4.3 等腰(边)三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 Rt△ABD 中,AD= 　 132 -52 = 12(里),∴ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 ×14×12 = 84(平方里) . 第 11 题解图 12. C　 【解析】解法 1:∵ AD 是∠BAC 的平分线,AB= 11,AC= 15, ∴ S△ABD S△ACD =BD CD =AB AC = 11 15 ,设 BD= 11x,则 CD= 15x,∴ BC= 26x,∵ E 是 BC 的中点,∴ CE= 1 2 BC=13x,∴ CE CD = 13x 15x = 13 15 . ∵ EF∥AD,∴ CF CA =CE CD = 13 15 ,∴ CF= 13 15 CA= 13. 解法 2:如解图 1,过点 B 作 BM∥AD 交 CA 的延长线于点 M, ∵ BM∥AD,AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∠M = ∠CAD = ∠BAD = ∠ABM,∴ AM = AB. ∵ E 是 BC 的中点,BM∥AD,EF∥AD, ∴ BM∥EF,∴ EF 为△CBM 的中位线,∴ FC= 1 2 CM = 1 2 (CA+ AM)= 1 2 ×(15+11)= 13. 第 12 题解图 解法 3:如解图 2,过点 E 作 EN∥AB,交 AC 于点 N. ∵ E 是 BC 的中点,∴ EN 为△ABC 的中位线,∴ CN = 1 2 AC = 15 2 ,NE = 1 2 AB= 11 2 . ∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∠BAD= ∠CAD. ∵ EN ∥AB,AD∥EF,∴ ∠NFE = ∠CAD,∠NEF = ∠BAD,∴ ∠NFE = ∠NEF,∴ NF=NE= 11 2 ,∴ CF=CN+NF= 15 2 + 11 2 = 13. 13. D　 【解析】A. 连接 DE,如解图 1,∵ CE⊥AB,点 D 是 AC 的中 点,∴ DE 为 Rt△AEC 斜边上的中线,∴ DE = AD =CD = 1 2 AC, ∵ BE=CD,∴ BE=DE,∴ 点 E 在线段 BD 的垂直平分线上,即 线段 BD 的垂直平分线一定与 AB 相交于点 E,故选项 A 正 确,不符合题意; B. 设 ∠ABD = α, ∵ BE = DE, ∴ ∠EDB = ∠ABD = α,∴ ∠AED = ∠EDB+∠ABD = 2α,∵ DE = AD,∴ ∠A = ∠AED = 2α, ∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 3α, 即 ∠BDC = 3∠ABD,故选项 B 正确,不符合题意;C. 当 E 为 AB 的中点 时,则 BE= 1 2 AB,∵ CE⊥AB,∴ CE 是线段 AB 的垂直平分线, ∴ AC=BC,∵ BE= 1 2 AB,CD= 1 2 AC,BE=CD,∴ AB=AC,∴ AC =BC=AB,∴ △ABC 是等边三角形,故选项 C 正确,不符合题 意;D. 连接 AO 并延长交 BC 于点 F,如解图 2,当 E 为 AB 的 中点时,∵ 点 D 为 AC 的中点,∴ 根据三角形三条中线交于一 点得:点 F 为 BC 的中点,∵ 当 E 为 AB 的中点时,△ABC 是等 边三角形,∴ ∠ABC = ∠BAC = 60°,AF⊥BC,AF 平分∠BAC, BD 平分∠ABC, ∴ ∠OBA = ∠OAB = 30°,OC = OB, ∴ 在 Rt △OBE 中,OB= 2OE,∴ OC=OB= 2OE,∴ CE =OE+OC = 3OE, ∴ S△OBC = 1 2 BC·OF,S△AEC = 1 2 EC·AE= 3 4 BC·OE,∴ S△OBC S△AEC = 2 3 ,故选项 D 不正确,符合题意. 第 13 题解图 14. 