16,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n2; (5)固定累加型:若一列数:4,7,10,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 3n+1; (6)乘积型:若一列数:2,6,12,20,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n(n+1); (7)差值固定累加型:若一列数:1,3,6,10,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n(n+1) 2 ; (8)循环规律型:若坐标系中一点绕原点 O 顺时针旋转,每次旋转 60°,则旋转 6 次为一个循 环;每次旋转 90°,则旋转 4 次为一个循环;每次旋转 45°,则旋转 8 次为一个循环. 要点 3 代数推理【2022 年版课标新增内容】 课标例题:设 abcd 是一个四位数,求证:若 a+b+c+d 可以被 3 整除,则这个数可以被 3 整除. 证明:abcd= 1 000a+100b+10c+d= (999a+99b+9c) + (a+b+c+d),显然(999a+99b+9c)能被 3 整除,因此,如果(a+b+c+d)能被 3 整除,那么 abcd 就能被 3 整除. 9 基础夯实练·四川数学 第 一 章 　 数 与 式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. 按规律排列的一组数据:1, 3 4 , 5 9 , 7 16 ,…,则第 n(n≥1)个数是　 　 　 　 . 4. 已知实数 a,b,c 满足 a-2b+c= 0,求证:b2 -ac≥0. 证明:∵ a-2b+c=0, ∴2b=a+c, ∴ b2 =(a +c) 2 4 , ∴ b2-ac=(a +c) 2 4 -ac=(a -c) 2 4 ≥0. 要点 4 整式的相关概念 单项式 概念 数或字母的积的式子,单独的一个数或一个字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数. 如 πa2 的系数是 π 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和. 如-2xy3 的次数是 4 多项式 概念 几个单项式的和 项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项,其中不含字母的项叫作常数 项. 如 3x2y-5x+8 的项为 3x2y,-5x,8 次数 多项式中次数最高项的次数. 如 3x2y-5x 中次数最高项为 3x2y,次数为 2+1 = 3 整式 单项式和多项式统称为整式 要点 5 整式的运算(成都每年考 1 道选择题) 整式的 加减法 (1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项. 例如:8n 与 5n,2a2b 与-7a2b 是同类项(几个常数项也是同类项); (2)把同类项合并成一项叫作合并同类项. 整式加减的本质就是先去括号,再合并 同类项. 例如:8n+5n= 13n,-7a2b+2a2b= -5a2b 幂的 运算 (1)同底数幂的乘法:am·an = ①　 am+n 　 (m,n 都是整数); (2)幂的乘方:(am) n = ②　 amn 　 (m,n 都是整数); (3)积的乘方:(ab)m = ③　 ambm 　 (m 是整数); (4)同底数幂的除法:am÷an = ④　 am-n 　 (a≠0,m,n 都是整数,且 m>n) 整式的 乘法 (1)单项式乘单项式:-2am·an=-2a2mn; (2)单项式乘多项式:m(a+b+c)= ma+mb+mc; (3)多项式乘多项式:(a+b)(m+n)= ⑤　 am+an+bm+bn　 ; (4)乘法公式: ①平方差公式:(a+b)(a-b)= ⑥　 a2-b2　 ; ②完全平方公式:(a±b)2 =⑦　 a2±2ab+b2　 01 基础夯实练·四川数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 整式的 除法 (1)单项式除以单项式:a3m2 ÷(-2am)= - 1 2 a2m; (2)多项式除以单项式:(3a2b-ab2 +b)÷b= 3a2-ab+1 运算 顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,整式运算的结果是单 项式或多项式 注:数的运算律在整式的运算中依然成立. 【拓展———乘法公式的几何背景】 平方差 公式 代数关系式:(a+b)(a-b)= a2 -b2 完全平 方公式 代数关系式:(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 代数关系式:(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 5. 下列说法正确的是 ( C ) A. -2vt 3 的系数是-2　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 32ab3 的次数是 6 次 C. x+y 5 是多项式 D. x2 +x-1 的常数项为 1 6. 