6.3 与弧长、扇形面积有关的计算-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 命题点 3　 与弧长、扇形面积有关的计算 1. 4π,12π　 【解析】AB ( 的长为 120π×6 180 = 4π,扇形 AOB 的面积为 120π×62 360 = 12π. 拓展 1-1　 B　 【解析】如解图,连接 OC. ∵ C 为 AB ( 的中点,∴ BC ( =AC ( ,∴ ∠BOC= ∠AOC,∵ ∠BOC = 2∠BAC = 60°,∴ ∠AOB = 2∠BOC= 120°,∴ AB ( 的长为 120π×3 180 = 2π. 拓展 1-1 题解图 拓展 1 - 2　 C 　 【解析】如解图,连接 OD,OE,∵ AB = AC,∴ ∠ABC= ∠C = 70°, ∵ OE = OB, ∴ ∠OEB = ∠ABC = 70°, ∴ ∠OEB= ∠C= 70°,∴ OE∥AC,在△ABC 中,∠A+∠ABC+∠C = 180°,∴ ∠A= 180°-∠ABC-∠C= 180°-70°-70° = 40°,OA=OD = 1 2 AB= 5,∵ OE∥AC,∴ ∠A = ∠ADO = ∠DOE = 40°,∴ DE ( 的 长度为 40π×5 180 = 10π 9 . 拓展 1-2 题解图 2. 4π　 【解析】∵ OE = AB = 4,∴ BC = 　 2 AB = 4 　 2 ,∵ O 为 BC 中 点,∴ OB=OC= 1 2 BC= 2 　 2 ,∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠OBE = 90°,∴ cos∠BOE = OB OE = 　 2 2 ,∴ ∠BOE = 45°,同理,∠COF = 45°,∴ ∠EOF= 180°-∠BOE-∠COF = 90°,∴ S扇形 EOF = 90 360 ×π ·OE2 = 4π. 3. C　 【解析】圆锥的侧面积= 1 2 ×2π×30×40=1 200π(平方厘米). 4. 54 第 5 题解图 5. A　 【解析】如解图,连接 OA,OB,OD,∵ 点 D 是☉O 的切点,∴ OD⊥AB,∵ OA = OB,∴ ∠AOD = 30°,∴ AD = OD·tan30° = 　 3 × 　 3 3 = 1,∴ 外切六边形的边长 AB = 2AD= 2. 6. 8 　 3 - 8π 3 　 【解析】在 Rt△ABC 中,∵ AC= 4,∠B= 30°,∴ ∠A= 90°-∠B= 60°,∴ BC= 　 3AC= 4 　 3 ,∴ S阴影 = S△ACB -S扇形ACD = 1 2 ×4×4 　 3 - 60π×42 360 = 8 　 3 - 8π 3 . 7. D　 【解析】如解图,连接 AC. ∵ 两弧有且仅有一个公共点,AD = 4, ∴ AC = 2AD = 8, ∴ 在 Rt △ADC 中,CD = 　 AC2 -AD2 = 　 82 -42 = 4 　 3 ,∴ S矩形 ABCD = AD·CD = 16 　 3 ,∵ 两个扇形均为 圆的 1 4 ,而且它们的半径相等,∴ S两个扇形 = 1 2 πAD2 = 8π, ∴ S阴影 =S矩形 ABCD-S两个扇形 = 16 　 3 -8π. 第 7 题解图 8. ( π 4 - 1 8 ) 　 【解析】由题知,S扇形AOB = 90·π·12 360 = π 4 ( m2 ),∵ 点 C,D 分别是 OA,OB 的中点,∴ OC =OD = 1 2 ( m),∴ S△COD = 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 (m2 ),∴ 花窗的面积为( π 4 - 1 8 )m2 . 第 9 题解图 9. B　 【解析】 如解图,连接 OC, ∵ ∠AOB = 90°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴ ∠AOB = ∠ODC = ∠OEC= 90°,∴ 四边形 OECD 是矩形,∵ CD =CE,∴ 四边形 OECD 是正方形,∴ ∠COE = 45°, ∵ △DCE 和 △OEC 全等, ∴ S阴影 = S△DCE+S半弓形BCE =S△OCE+S半弓形BCE =S扇形COB = 45π×52 360 = 25π 8 . 第 10 题解图 10. 