1 3n m 　 【解析】 由题意知 ∠ E1AD = 1 3 ∠CAB, ∠ E1BD = 1 3 ∠CBD,∴ 设∠E1AD=α,∠E1BD= β,则∠CAB = 3α,∠CBD = 3β,由三角形的外角的性质得 β = α+ ∠E1 ,3β = 3α+ ∠C, ∴ ∠E1 = 1 3 ∠C,同理可得∠E2 = 1 3 ∠E1 = ( 1 3 ) 2 ∠C,…,∴ ∠En = ( 1 3 ) n∠C,即 ∠En = 1 3n m°. 命题点 3　 等腰(边)三角形的性质与判定 1. 100　 变式　 20°或 80° 2. y= 10-2x(2. 5<x<5) 　 【解析】∵ 等腰三角形的周长是 10,底 边长为 y,腰长为 x,∴ y+2x= 10,2x>y,x>0,y>0,由 y+2x = 10, 得 y= 10-2x,由 2x>y,得 2x>10-2x,解得 x>2. 5,由 y>0,得 10 -2x>0,解得 x<5,∴ x 的取值范围是 2. 5<x<5,∴ 底边长 y 与 腰长 x 的函数表达式为 y= 10-2x(2. 5<x<5) . 变式　 B　 【解析】∵ △ABC 为等腰三角形,∴ AB = AC 或 AC = BC,当 AC=BC=4 时,AD+CD=AC=4,此时不满足三角形三边关系 定理,当 AC=AB=3 时,满足三角形三边关系定理,∴ AC=3. 3. C 4. B　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,在△ABC 中, ∠BAC= 120°,AB = AC,∴ ∠B = ∠C = 1 2 (180°-∠BAC) = 30°, 又∵ AD⊥BC,∴ AD= 1 2 AB= 1 2 ×12 = 6(m) . 第 4 题解图 5. 100°　 【解析】 ∵ AC = AE,BC = BD,∴ 设∠AEC = ∠ACE = x°, ∠BDC = ∠BCD = y°, ∴ ∠A = 180° - 2x°, ∠B = 180° - 2y°, ∵ ∠ACB + ∠A + ∠B = 180°, ∠BDC + ∠AEC + ∠DCE = 180°, ∴ ∠ACB+( 180° - 2x°) + ( 180° - 2y°) = 180°,180° - ( x° + y°) = ∠DCE,∴ ∠ACB+360°-2(x°+y°)= 180°,∴ ∠ACB+2∠DCE = 180°,∵ ∠DCE= 40°,∴ ∠ACB= 100°. 6. D 7. 120°　 【解析】∵ D,E 是边 BC 的三等分点,且△ADE 是等边三 角形,∴ BD=DE = EC = AD = AE,∠ADE = ∠AED = 60°,∴ ∠B= ∠BAD= ∠C= ∠EAC= 30°,∴ ∠BAC= 180°-∠B-∠C= 120°. 变式　 B　 【解析】在△ABC 中,AB =AC,∴ ∠B = ∠C,∵ ∠BAC = 130°,∴ ∠B= ∠C = 180°-130° 2 = 25°,∵ DA⊥AC,∴ ∠DAC = 90°,∴ ∠ADC= 90°-25° = 65°,∴ ∠ADB= 180°-∠ADC= 180°- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 65° = 115°. 8. D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = 60°,AB = BC = AC= 12 m,∵ CD⊥AB,∴ BD = 6 m,∴ CD = 6 　 3 m,∵ ∠BED = 60°,∴ DE= 2 　 3 m,BE=AE= 4 　 3 m,∴ 减少用钢(AB+AC+BC +CD) -(AE+BE+AB+DE) = AC+BC+CD-AE-BE-DE = ( 24- 4 　 3 )m. 9. 2 10. 2　 【解析】∵ AB = AC,∴ ∠ABC = ∠C,∵ ∠A+∠ABC+∠C = 180°,∠A = 36°,∴ ∠ABC = ∠C = 72°,∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠CBD= ∠ABD = 36°,∴ ∠BDC = 180° -∠C- ∠CBD = 180° - 72°-36° = 72°,∴ ∠BDC = ∠C,∴ BD = BC = 2,∵ ∠A = 36°, ∠ABD= 36°,∴ ∠A= ∠ABD,∴ AD=BD= 2. 