3.8 反比例函数的应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·四川数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 8　 反比例函数的应用 (成都必考) 　 类型 1　 与一次函数结合(成都 2018. 25) 1. [2023 成都郫都区期中]若 ab<0,则正比例函数 y= ax 与反比例函数 y = b x 在同一坐标系中的 大致图象可能是图中的 (　 B　 ) 2. [2024 成都龙泉驿区期末]在同一平面直角坐标 系中,函数 y = kx+1(k≠0)和 y = k x (k≠0)的 图象可能是 (　 D　 ) 3. [2024 泸州]已知关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+ 1-k=0 无实数根,则函数 y=kx 与函数 y= 2 x 的图 象交点个数为 (　 A　 ) A. 0　 　 　 B. 1　 　 　 C. 2　 　 　 D. 3 4. [2024 内江]如图,一次函数 y=ax+b 的图象与反 比例函数 y= k x 的图象相交于 A、B 两点,其中点 A的坐标为(-2,3),点 B 的坐标为(3,n). (1)求这两个函数的表达式; (2)根据图象,直接写出关于 x 的不等式 ax+ b< k x 的解集. 第 4 题图 解:(1)∵一次函数 y = ax+b 的图 象与反比例函数 y= k x 的图象相 交于 A、B 两点,其中点 A 的坐标 为(-2,3),点 B 的坐标为(3,n), ∴ k=-2×3=3×n, ∴ k=-6,n=-2, ∴反比例函数的表达式为 y=- 6 x , ∵A( -2,3),B(3,-2)在一次函数 y = ax+b 的图 象上, ∴ -2a+b=3, 3a+b=-2,{ 解得 a=-1, b=1,{ 5. [2024 乐山]如图,已知点 A(1,m),B(n,1)在反 比例函数 y= 3 x (x>0)的图象上,过点 A的一次函 数 y=kx+b 的图象与 y 轴交于点 C(0,1). (1)求 m,n 的值和一次函数的表达式; (2)连接 AB,求点 C 到线段 AB 的距离. 第 5 题图 ∴一次函数的表达式为 y=2x+1; (2)如解图,连接 BC.过点 A 作 AD⊥BC,垂足为点 D,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为点 E. ∵C(0,1),B(3,1),∴BC∥x 轴,BC=3. ∵点 A(1,3),B(3,1),AD⊥BC, ∴点 D(1,1),AD=2,DB=2. 在 Rt△ADB 中,AB= 　 AD2+BD2 = 　 22+22 =2 　 2 , 又∵S△ ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 AB·CE, 即 1 2 ×3×2= 1 2 ×2 　 2 ×CE,解得 CE=3 　 2 2 , 即点 C 到线段 AB 的距离为3 　 2 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 分层作业本·四川数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 三 章 函 　 数 类型 2　 与几何图形结合 6. 多解法 ∙∙∙ 　 [2023 邵阳]如图,矩形 OABC 的顶点 B 和正方形 ADEF 的顶点 E 都在反比例函数 y= k x (k≠0)的图象上,点 B 的坐标为(2,4), 则点 E 的坐标为 (　 D　 ) A. (4,4)　 B. (2,2)　 C. (2,4)　 D. (4,2) 第 6 题图 　 　 第 6 题变式题图 变式 名师原创 某家具店把一件甲型号家具和两 件乙型号的家具按如图位置摆放,它们的侧 面都是矩形,矩形的宽都相同. 店主经过测算 发现,三个矩形的一个顶点恰好在一条双曲 线上,已知乙型号家具的高是 100 cm,则家具 的宽是 (　 D　 ) A. 35 cm B. 40 cm C. 45 cm D. 50 cm 7. 