4.1 线段、角、相交线与平行线-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·四川数学 　 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第四章　 三角形 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (成都每年 2 ~ 4 道,11 ~ 28 分) 　 第 四 章 三 角 形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 (成都 2019. 5) 　 考向 1　 线段与直线 1. [北师七上 P110 图 4-6]如图,从 A 地到 B 地有 四条路可走,那么最短的路是 (　 B　 ) A. ①　 　 B. ②　 　 C. ③　 　 D. ④ 第 1 题图 　 第 2 题图 2. [2024 成都郫都区期末]观察图形,下列有四种 说法:①经过一点可以作无数条直线;②射线 AC 和射线 AD 是同一条射线;③三条直线两 两相交,有 3 个交点;④AB<AC+BC. 其中正确 的个数为 (　 C　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. [2024 成都双流区期末]如图,C、D 是线段 AB 上 的两点,且 D 是线段 AC 的中点,若 AB = 11, DB= 8,则 CB 的长为 (　 C　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 3 题图 　 　 第 5 题图 考向 2　 角与相交线 4. [2024 甘肃改编]若∠A = 55°,则∠A 的补角为 　 125　 °,∠A 的余角为　 35　 °. 5. [2024 雅安]如图,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB 于 O,若∠1=35°,则∠2 的度数是 (　 A　 ) A. 55° B. 45° C. 35° D. 30° 变式 5-1 [2024 成都青白江区期末]如图,点 A,O,B 在同一条直线上,∠BOC = 120°,OD 是∠AOC 的平 分线,则∠AOD的度数为 (　 　 ) A. 60°　 　 B. 30°　 　 C. 90°　 　 D. 45° 变式 5-1 题图　 　 　 变式 5-2 题图 变式 5-2 [2024 成都新都区期末] 如图, ∠AOC = ∠BOD= 75°,若∠DOC= 25°,则∠AOB 的度数为 (　 　 ) A. 145° B. 135° C. 125° D. 115° 6. [2024 成都外国语期中]如图,直线 l 表示一段河 道,点 P 表示村庄,现要从河 l 向村庄 P 引水, 图中有四种方案,其中沿线段 PC 路线开挖的 水渠长最短,理由是　 垂线段最短　 . 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. [2023 广元朝天区期末]如图,在“A”字型图中, AB、DE 被 AC 所截,则∠A 与∠4 是 (　 A　 ) A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 邻补角 拓展 ∠A 的同旁内角有　 ∠1、∠2　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 分层作业本·四川数学 　 第 四 章 三 角 形 考向 3　 平行线(成都 2019. 5) 8. [2024 乐山]如图,两条平行线 a、b 被第三条直 线 c 所截. 若∠1 = 60°,那么∠2 = 　 120°　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. [2024 达州]当光线从空气射入水中时,光线的 传播方向发生了改变,这就是光的折射现象 (如图所示) . 图中∠1 = 80°,∠2 = 40°,则∠3 的度数为 (　 B　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 70° 10. [2024 福建]在同一平面内,将直尺、含 30°角 的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式 摆放,若 AB∥CD,则∠1 的大小为 (　 A　 ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. [2024 甘孜州]如图,AB∥CD,AD 平分∠BAC, ∠1 = 30°,则∠2 = (　 B　 ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 12. [ 2024 陕西] 如图,AB∥DC,BC∥DE, ∠B = 145°,则∠D 的度数为 (　 B　 ) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 第 12 题图 　 　 第 13 题图 13. 