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形(a>b)(如图甲),把余下的部 分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证 ( A ) A. a2 -b2 = (a+b)(a-b) B. (a-b) 2 =a2 -2ab+b2 C. (a+b) 2 =a2 +2ab+b2 D. (a+2b)(a-b)= a2 +ab-2b2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 11 基础夯实练·四川数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 6 因式分解(成都 8 年 3 考) 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方 法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c); 公因式的确定 系数:取各项系数的最大公约数 字母:取各项相同的字母 指数:取各项相同字母的最低次数 ì î í ï ï ï ï 公式法 a2 -b2 因式分解 平方差公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a+b)(a-b) a2 ±2ab+b2 因式分解 完全平方公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a±b) 2 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 拓展十字相乘法:x2 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如:x2 +5x+6 =(x+2)(x+3). 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 7. 将下列各式进行因式分解. (1)xy-2y2 = 　 y(x-2y) 　 ;　 　 　 　 　 (2)9-x2 = 　 (3+x)(3-x) 　 ; (3)a2 +4a+4 = 　 (a+2) 2 　 ;　 　 　 　 　 (4)16a2 -8a+1 = 　 (4a-1) 2 　 . 8. [创新考法]设有边长分别为 a 和 b(a>b)的 A 类和 B 类正方形纸片、长为 a 宽为 b 的 C 类矩形纸片若干张. 如图所示,要拼一个边长为 a+b 的正方形,需要 1 张 A 类纸片、 1 张 B 类纸片和 2 张 C 类纸片. 若要拼一个长为 3a+b、宽为 2a+2b 的矩形,则需要 C 类纸片的张数为 ( C ) 第 8 题图 A. 6　 　 　 　 　 　 B. 7　 　 　 　 　 　 C. 8　 　 　 　 　 　 D. 9 9. 多解法 ∙∙∙ 　 先化简,再求值:(x+1) 2 -x(x+1),其中 x= 2 024. 解:解法一:原式=x2+2x+1-x2-x =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. 　 　 　 解法二:原式=(x+1)(x+1-x) =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. 温馨提示:请完成分层作业本 P5-6 习题 21 参考答案 第一章数与式 命题点」实数的相关概念与大小比较 命题点4 整式与因式分解 ①不循环②盈利50元③亏损80元④小⑤-a⑥0①a②am③4"b" ④an ⑤am+an+bm+bn ⑦0⑧-⑨大0±1①2.3.52大 ⑥a2-b⑦a'±2ab+b 10 对点练习 对点练习 1.①④ 1-2+32号a20 n 2(1)F,B:(2)-3,3,3(3)A,C,1:(4)2或4 4.证明：a-2b+e=02h=a+e.=a+e 4 31-3,5 4.a<-b<h<-a 4-ae=(a-e)2 六62-ac=a*c)2 40 5.(1)7.05×10:(2)5.07×10:(3)3.3×10:(4)10 5.C6.A 6.(1)90500:(2)0.000072 7.(1)y(x-2y):(2)(3+x)(3-x):(3)(a+2)2: 命题点2二次根式及其运算 (4)(4u-1)2 8.C ①相反数②030和1④a⑤-1,0、16≥⑦a 9.解：解法一：原式=x2+2x+1-x2-x 8√ad⑨2.503 =x+1, 例C 当x=2024时，原式=2024+1=2025. 对点练习 解法二：原式=(x+1)(x+1-x) 1.(1)x≥4：(2)x<1:(3)x≥-1且x≠2 =x+1, 2.(1)3:(2)3:(3)5:(4)-6:(5)-2 当x=2024时，原式=2024+1=2025. 命题点3实数的运算 命题点5分式及其运算 ①B≠0②A=0且B≠03B≠0，C≠0，D≠0④M 0r-1⑦x+18x-2⑨地 0(x-2)(x-1) 2 对点练习 ①(x+1)(x-1)2(x+2)(x-2)2 1（1:212:(31:(422-1:(5)-2:(6(7)-1 对点练习 1.x≠52.13.C （82o)-号 4)02)(32(4 0*2(5) a-2(6)-x 2.(1)解：原式=35：(2)解：原式=1： 5解：原式= x+3 (3)解：原式=-6-√3：(4)解：原式=4. 由题意得x≠1，x≠士3，当x=2时，原式=2 2+35 第二章 方程（组）与不等式（组） 命题点】一次方程（组）及其应用 例4D ①2(x+2)=20-5(x-1)22x+4=20-5x+5 对点练习 ③2x+5x=20+5-447x=21⑤x=36y=x-3 ⑦3x-8(x-3)=14⑧18x=36⑨-0+①8x-3=7x+4 1解：(1)原方程组的解为=3， (y=2: 2x=7B8x-3=8×7-3=53755310x+y 3 官1站 11 10x+15y (2)原方程组的解为 5 例3(1)解：购进A种水果1000kg,购进B种水果500kg y=- 4 (2)解：A种水果的销售单价为12.5元/kg x=1, (3)原方程组的解为 (3)解：打折销售的B种水果200kg (y=1 127