名师原创 如图,已知等腰 Rt△ABC 的面积为 9 2 ,且 AB∥y 轴,点 B,C 均在反比例函数 y = k x (k<0,x<0)图象上,若点 B 的坐标是(m,n), 则 m+n 的值为 (　 B　 ) A. 3 B. -3 C. 1 3 D. - 1 3 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. [2024 苏州]如图,点 A 为反比例函数 y = - 1 x (x<0)图象上的一点,连接 AO,过点 O 作 OA 的垂线与反比例函数 y= 4 x (x>0)的图象交于 点 B,则AO BO 的值为 (　 A　 ) A. 1 2 B. 1 4 C. 　 3 3 D. 1 3 9. [2024 南充一诊]如图,点 A,C 在双曲线 y = 6 x 上,点 B,D 在双曲线 y = 2 x 上,AB∥y 轴,且四 边形 ABCD 是平行四边形,则▱ABCD 的面积 为　 8　 . 第 9 题图 10. [2023 雅安]如图,在平面直角坐标系中,四边 形 OABC 是边长为 2 的正方形,点 A,C 在坐 标轴上,反比例函数 y= k x (x>0)的图象经过 点 B. (1)求反比例函数的表达式; (2)点 D 在反比例函数图象上,且横坐标大 于 2, S△OBD = 3, 求直线 BD 的函数表 达式. 第 10 题图 解:(1)∵四边形 OABC 是边长为 2 的正方形, ∴B(2,2), ∵反比例函数 y= k x (x>0)的图象经过点 B, ∴ k=2×2=4, ∴反比例函数的表达式为 y= 4 x ; (2)如解图,过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E, ∵BA⊥x 轴,且点 B、点 D 都在反比例函数图象 上,∴S△DOE =S△AOB = 1 2 ×4=2, 设 D(m, 4 m ),则 OE=m,DE= 4 m , ∵ S△OBD = 3,∴ S△OBD = S△AOB + S梯形ABDE - S△DOE = S梯形ABDE =3,∴ 1 2 (2+ 4 m )·(m-2)= 3, ∴直线 BD 的函数表达式为 y=- 1 2 x+3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 分层作业本·四川数学 　 第 三 章 函 　 数 类型 3　 与一次函数及几何图形综合(成都必考) 11. [2024 内江六中二诊]如图,点 A 是射线 y = 6 5 x (x≥0)上一点,过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B, 以 AB 为边在其右侧作正方形 ABCD,过点 A 的双曲线 y= k x 交 CD 边于点 E,则DE EC 的值为 (　 A　 ) A. 6 5 B. 9 5 C. 16 5 D. 1 第 11 题图 　 　 第 12 题图 12. [2024 广元]已知 y = 　 3 x 与 y = k x (x>0)的图 象交于点 A( 2,m),点 B 为 y 轴上一点,将 △OAB 沿 OA 翻折,使点 B 恰好落在 y = k x (x>0)上点 C 处,则 B 点坐标为　 (0,4) 　 . 13. [2024 绵阳一诊]如图,A,B 是反比例函数 y = k x (k>0,x>0)图象上的两点,过点 A,B 分别 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 C,D,直线 AB 交 y 轴正半轴于点 E. 若点 B 的横坐标是 4, CD= 3AC, cos ∠BED = 3 5 , 则 A 点的坐标 是　 ( 　 　 ,3) 　 . 第 13 题图 14. [2024 凉山州]如图,正比例函数 y1 = 1 2 x 与反比 例函数 y2 = k x (x>0)的图象交于点 A(m,2). (1)求反比例函数的解析式; (2)把直线 y1 = 1 2 x 向上平移 3 个单位长度 与 y2 = k x ( x> 0) 的图象交于点 B,连接 AB,OB,求△AOB 的面积. 