名师原创 唐朝诗人李白的《行路难》 中有句 诗:“长风破浪会有时,直挂云帆济沧海. ”如 图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图 形,已知 BC∥EF,∠A = 30°. 若∠ADE = 70°, 则∠C= 　 40　 °. 考向 4　 定义、命题与定理 14. [2024 湖南]下列命题中,正确的是 (　 A　 ) A. 两点之间,线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为 720° D. 直角三角形是轴对称图形 15. [2024 成都天府新区期中]下列选项中,可以用 来说明命题“若 a2 >b2,则 a>b”是假命题的反 例是 (　 B　 ) A. a= 2,b= -1 B. a= -2,b= 1 C. a= 3,b= -2 D. a= 2,b= 0 16. [2024 山西]一只杯子静止在斜面上,其受力 分析如图所示,重力 G 的方向竖直向下,支 持力 F1 的方向与斜面垂直,摩擦力 F2 的方 向与斜面平行. 若斜面的坡角 α = 25°,则摩 擦力 F2 与重力 G 方向的夹角 β 的度数为 (　 C　 ) A. 155°　 　 B. 125°　 　 C. 115°　 　 D. 65° 第 16 题图 　 　 第 17 题图 17. [2023 苏州]如图,在正方形网格内,线段 PQ 的两个端点都在格点上,网格内另有 A,B,C, D 四个格点,下面四个结论中,正确的是 (　 B　 ) A. 连接 AB,则 AB∥PQ B. 连接 BC,则 BC∥PQ C. 连接 BD,则 BD⊥PQ D. 连接 AD,则 AD⊥PQ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 (4,9) . 又∵ 要在显示屏两侧留 1 米,∴ PQ=MN = 2×(4-1)= 6 (米),∴ 矩形显示屏 MNPQ 的宽 QP 的最大长度为 6 米. 第 7 题解图 8. 0≤w≤5;5≤w≤20　 【解析】∵ 物体运动的最高点离地面 20 米,物体从发射到落地的运动时间为 3 秒,∴ 抛物线 h = -5t2 + mt+ n 的顶点的纵坐标为 20, 且经过点 ( 3, 0 ), 代入得, ∴ 4×( -5)n-m2 4×( -5) = 20, -5×32 +3m+n= 0, { 解得 m1 = 10,n1 = 15,{ m2 = 50, n2 = -105{ (不合题意,舍 去),∴ 抛物线的解析式为 h= -5t2 +10t+15 = -5( t-1) 2 +20,∴ 抛物线的顶点坐标为(1,20) . ∵ 20-15 = 5,∴ 当 0≤t≤1 时,w 的取值范围是 0≤w≤5;当 t = 2 时,h = 15,当 t = 3 时,h = 0,∵ 20-15 = 5,20-0 = 20,∴ 当 2≤t≤3 时,w 的取值范围是 5≤w ≤20. 9. 解:(1)∵ AO= 17 m, ∴ A(0,17) . ∵ OC= 100 m,缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD= 2 m, ∴ 抛物线的顶点 P(50,2), 故可设抛物线解析式为 y=a(x-50) 2 +2, 将 A(0,17)代入抛物线解析式可得, ∴ 2 500a+2 = 17, ∴ a= 3 500 , ∴ 缆索 L1 所在抛物线的函数表达式为 y= 3 500 (x-50) 2 +2; (2)∵ 缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物线关于 y 轴对 称,缆索 L1 所在抛物线为 y= 3 500 (x-50) 2 +2, ∴ 缆索 L2 所在抛物线为 y= 3 500 (x+50) 2 +2. 令 y= 2. 6, ∴ 2. 6 = 3 500 (x+50) 2 +2, ∴ x= -40 或 x= -60, 又∵ FO<OD= 50 m, ∴ x= -40. ∴ FO 的长为 40 m. 10. 解:(1) v0 10 ;【解法提示】∵ -5<0,∴ 当 t = - v0 2×( -5) = v0 10 时,离 地面的高度最大. (2)当 h= 20 时, -5×( v0 10 ) 2 +v0 × v0 10 = 20. 解得 v0 = 20(负值已舍去) . 答:小球被发射时的速度是 20 m / s; (3)小明的说法不正确. 理由如下: 由(2)得 h= -5t2 +20t. 当 h= 15 时,15 = -5t2 +20t. 