11. 4　 【解析】∵ D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 的中点,∴ BC = 2DE= 2×2 = 4,DE∥BC,∴ ∠AED = ∠C,∵ ∠AED = ∠BEC,∴ ∠BEC= ∠C,∴ BE=BC= 4. 12. C　 【解析】如解图,分三种情况:当 BA = BC 时,以点 B 为圆 心,BA 长为半径作圆,点 C1 ,C2 ,C3 即为所求;当 AB = AC 时, 以点 A 为圆心,AB 长为半径作圆,点 C4 ,C5 ,C6 ,C7 ,C8 即为所 求;当 CA=CB 时,作 AB 的垂直平分线,与正方形网格的交点 不在格点上. 综上所述,满足条件的格点 C 的个数是 8. 第 12 题解图 13. 110°或 80°　 【解析】∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C = 40°,①当 AD = AE 时,∠ADE = ∠AED = 40°,∵ ∠AED>∠C,∴ 此时不符合; ②当 DA=DE 时,即∠DAE = ∠DEA = 1 2 ×(180°- 40°) = 70°, ∵ ∠BAC= 180°-40°-40° = 100°,∴ ∠BAD = 100°-70° = 30°, ∴ ∠BDA= 180° - 30° - 40° = 110°;③当 EA = ED 时,∠ADE = ∠DAE= 40°,∴ ∠BAD= 100°-40° = 60°,∴ ∠BDA = 180°-60° -40° = 80°. 综上所述,当△ADE 是等腰三角形时,∠BDA 的度 数是 110°或 80°. 14. (1)证明:在△ABC 和△DFE 中, AB=DF, AC=DE, BC=EF, { ∴ △ABC≌△DFE(SSS), ∴ ∠ACB= ∠DEF,即∠GCE= ∠GEC, ∴ GE=GC, ∴ △GEC 是等腰三角形; (2)AD∥l. 【解法提示】如解图,过点 A 作 AM⊥直线 l 于 M,过 点 D 作 DN⊥直线 l 于 N,则∠AMB = ∠DNF = 90°,AM∥DN, ∵ △ABC≌ △DFE, ∴ ∠ABM = ∠DFN, 在 △ABM 和 △DFN 中, ∠AMB= ∠DNF, ∠ABM= ∠DFN, AB=DF, { ∴ △ABM≌△DFN( AAS),∴ AM = DN, ∴ 四边形 AMND 为平行四边形,∴ AD∥l. 第 14 题解图 15. B　 【解析】∵ D,E 分别是 AC,BC 的中点,∴ BE = 1 2 BC = 4, DE∥AB,DE= 1 2 AB= 5,∴ ∠BFE = ∠ABF. ∵ ∠ABC 的平分线 交 DE 于点 F,∴ ∠ABF = ∠EBF,∴ ∠BFE = ∠EBF,∴ BE = EF= 4,∴ DF=DE-EF= 1. 16. 60　 【解析】∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB,∵ BF∥AC,∴ ∠ACB = ∠CBF,∴ ∠ABC= ∠CBF,∴ BC 平分∠ABF,如解图,过点 C 分别作 CM⊥AB 于点 M,CN⊥BF 于点 N,则 CM=CN,∵ S△ACE = 1 2 AE·CM,S△CBF = 1 2 BF·CN,且 BF = AE,∴ S△CBF = S△ACE, ∴ 四边形 EBFC 的面积=S△CBF+S△CBE =S△ ACE+S△CBE =S△CBA,∵ AC= 13,∴ AB = 13,设 AM = x,则 BM = 13-x,由勾股定理,得 CM2 =AC2 -AM2 =BC2 -BM2 ,∴ 132 -x2 = 102 -(13-x) 2 ,解得 x = 119 13 ,∴ CM= 　 132 -( 119 13 ) 2 = 120 13 ,∴ S△CBA = 1 2 AB·CM = 60, ∴ 四边形 EBFC 的面积为 60. 第 16 题解图 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 1. D　 2. C　 3. x2 +22 = (x+0. 