第 14 题图 解:(1)∵点 A(m,2)在正比例函数图象上, ∴2= 1 2 m,解得 m=4, ∴A(4,2), ∵A(4,2)在反比例函数的图象上, ∴ k=8,∴反比例函数的解析式为 y2 = 8 x ; (2)把直线 y1 = 1 2 x 向上平移 3 个单位长度得到的 直线解析式为 y= 1 2 x+3, 则直线 y= 1 2 x+3 与 y 轴交点坐标为 D(0,3), 连接 AD,如解图, ∴S△AOB =S△ADO = 1 2 ×3×4=6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 分层作业本·四川数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 三 章 函 　 数 15. [2024 雅安]如图,在平面直角坐标系中,一次 函数的图象 l 与反比例函数 y = k x 的图象交 于 M( 1 2 ,4),N(n,1)两点. (1)求反比例函数及一次函数的表达式; (2)求△OMN 的面积; (3)若点 P 是 y 轴上一动点,连接 PM,PN. 当 PM+PN 的值最小时,求点 P 的坐标. 第 15 题图 解:(1)反比例函数的表达 式为 y= 2 x . 一次函数的表达式为 y = - 2x+5; (2)如解图 1,设直线 l 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B, ∵直线 l 的表达式为 y = - 2x+5, ∴A( 5 2 ,0),B(0,5),∴OA= 5 2 ,OB=5, ∴ S△OMN =S△AOB-S△AON-S△BOM = 1 2 AO·BO- 1 2 AO· yN- 1 2 BO·xM = 1 2 × 5 2 ×5 - 1 2 × 5 2 × 1 - 1 2 × 5 × 1 2 =15 4 ; (3)如解图 2,作点M关于 y轴的对称点M′,连接M′N 交 y轴于点 P,则 PM+PN的最小值等于M′N的长. ∵M( 1 2 ,4)与 M′关于 y 轴对称,∴M′(- 1 2 ,4) . 又∵N(2,1), ∴直线 M′N 的表达式为 y=- 6 5 x+17 5 . 令 x=0,则 y=17 5 ,∴P(0,17 5 ) . 16. [2024 宜宾]如图,一次函数 y=ax+b(a≠0)的 图象与反比例函数 y = k x (k≠0)的图象交于 点 A(1,4),B(n,-1) . (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)利用图象,直接写出不等式 ax+b< k x 的 解集; (3)已知点 D 在 x 轴上,点 C 在反比例函数 图象上. 若以 A,B,C,D 为顶点的四边形 是平行四边形,求点 C 的坐标. 第 16 题图 解:(1)将点 A,B 的坐标代 入反比例函数中,得 k=4×1 =-n, 解得 k=4,n=-4, ∴反比例函数的表达式为 y = 4 x ,点 B(-4,-1); 将点 A,B 的坐标代入一次函数表达式, 4=a+b, -1=-4a+b,{ 解得 a=1, b=3,{ ∴一次函数表达式为 y=x+3; (2)由函数图象可知,不等式 ax+b< k x 的解集为 0< x<1 或 x<-4; (3)设点 C 的坐标为(m, 4 m ),点 D(x,0), 当 AB 为对角线时,由中点坐标公式得 4-1= 4 m , 解得 m= 4 3 ,则点 C( 4 3 ,3); 当 AC 或 AD 为对角线时, 同理可得 4+ 4 m =-1 或 4= 4 m -1,解得 m=± 4 5 , 则点 C(- 4 5 ,-5)或( 4 5 ,5), 综上,点 C的坐标为( 4 3 ,3)或(- 4 5 ,-5)或( 4 5 ,5). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 反比例函数、一次函数与几何图形综合题见培优册 P41 53 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 ∵ B( - 1,3),S▱ABCO = 3,解法 1:∴ S△BOD = 3 2 ,S△AOB = S▱ABCO = 3 2 ,∴ S△AOD =S△BOD+S△AOB = 3,∴ | k | = 6,∵ 反比例函数的图象 经过第二象限,∴ k= -6. 