解得 t1 = 1,t2 = 3. ∵ 3-1 = 2(s), ∴ 小明的说法不正确. 11. 解:(1)①a= - 1 15 ,b= 8. 1;【解法提示】∵ y = ax2 +x 经过点(9, 3. 6),∴ 81a+9 = 3. 6. 解得 a = - 1 15 . ∵ y = - 1 2 x+b 经过点(9, 3. 6),∴ 3. 6 = - 1 2 ×9+b. 解得 b= 8. 1. ②由①得 y = - 1 15 x2 +x = - 1 15 ( x2 - 15x+ 225 4 ) + 15 4 = - 1 15 ( x- 15 2 ) 2 + 15 4 (0≤x≤9), ∴ 火箭运行的最高点的高度是 15 4 km. ∴ 15 4 -1. 35 = 2. 4(km) . ∴ 2. 4 = - 1 15 x2 +x. 整理得 x2 -15x+36 = 0. 解得 x1 = 12>9(不合题意,舍去),x2 = 3. 由①得 y= - 1 2 x+8. 1. ∴ 2. 4 = - 1 2 x+8. 1. 解得 x= 11. 4. ∴ 11. 4-3 = 8. 4(km) . 答:这两个位置之间的距离为 8. 4 km; (2)当- 2 27 <a< 0 时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km. 【解法提示】当 x = 9 时,y = 81a+9. ∴ 火箭第二级的引 发点的坐标为(9,81a+9),设火箭落地点与发射点的水平距 离为 15 km, ∴ y = - 1 2 x + b 经过点( 9,81a + 9), ( 15,0) ∴ - 1 2 ×9+b= 81a+9, - 1 2 ×15+b= 0, ì î í ï ï ïï 解得 a= - 2 27 , b= 7. 5, { ∴ 当- 227 <a<0 时,火箭落 地点与发射点的水平距离超过 15 km. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 1. B 2. C　 【解析】①经过一点可以作无数条直线,此说法正确;②射 线 AC 和射线 AD 是同一条射线,都是以 A 为端点,同一方向的 射线,此说法正确;③三条直线两两相交时,可能有 1 个交点, 也可能有 3 个交点,故说法错误;④AB<AC+BC,三角形两边之 和大于第三边,所以此说法正确,所以共有 3 个正确. 3. C　 【解析】∵ AB = 11,DB = 8,∴ AD = AB-DB = 3,又∵ 点 D 是 AC 的中点,∴ DC=AD= 3,∴ CB=DB-DC= 8-3 = 5. 4. 125,35 5. A　 【解析】∵ OE⊥AB,∠1 = 35°,∴ ∠AOC= ∠AOE-∠1 = 90°- 35° = 55°,∴ ∠2 = ∠AOC= 55°. 变式 5-1　 B　 【解析】∵ 点 A,O,B 在同一条直线上,∠BOC = 120°,∴ ∠AOC+∠BOC= 180°,∴ ∠AOC= 180°-∠BOC= 180°- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 120° = 60°,∵ OD 是∠AOC 的平分线,∴ ∠AOD = 1 2 ∠AOC = 1 2 ×60° = 30°. 变式 5-2　 C　 【解析】∵ ∠BOD = 75°,∠DOC = 25°,∴ ∠BOC = ∠BOD-∠DOC= 75°-25° = 50°,∴ ∠AOB = ∠AOC+∠BOC = 75°+50° = 125°. 6. 垂线段最短 7. A　 【解析】在“A”字型图中,两条直线 AB、DE 被第三条直线 AC 所截形成的角中,∠A 与∠4 都在两直线 AB、DE 的同侧,并 且在第三条直线(截线)AC 的同旁,则∠A 与∠4 是同位角. 拓展　 ∠1、∠2 8. 120°　 【解析】如解图,∵ a∥b,∴ ∠3 = ∠1 = 60°,∴ ∠2 = 180°- 60° = 120°. 第 8 题解图 9. B　 【解析】如解图,∵ AB∥CD,∴ ∠1 = ∠AMN = ∠2 + ∠3,∵ ∠1 = 80°,∠2 = 40°,∴ ∠3 = 40°. 第 9 题解图 10. A　 【解析】如解图,∵ AB∥CD,∴ ∠CDB = ∠ABF = 60°,∵ CD ⊥DE,∴ ∠CDE= 90°,∴ ∠1 = 180°-60°-90° = 30°. 第 10 题解图 11. B 　 【解析】 ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAD = ∠1 = 30°, ∵ AD 平分 ∠BAC,∴ ∠2 = ∠BAD= 30°. 12. B　 【解析】∵ AB∥DC,∴ ∠B+∠C = 180°,∵ BC∥DE,∴ ∠C = ∠D,∴ ∠B+∠D= 180°,∵ ∠B= 145°,∴ ∠D= 35°. 13. 40 14. A　 【解析】A. 