184　 【解析】如解图,过点 O 作 OD⊥ AB,D 为垂足,∴ AD = BD,OD = 5 米, ∵ cos∠AOD = OD OA = 5 10 = 1 2 ,∴ ∠AOD = 60°, AD = 3 OD = 5 3 ( 米), ∴ ∠AOB= 120°,AB = 10 3 (米),∴ S阴影 =S扇形AOB-S△OAB = 120π×102 360 - 1 2 ×10 3 ×5 = 100 3 π-25 3 ≈61. 4 (平方米),∴ 61. 4×3≈184(名),∴ 最多可容纳 184 名观众同 时观看演出. 11. A　 【解析】如解图,连接 OD,交 CE 于点 M,则 OD⊥CE,由折 叠可知 OM = MD = 1 2 OD = 1 2 OC = 4( cm),∠COM = 360° 6 = 60°,在 Rt△COM 中,CM= 　 3 OM = 4 　 3 ( cm),∴ CE = 2CM = 8 　 3 (cm), 由题意可知, S阴影 = 2S△COE = 2 × 1 2 × 8 　 3 × 4 = 32 　 3 (cm2 ) . 第 11 题解图 12. 4π 3 -　 3 　 【解析】如解图,过点 O 作 OE⊥AB 于点 C,交☉O 于 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 83 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 点 E,记 AB 与 y 轴交于点 D,连接 OB,∴ AC=BC= 1 2 AB,∵ 直 第 12 题解图 线 y= 　 3 3 x+ 2 　 3 3 与☉O 相交于 A,B 两点,∴ 当 y= 0 时, 　 3 3 x+ 2 　 3 3 = 0,解 得 x = - 2,∴ OA = 2,当 x = 0 时,y = 2 　 3 3 ,∴ OD= 2 　 3 3 ,∴ tan∠DAO = OD OA = 2 　 3 3 2 = 　 3 3 ,∴ ∠DAO= 30°,∴ OC = 1 2 OA = 1,AC = 　 3 = BC, ∴ AB = 2 　 3 , ∵ OA = OB, ∴ ∠DAO = ∠ABO = 30°, ∠AOB = 180°-2×30° = 120°,∴ S阴影 = S扇形 AOB -S△AOB = 120×π×22 360 - 1 2 ×2 　 3 ×1 = 4π 3 -　 3 . 13. (1)证明:如解图,连接 OC, ∵ CD 为☉O 的切线,点 C 在☉O 上, ∴ ∠OCD= 90°, ∴ ∠DCA+∠OCA= 90°, ∵ AB 为直径, ∴ ∠ACB= 90°, ∴ ∠B+∠OAC= 90°. ∵ OC=OA, ∴ ∠OAC= ∠OCA, ∴ ∠B= ∠DCA, ∵ AC ( =CE ( , ∴ ∠B= ∠CAE, ∴ ∠CAE= ∠DCA, ∴ CD∥AE; (2)解:如解图,连接 OE、BE, 第 13 题解图 ∵ EF 垂直平分 OB, ∴ OE=BE, ∵ OE=OB, ∴ △OEB 为等边三角形. ∴ ∠BOE= 60°, ∴ ∠AOE= 180°-60° = 120°, ∵ OA=OE, ∴ ∠OAE= ∠OEA= 30°. ∵ DC∥AE, ∴ ∠D= ∠OAE= 30°. ∵ ∠OCD= 90°, ∴ OD= 2OC=OA+AD, ∵ OA=OC, ∴ OC=AD= 3, ∴ AO=OE=OC= 3, ∴ EF= 　 3 2 OE= 3 　 3 2 , ∴ S△AOE = 1 2 AO·FE= 9 　 3 4 , ∵ S扇形AOE = 120π×32 360 = 3π, ∴ S阴影 =S扇形AOE-S△AOE = 3π- 9 　 3 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第七章　 图形的变化 命题点 1　 尺规作图 1.解:(1)如解图 1,OP 为∠AOB 的平分线; (2)如解图 2,MN 为线段 AB 的垂直平分线; (3)如解图 3,PM 为所求垂线. 图 1 图 2 图 3 第 1 题解图 2. D　 【解析】图 1 由作图痕迹可知,射线 OP 为∠AOB 的平分线; 图 2 由作图痕迹可知,OC =OD,OA =OB,又∵ ∠AOD = ∠BOC, ∴ △ADO≌ △BCO( SAS),同理可得△ACP≌ △BDP( AAS), △APO≌△BPO(SSS),∴ ∠AOP = ∠BOP,即射线 OP 为∠AOB 的平分线;图 3 由作图痕迹可知,∠ACP = ∠AOB,CP∥OB,可得 ∠CPO = ∠POB,又由图可知 CP = OC, ∴ ∠COP = ∠CPO, ∴ ∠POB= ∠COP,即射线 OP 为∠AOB 的平分线;图 4 由作图痕 迹可知,CO=OD,△OCD 是等腰三角形,∴ 射线 OP 是 CD 的垂 直平分线,也是∠AOB 的平分线. 3. A　 【解析】由作图可知 AM = AN =MB =NB,∴ 四边形 AMBN 是 菱形,∴ ∠MBN= ∠A= 40°. 