5) 2 4. D　 【解析】设直角三角形的两直角边长为 a,b(a>b),斜边长 为 c,∵ 题图 1 中大正方形的面积是 24,∴ a2 +b2 = c2 = 24,∵ 小 正方形的面积是 4,∴ (a-b) 2 = a2 +b2 -2ab = 4,∴ ab = 10,∴ 题 图 2 中大正方形的面积= c2 +4× 1 2 ab= 24+2×10 = 44. 拓展　 3 2 　 【解析】由题意得,AC = 3,AB = 3- 2 = 1,∴ S△ABC = 1 2 AC·AB= 3 2 . 5. C 6. D　 【解析】如解图,连接 BE,由尺规作图可知 MN 为 AB 的垂 直平分线,∵ CE = 1 3 AE = 1,∴ AE = 3,AC = 4,∴ AE = BE = 3, 在 Rt△ECB 中,由勾股定理得,BC = 　 BE2 -CE2 = 2 　 2 ,在 Rt△ABC 中,由勾股定理得,AB = 　 AC2 +BC2 = 2 　 6 ,∵ CD 为 Rt△ABC 斜边上的中线,∴ CD= 1 2 AB= 　 6 . 第 6 题解图 变式　 A 　 【解析】 ∵ ∠CAD = 90°, AD = 3, AC = 4, ∴ DC = 　 AD2 +AC2 = 　 32 +42 = 5,∵ DE =EC,DE+EC =DC = 5,∴ DE = EC=AE= 5 2 ,∵ BD = DE,点 F 是 AB 边的中点,∴ DF = 1 2 AE = 5 4 . 7. A　 【解析】∵ 点 D 是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点,AC= 6,∴ BD = CD=AD= 1 2 AC = 3,∵ ∠BDC = 60°,∴ △BCD 为等边三角形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 分层作业本·四川数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 四 章 三 角 形 命题点 3　 等腰(边)三角形的性质与判定 (成都 8 年 4 考) 　 考向 1　 等腰三角形的性质(成都 2020. 13;2019. 12;2018. 11;2017. 27) 1. [2024 湖南]若等腰三角形的一个底角的度数 为 40°,则它的顶角的度数为　 100　 °. 变式 [2018 成都 11 题改编]若等腰三角形有一个 角是 80°, 则这个等腰三角形顶角的度数 为　 20°或 80°　 . 2. [2024 常州]若等腰三角形的周长是 10,则底边 长 y 与腰长 x 的函数表达式为　 　 <x<5) 　 . 变式 [2023 河北]四边形 ABCD 的边长如图所示, 对角线 AC 的长度随四边形形状的改变而变 化. 当△ABC 为等腰三角形时,对角线 AC 的 长为 (　 B　 ) A. 2　 　 　 B. 3　 　 　 C. 4　 　 　 D. 5 第 2 题变式题图　 第 4 题图 3. [2024 云南]已知 AF 是等腰△ABC 底边 BC 上 的高,若点 F 到直线 AB 的距离为 3,则点 F 到 直线 AC 的距离为 (　 C　 ) A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 7 2 4. [2023 贵州]5 月 26 日,“2023 中国国际大数据 产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库” 中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形 模型(示意图如图所示),它的顶角为 120°,腰 长为 12 m,则底边上的高是 (　 B　 ) A. 4 m B. 6 m C. 10 m D. 12 m 5. [2024 内江]如图,在△ABC 中,∠DCE= 40°,AE= AC,BC=BD,则∠ACB 的度数为　 100°　 . 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 考向 2　 等边三角形的性质(成都 2019. 