两点之间,线段最短,命题正确,符合题意;B. 菱形的对角线互相垂直,但不一定相等,故本选项命题错误, 不符合题意;C. 正五边形的外角和为 360°,故本选项命题错 误,不符合题意;D. 直角三角形不一定是轴对称图形,故本选 项命题错误,不符合题意. 15. B　 【解析】∵ 当 a= -2,b= 1 时,( -2) 2 >12 ,-2<1,∴ a = -2,b = 1 可以用来说明该命题是假命题的反例. 16. C　 【解析】如解图,∵ 支持力 F1 的方向与斜面垂直,摩擦力 F2 的方向与斜面平行,∴ ∠3 = 90°,∵ 重力 G 的方向竖直向 下,∴ ∠α+∠1 = 90°,∴ ∠2 = ∠1 = 90°- 25° = 65°,∵ 摩擦力 F2 的方向与斜面平行,∴ ∠β+∠2 = 180°,∴ ∠β = 180°-∠2 = 180°-65° = 115°. 第 16 题解图 17. B 命题点 2　 三角形及其重要线段 1. A 2. B　 【解析】由示意图可知,△DOA 和△DBE 都是直角三角形, ∴ ∠O+∠ADO= 90°,∠DEB+∠ADO= 90°,∴ ∠DEB= ∠O. 变式　 100° 　 【解析】如解图,由题意得:∠BAC = 60°,∠C = 30°,∠D= 45°,∵ ∠EAB= 35°,∴ ∠CAD = 180°-∠EAB-∠BAC = 85°,∴ ∠AGD= 180°-∠D-∠CAD = 50°,∴ ∠CGF = ∠AGD = 50°,∴ ∠DFC= 180°-∠C-∠CGF= 100°. 第 2 题变式题解图 3. A 4. B　 【解析】设第三根小木棒长为 x cm,由三角形三边关系定理 得 5-3<x<5+3,∴ x 的取值范围是 2<x<8,观察选项,只有选项 B 符合题意. 变式 4-1　 D　 【解析】A. ∵ 1+2 = 3,∴ 长度为 1 cm,2 cm,3 cm 的三条线段不能组成三角形,本选项不符合题意;B. ∵ 3+ 5 = 8,∴ 长度为 3 cm,8 cm,5 cm 的三条线段不能组成三角形,本 选项不符合题意;C. ∵ 4+5<10,∴ 长度为 4 cm,5 cm,10 cm 的 三条线段不能组成三角形,本选项不符合题意;D. ∵ 4+5>6,∴ 长度为 4 cm,5 cm,6 cm 的三条线段能组成三角形,本选项符 合题意. 变式 4-2　 D 5. B 变式 5-1　 60°　 【解析】∵ ∠BDC = 120°,∴ ∠DBC+∠DCB = 180°-120° = 60°,∵ BD 和 CD 是△ABC 的角平分线,∴ ∠ABC+ ∠ACB= 2(∠DBC+∠DCB)= 2×60° = 120°,∴ ∠A = 180°-120° = 60°. 变式 5-2　 60° 6. B 7. C　 【解析】∵ DE 垂直平分 AB 交 BC 于点 D,∴ AD = DB,∵ △ACD 的周长为 50 cm,∴ AC+CD+AD=AC+CD+DB =AC+BC = 50 cm. 8. D　 【解析】∵ 点 D,E 分别是 AC,BC 的中点,∴ DE 是△ABC 的 中位线,∴ DE∥AB,∴ ∠B = ∠CED = 70°,∴ ∠C = 180° -∠A- ∠B= 180°-45°-70° = 65°. 9. 100°　 【解析】∵ CD 是边 AB 上的高,∴ ∠CDB = ∠CDA = 90°, ∵ ∠BCD= 30°,∠ACB = 80°,∴ ∠ACD = ∠ACB-∠BCD = 50°, ∠CBD= 90°-∠BCD = 60°,∴ ∠CAB = 90°-∠ACD = 40°,∵ AE 是∠CAB 的平分线,∴ ∠EAB= 1 2 ∠CAB = 20°,∴ ∠AEB = 180° -∠EAB-∠EBA= 100°. 10. D　 【解析】∵ CM 是△ABC 的中线,BC = 8 cm,∴ AM = BM,∵ △BCM 的周长=BC+BM+CM,△ACM 的周长 = AC+AM+CM, 且△BCM 的周长比△ACM 的周长大 2 cm,∴ BC+BM+CM- (AC+AM+CM)= 2,即 BC-AC= 2,∴ 8-AC= 2,解得 AC= 6 cm. 变式　 D 　 【解析】 ∵ E,F 分别是 AC,DC 的中点,∴ EF 是 △ACD 的中位线,∴ AD = 2EF = 2× 3 = 6,∵ CD 是△ABC 的中 线,∴ BD=AD= 6. 11. C　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥BC 于 D,设 BD = x 里,则 CD= (14-x)里,在 Rt△ABD 中,AD2 +x2 = 132 ,在 Rt△ADC 中, AD2 = 152 -(14-x) 2 ,∴ 132 -x2 = 152 -(14-x) 2 ,解得 x = 5,在 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71