4. C　 【解析】由作图知,EF 垂直平分线段 AB, ∴ AD = BD, ∴ △BCD 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,∵ AB =AC = 6,BC= 4,∴ △BCD 的周长= 6+4 = 10. 5. C　 【解析】∵ AB 是半圆 O 的直径,∴ ∠ACB = 90°,∵ ∠CAB = 50°,∴ ∠ABC = 90°- 50° = 40°,由题意得,BD 为∠ABC 的平分 线,∴ ∠CBD= ∠ABD= 1 2 ∠ABC= 20°. 6. 25　 【解析】由作图痕迹得 DF 垂直平分 AB,AE 平分∠DAC,∴ DB= DA, ∠DAE = 1 2 ∠DAC, ∴ ∠DAB = ∠B = 40°, ∵ ∠BAC + ∠B+∠C = 180°,∴ ∠BAC = 180° - 40° - 50° = 90°,∵ ∠DAC = ∠BAC-∠DAB= 90°-40° = 50°,∴ ∠DAE= 1 2 ×50° = 25°. 7. 7　 【解析】如解图,连接 EC,由作图可知,MN 是线段 BC 的垂 直平分线, ∴ BE = CE = 4, ∴ ∠ECB = ∠B = 45°, ∴ ∠AEC = ∠ECB+∠B= 90°,在 Rt△ACE 中,AE = AC2 -CE2 = 52 -42 = 3,∴ AB=AE+BE= 3+4 = 7. 8. 6　 【解析】由作图过程可知,BP 为∠ABC 的平分线,∵ AD 是边 BC 上的高,∴ AD⊥BC,∵ MN⊥AB,∴ MD =MN = 2,∵ AD = 4MD 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93 分层作业本·四川数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 第 六 章 圆 命题点 3　 与弧长、扇形面积有关的计算 (成都必考) 　 考向 1 　 弧长、扇形面积的相关计算 (成都 2024. 11;2020. 23;2018. 9;2017. 23) 1. [2024 成都 11 题改编] 如图,在扇形 AOB 中, OA= 6,∠AOB = 120°,则 AB ( 的长为 　 4 π　 , 扇形 AOB 的面积为　 12 π　 . 第 1 题图 　 　 拓展 1-1 题图 拓展 1-1 [2024 成都金牛区二诊]如图,已知点 A,B,C 在☉O 上,C 为 AB ( 的中点. 若∠BAC = 30°,OA = 3,则 AB ( 的长等于 (　 　 ) A. π　 　 B. 2π　 　 C. 3π　 　 D. 4π 拓展 1-2 [2024 广安] 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC= 10,∠C= 70°,以 AB 为直径作半圆, 与 AC,BC 分别相交于点 D,E,则 DE ( 的长度为 (　 　 ) A. π 9 　 　 B. 5π 9 　 　 C. 10π 9 　 　 D. 25π 9 拓展 1-2 题图 　 　 第 2 题图 2. [ 2024 深圳] 如 图, 在 矩 形 ABCD 中, BC = 　 2AB,O 为 BC 中点,OE=AB= 4,则扇形 EOF 的面积为　 4π　 . 3. [2024 云南]某校九年级学生参加社会实践,学 习编织圆锥型工艺品. 若这种圆锥的母线长 为 40 厘米,底面圆的半径为 30 厘米,则该圆 锥的侧面积为 (　 C　 ) A. 700π 平方厘米　 　 B. 900π 平方厘米 C. 1 200π 平方厘米 D. 1 600π 平方厘米 考向 2 　 圆与正多边形(成都 2022. 6;2021. 10; 2019. 9) 4. [人教九上 P105 图 24. 3-2 改编]如图,正五边形 ABCDE 内接于☉O,点 P 为 DE ( 上一点(点 P 与点 D,点 E 不重合),连接 PC,PD,DG⊥PC, 垂足为 G,∠PDG 等于　 54　 度. 