解法 2:∴ OC·OD= 3OC= 3,∴ OC= 1. ∵ 四边形 ABCO 是平行 四边形,∴ AB=OC= 1,∴ AD= 2,∴ A( -2,3),∵ 点 A 在反比例 函数 y= k x 图象上,∴ k= -6. 第 4 题解图 5. y= 8 x 　 【解析】∵ 点 A 的坐标为(3,4),∴ OA= 　 32 +42 = 5,∵ 四边形 AOCB 是菱形,∴ AB∥OC,∴ B( 8,4),∵ 点 D 是菱形 AOCB 的对称中心,∴ D(4,2),设反比例函数表达式为 y = k x , ∴ 2 = k 4 ,∴ k= 8,∴ 反比例函数表达式为 y= 8 x . 6. B　 【解析】由题意可设 C(2,a),则 E(1,a+2),可得 2a= 1×(a +2),解得 a= 2,∴ C(2,2),∴ k= 2×2 = 4. 7. A　 【解析】如解图,作 CE⊥x 轴,垂足为 E,∵ ∠ABC = 90°,∴ ∠ABO= ∠BCE = 90° - ∠CBE,又∵ ∠AOB = ∠BEC = 90°, ∴ △AOB∽△BEC,∴ AO BO =BE CE ,∵ A(0,4),B(2,0),∴ OA = 4,OB = 2,∵ AC∥x 轴,∴ CE=OA= 4,∴ 4 2 = BE 4 ,∴ BE = 8,∴ OE =OB +BE= 2+8 = 10,∴ C(10,4),∵ D 是 AC 的中点,∴ D(5,4),又 ∵ D(5,4)在反比例函数的图象上,∴ k= 20. 第 7 题解图 8. 8　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,过点 B 作 BE⊥ x 轴于点 E,∵ tan∠AOC= AD OD = 4 3 ,∴ 设 AD = 4x,则 OD = 3x,∵ 点 A 落在反比例函数 y= 3 x 的图象上,∴ 4x·3x= 3,解得 x= 1 2 (负值已 舍 去 ), ∴ OD = 3 2 , AD = 2, ∴ A ( 3 2 , 2 ), OA = 　 OD2 +AD2 = 　 ( 3 2 ) 2 +22 = 5 2 ,∵ 四边形 AOCB 为菱形,∴ AB=OA= 5 2 ,∴ B( 3 2 + 5 2 ,2),即(4,2),∵ 点 B 落在反比例函 数 y= k x (k≠0)的图象上,∴ k= 4×2 = 8. 第 8 题解图 9. B　 【解析】∵ 点 P,Q 在反比例函数 y= 5 x 的图象上,且 S1 ,S2 , S3 是三个相邻且不重叠的小矩形,∴ 根据反比例函数 k 的几 何意义,得 S1 +S2 = 5,S3 +S2 = 5,∵ S2 = 2,∴ S1 = 3,S3 = 3,∴ S1 + S3 = 6. 10. B　 【解析】∵ D 是 OA 的中点,且 A( -8,6),∴ D( -4,3),∵ 点 D 在反比例函数图象上,∴ k = - 12,∴ 反比例函数解析式为 y= - 12 x ,∴ S△BOC = 1 2 ×12 = 6. 11. 3 3 　 【解析】解法 1:如解图 1,过点 C 作 CD⊥OA 于点 D,在 Rt△OCD 中,∠COA= 60°,∴ CD = 3 OD,又∵ 经过点 C 的反 比例函数表达式为 y = 3 x ,∴ CD·OD = 3 ,∴ OD = 1,CD = 3 ,∴ OC=CB= 2,C(1, 3 ),∴ 点 B 到 y 轴的距离为 1+2 = 3, 点 B 到 x 轴的距离为 CD = 3 ,∴ 点 B 的坐标为( 3, 3 ), ∴ k= 3 3 . 解法 2:如解图 2,过点 C 作 CD⊥OA 于点 D,延长 BC 交 y 轴 于点 E,过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F,易得四边形 OEBF 是矩 形,∵ ∠COA = 60°,易得 S△COD = S△COE = S△ABF = 　 3 2 ,∴ 矩形 OEBF 的面积为 3 　 3 ,∴ 过点 B 的反比例函数的表达式为 y= 3 　 3 x ,即 k= 3 3 . 