14) 6. [2024 成都武侯区月考]如图,△ABC 是等边三 角形,点 D 在 AC 边上,∠DBC = 35°,则∠ADB 的度数为 (　 D　 ) A. 25° B. 60° C. 85° D. 95° 7. [人教八上 P83 第 14 题改编]如图,在△ABC 中, D,E 是边 BC 的三等分点,且△ADE 是等边三 角形,则∠BAC 的度数为　 120°　 . 第 7 题图 　 第 7 题变式题图 变式 [ 2024 兰州] 如图, 在 △ABC 中, AB = AC, ∠BAC= 130°,DA⊥AC,则∠ADB= (　 B　 ) A. 100° B. 115° C. 130° D. 145° 8. [ 2024 自贡] 如图, 等边 △ABC 钢架的立柱 CD⊥AB 于点 D,AB 长 12 m. 现将钢架立柱缩 短成 DE,∠BED= 60°. 则新钢架减少用钢 (　 D　 ) 第 8 题图 A. (24-12 　 3 )m B. (24-8 　 3 )m C. (24-6 　 3 )m D. (24-4 　 3 )m 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 分层作业本·四川数学 　 第 四 章 三 角 形 考向 3　 等腰(边)三角形的判定 9. [2023 江西]将含 30°角的直角三角板和直尺按 如图所示的方式放置,已知 α= 60°,点 B,C 表 示的刻度分别为 1 cm,3 cm,则线段 AB 的长 为　 2　 cm. 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. [2024 重庆 B 卷]如图,在△ABC 中,AB = AC, ∠A= 36°,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D. 若 BC= 2,则 AD 的长度为　 2　 . 11. [2024 浙江]如图,D,E 分别是△ABC 边 AB, AC 的中点,连接 BE,DE. 若∠AED = ∠BEC, DE= 2,则 BE 的长为　 4　 . 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. [2024 广元苍溪县期中]如图,在 4×4 的正方形 网格中有两个格点 A、B,连接 AB,在网格中 再找一个格点 C,使得△ABC 是等腰三角形, 则满足条件的格点 C 的个数是 (　 C　 ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 13. 名师原创 如图,在△ABC 中,AB =AC = 2,∠B = 40°,点 D 在线段 BC 上运动(D 不与 B,C 重 合),连接 AD,作∠ADE = 40°,DE 交线段 AC 于点 E,在点 D 的运动过程中,当∠BDA 的度 数是 　 110°或 80° 　 时, △ADE 是等腰三 角形. 第 13 题图 14. [2024 常州]如图,B、E、C、F 是直线 l 上的四 点,AC、DE 相交于点 G,AB = DF,AC = DE, BC=EF. (1)求证:△GEC 是等腰三角形; (2)连接 AD,则 AD与 l 的位置关系是　AD∥l　 . 第 14 题图 (1)证明:在△ABC 和△DFE 中, AB=DF, AC=DE, BC=EF, ì î í ï ï ï ï ∴△ABC≌△DFE(SSS), ∴∠ACB=∠DEF,即∠GCE=∠GEC, ∴GE=GC, ∴△GEC 是等腰三角形; (2)AD∥l. 15. 名师原创 如图,在△ABC 中,AB= 10,BC = 8, D,E 分别是 AC,BC 的中点,∠ABC 的平分线 交 DE 于点 F,则 DF= (　 B　 ) A. 0. 5 B. 1 C. 2 D. 4 第 15 题图 16. [2024 陕西]如图,在△ABC 中,AB = AC,E 是 边 AB 上一点,连接 CE,在 BC 的右侧作 BF∥ AC,且 BF=AE,连接 CF. 若 AC= 13,BC = 10, 则四边形 EBFC 的面积为　 60　 . 第 16 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 05