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. [2024 成都师一学校模拟]如图,把圆分成六等 分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交 点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形, ☉O 的半径是 　 3 ,它的外切正六边形的边 长为 (　 A　 ) A. 2　 　 B. 1　 　 C. 2 　 3 　 　 D. 　 3 考向 3　 阴影部分面积的计算(成都 2023. 21; 2022. 21) 6. [2024 青海改编]如图,在 Rt△ABC 中,AC = 4, ∠ACB= 90°,∠B = 30°,以 A 为圆心,AC 长为 半径画弧,交 AB 于点 D,则阴影部分的面积 为　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. [2024 重庆 A 卷]如图,在矩形 ABCD 中,分别以 点 A 和 C 为圆心,AD 长为半径画弧,两弧有且 仅有一个公共点. 若 AD = 4,则图中阴影部分 的面积为 (　 D　 ) A. 32-8π B. 16 　 3 -4π C. 32-4π D. 16 　 3 -8π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18 分层作业本·四川数学 第 六 章 圆 8. [2024 山西]如图 1 是小区围墙上的花窗,其形 状是扇形的一部分,图 2 是其几何示意图(阴 影部分为花窗) . 通过测量得到扇形 AOB 的圆 心角为 90°,OA = 1 m,点 C,D 分别为 OA,OB 的中点,则花窗的面积为　 ( 　 　 　 ) 　 m2 . 图 1 　 　 图 2 第 8 题图 9. [2023 广元]如图,半径为 5 的扇形 AOB 中, ∠AOB= 90°,C 是 AB ( 上一点,CD⊥OA,CE⊥ OB,垂足分别为 D,E,若 CD=CE,则图中阴影 部分面积为 (　 B　 ) A. 25π 16 B. 25π 8 C. 25π 6 D. 25π 4 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. [2023 成都 21 题 4 分]为传承非遗文化,讲好 中国故事,某地准备在一个场馆进行川剧演 出. 该场馆底面为一个圆形,如图所示,其半 径是 10 米,从 A 到 B 有一笔直的栏杆,圆心 O 到栏杆 AB 的距离是 5 米,观众在阴影区域 里观看演出,如果每平方米可以坐 3 名观众, 那么最多可容纳　 184　 名观众同时观看演 出. ( π 取 3. 14, 3 取 1. 73) 11. [2024 绵阳涪城区一诊]如图,正六边形 ABC- DEF 内接于半径为 8 cm 的☉O 中,连接 CE, AC,AE,沿直线 CE 折叠,使得点 D 与点 O 重 合,则图中阴影部分的面积为 (　 A　 ) A. 32 　 3 cm2 B. 8 　 3 cm2 C. 8π cm2 D. (4 　 3 3 +3π)cm2 第 11 题图 　 　 第 12 题图 12. [2021 成都 23 题改编]如图,在平面直角坐标 系 xOy 中,直线 y = 　 3 3 x+2 　 3 3 与☉O 相交于 A,B 两点,且点 A 在 x 轴上,则图中阴影部分 的面积为　 　 　 　 　 　 . 13. [2024 乐山]如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,过点 C 作☉O 的切线 CD 交 BA 延长 线于点 D,点 E 为 CB ( 上一点,且 AC ( =CE ( . (1)求证:DC∥AE; (2)若 EF 垂直平分 OB,DA = 3,求阴影部分 的面积. 第 13 题图 (1)证明:如解图,连接 OC,∵ CD 为☉O 的切线, 点 C 在☉O 上, ∴∠OCD=90°, ∴∠DCA+∠OCA=90°, ∵AB 为直径,∴∠ACB=90°, ∴∠B+∠OAC=90°. ∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA, ∴∠B=∠DCA, ∵AC ( =CE ( ,∴∠B=∠CAE, ∴∠CAE=∠DCA,∴CD∥AE; (2)阴影部分的面积为 3π-9 　 3 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 圆的综合题见专项培优练 P67 28