第 11 题解图 1 　 　 第 11 题解图 2 第 12 题解图 12. B　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥ BC 于点 D, 设 BC 与 y 轴交于点 E,在等腰三角形 ABC 中,AD⊥BC,则 D 是 BC 的中点,设 A( a, k a ),B ( b, k b ),∵ BC 的中点为 D,AB = AC,∴ 在等腰三角形 ABC 中,BD=DC = a-b,∴ C(2a-b, k b ), ∵ AC 的中点为 M,∴ M( 3a-b 2 , k a + k b 2 ),即( 3a-b 2 , k(a+b) 2ab ), 由 M 在反比例函数 y = k x 上得 M( 3a-b 2 , k 3a-b 2 ),∴ k(a+b) 2ab = k 3a-b 2 ,化简得 3q2 -2ab-b2 = 0,解得 b = a(舍去)或 b = -3a,由 题可知,AD∥NE,∴ AN AB =DE BD = a a-b = a a+3a = 1 4 . 命题点 8　 反比例函数的应用 1. B　 2. D 3. A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x+ 1-k = 0 无实数 根,∴ Δ= 4-4(1-k) <0,解得 k<0,则函数 y = kx 的图象经过第 二、四象限,函数 y = 2 x 的图象分布在第一、三象限,两个函数 图象没有交点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 4. 解:(1)∵ 一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= k x 的图象 相交于 A、B 两点,其中点 A 的坐标为( -2,3),点 B 的坐标为 (3,n), ∴ k= -2×3 = 3×n, ∴ k= -6,n= -2, ∴ 反比例函数的表达式为 y= - 6 x , ∵ A( -2,3),B(3,-2)在一次函数 y=ax+b 的图象上, ∴ -2a+b= 3, 3a+b= -2,{ 解得 a= -1, b= 1,{ ∴ 一次函数的表达式为 y= -x+1. (2)由图象可知,关于 x 的不等式 ax+b< k x 的解集为- 2<x< 0 或 x>3. 5. 解:(1)∵ 点 A(1,m),B(n,1)在反比例函数 y= 3 x 的图象上, ∴ m= 3,n= 3; 又∵ 一次函数 y= kx+b 过点 A(1,3),C(0,1), ∴ k+b= 3, b= 1,{ 解得 k= 2, b= 1.{ ∴ 一次函数的表达式为 y= 2x+1; (2)如解图,连接 BC. 过点 A 作 AD⊥BC,垂足为点 D,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为点 E. 第 5 题解图 ∵ C(0,1),B(3,1), ∴ BC∥x 轴,BC= 3. ∵ 点 A(1,3),B(3,1),AD⊥BC, ∴ 点 D(1,1),AD= 2,DB= 2. 在 Rt △ADB 中, AB = 　 AD2 +BD2 = 　 22 +22 = 2 　 2 , 又∵ S△ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 AB·CE, 即 1 2 ×3×2 = 1 2 ×2 　 2 ×CE,解得 CE= 3 　 2 2 , 即点 C 到线段 AB 的距离为 3 　 2 2 . 6. D　 【解析】解法 1:设正方形 ADEF 的边长为 x,则 OD= x+2,则 点 E 的坐标为(x+2,x),由 k 的几何意义可知(x+2)·x= 2×4, 解得 x= 2 或 x= -4(舍去),∴ 点 E 的坐标为(4,2) . 解法 2:∵ 点 B(2,4)在反比例函数 y = k x 的图象上,∴ 4 = k 2 , ∴ k= 8,∴ 反比例函数的解析式为 y= 8 x . ∵ 点 E 在反比例函数 图象上,∴ 可设 E(a, 8 a ),∵ AD=ED,∴ a-2 = 8 a ,解得 a1 = 4, a2 = -2,∵ a>0,∴ a= 4,∴ E(4,2) . 变式　 D　 【解析】设家具的宽为 x cm,则点 B 的坐标为(2x, 100),点 C 的坐标为 ( 2x + 100, x), ∵ B,C 都在双曲线上, ∴ 200x= x(2x+100),∴ x= 50(x= 0 舍去) . 7. B　 【解析】∵ 等腰直角三角形 ABC 的面积为 9 2 ,∠A = 90°, ∴ AB=AC= 3. ∵ 点 B 的坐标是(m,n),AB∥y 轴,∴ 点 C 的坐 标为(m+3,n+3) . ∵ 点 B,C 都在反比例函数图象上,∴ mn = (m+3)(n+3)= mn+3m+3n+9 =mn+3(m+n) +9,∴ m+n= -3. 8. A　 【解析】如解图,过点 A 作 AG⊥x 轴于点 G,过点 B 作 BH⊥ x 轴于点 H,∵ 点 A 在反比例函数 y = - 1 x 的图象上,点 B 在反 比例函数 y = 4 x 的图象上,∴ S△AGO = 1 2 ,S△BOH = 2,∵ ∠AOB = 90°,∴ ∠AOG = ∠OBH, ∠AGO = ∠OHB, ∴ △AGO∽ △OHB, ∴ S△AGO S△OHB = ( AO OB ) 2 = 1 2 2 ,∴ AO BO = 1 2 . 第 8 题解图 9. 8　 【解析】过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E,如解图, ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,AB∥y 轴,∴ AB∥CD∥y 轴,AB =CD,∵ 点 A,C 在双曲线 y= 6 x 上,∴ 设点 A(a, 6 a ),点 C( -b, - 6 b ),∵ AB∥CD∥y 轴,点 B,D 在双曲线 y = 2 x 上,∴ 点 B(a, 2 a ),D( -b,- 2 b ),∴ AB= 6 a - 2 a = 4 a ,CD = - 2 b -(- 6 b )= 4 b , ∵ AB=CD,∴ 4 a = 4 b ,∴ a =b,∵ AB∥y 轴,CE⊥AB,∴ CE⊥y 轴, ∴ CE=a-( -b)= a+b= 2a,∴ S▱ ABCD =AB·CE= 4 a ×2a= 8. 第 9 题解图 10. 解:(1)∵ 四边形 OABC 是边长为 2 的正方形, ∴ B(2,2), ∵ 反比例函数 y= k x (x>0)的图象经过点 B, ∴ k= 2×2 = 4, ∴ 反比例函数的表达式为 y= 4 x ; (2)如解图,过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E, ∵ BA⊥x 轴,且点 B、点 D 都在反比例函数图象上, 第 10 题解图 ∴ S△DOE =S△AOB = 1 2 ×4 = 2, 设 D(m, 4 m ),m>2, 则 OE=m,DE= 4 m , ∵ S△OBD = 3, ∴ S△OBD =S△AOB+S梯形ABDE-S△DOE =S梯形ABDE = 3, ∴ 1 2 (2+ 4 m )·(m-2)= 3, 整理得 m2 -3m-4 = 0, 解得 m= 4 或 m= -1(舍去), ∴ D(4,1), 设直线 BD 的函数表达式为 y=ax+b(a≠0), 把点 B,D 的坐标代入得 2a+b= 2, 4a+b= 1,{ 解得 a= - 1 2 , b= 3, { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 ∴ 直线 BD 的函数表达式为 y= - 1 2 x+3. 11. A　 【解析】设点 A 的坐标为(m, 6 5 m),∵ 点 A 在双曲线 y = k x 上,∴ k = m· 6 5 m = 6 5 m2 ,即反比例函数的解析式为 y = 6m2 5x ,又∵ AB=AD=CD=BC= 6 5 m,∴ 点 C,D,E 的横坐标为 m + 6 5 m= 11 5 m,把 x= 11 5 m 代入反比例函数 y = 6m2 5x 中,得 y = 6 11 m,即 EC= 6 11 m,∴ DE= 6 5 m- 6 11 m= 36 55 m,∴ DE EC = 6 5 . 12. (0,4)　 【解析】∵ 点 A(2,m)在直线 y = 　 3 x 上,∴ m = 2 　 3 , ∴ A(2,2 　 3 ),∵ 点 A 在反比例函数 y = k x ( x> 0)的图象上, ∴ k= 2×2 　 3 = 4 　 3 ,∴ 反比例函数的表达式为 y = 4 　 3 x . 如解 图,连接 BC,设直线 BC 与直线 OA 的交点为 P,由翻折的性 质知,BC⊥OA,∴ 可设 BC 的表达式为 y = - 　 3 3 x+b,∴ B(0, b),∴ y= - 　 3 3 x+b, y= 　 3 x, { ∴ P( 　 3 4 b, 3 4 b),又∵ 点 B 与点 C 关于直 线 OA 对称,且 B(0,b),∴ C( 　 3 2 b, 1 2 b),∵ 点 C 在反比例函 数 y= 4 　 3 x 的图象上,∴ 　 3 2 b× 1 2 b = 4 　 3 . ∴ b = 4 或 b = -4(舍 去) . ∴ B(0,4) . 第 12 题解图 13. ( 4 5 ,3)　 【解析】∵ BD∥x 轴,∴ ∠EDB = 90°,∵ cos∠BED = ED EB = 3 5 ,∴ 设 DE= 3a,BE= 5a,∴ BD = 　 BE2 -DE2 = 4a,∵ 点 B 的横坐标为 4,∴ 4a= 4,则 a= 1,∴ DE= 3. 设 AC= b,则 CD= 3AC= 3b,∵ AC∥BD,∴ AC BD = EC ED ,即 AC EC = BD ED = 4a 3a = 4 3 ,∴ EC = 3 4 b,∴ ED= 3b+ 3 4 b= 15 4 b,∴ 15 4 b= 3,则 b= 4 5 ,∴ AC = 4 5 ,CD = 12 5 . 设 B 点的纵坐标为 n,∴ OD=n,则 OC=CD+OD= 12 5 +n. ∴ A( 4 5 , 12 5 +n),B(4,n),∵ A,B 是反比例函数 y = k x ( k>0, x>0)图象上的两点,∴ k = 4 5 ×( 12 5 +n) = 4n 解得 n = 3 5 ,∴ A ( 4 5 ,3) . 14. 解:(1)∵ 点 A(m,2)在正比例函数图象上, ∴ 2 = 1 2 m,解得 m= 4, ∴ A(4,2), ∵ A(4,2)在反比例函数的图象上, ∴ k= 8, ∴ 反比例函数的解析式为 y2 = 8 x ; (2)把直线 y1 = 1 2 x 向上平移 3 个单位长度得到的直线解析 第 14 题解图 式为 y= 1 2 x+3, 则直线 y= 1 2 x+3 与 y 轴交点坐 标为 D(0,3),连接 AD,如解图, ∴ S△AOB =S△ADO = 1 2 ×3×4 = 6. 15. 解:(1)∵ M( 1 2 ,4)在反比例函数 y= k x 的图象上, ∴ k= 1 2 ×4 = 2, ∴ 反比例函数的表达式为 y= 2 x . 又∵ N(n,1)在反比例函数 y= 2 x 的图象上, ∴ n= 2,∴ N(2,1) . 设一次函数的表达式为 y=ax+b,把 M( 1 2 ,4),N(2,1)代入, 得 1 2 a+b= 4, 2a+b= 1, { 解得 a= -2, b= 5,{ 第 15 题解图 1 ∴ 一次函数的表达式为 y= -2x+5; (2)如解图 1,设直线 l 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B, ∵ 直线 l 的表达式为 y= -2x+5, ∴ A( 5 2 ,0),B(0,5), ∴ OA= 5 2 ,OB= 5, ∴ S△OMN =S△ AOB-S△AON-S△BOM = 第 15 题解图 2 1 2 AO·BO- 1 2 AO·yN - 1 2 BO·xM = 1 2 × 5 2 ×5- 1 2 × 5 2 ×1- 1 2 ×5× 1 2 = 15 4 ; (3)如解图 2,作点 M 关于 y 轴的 对称点 M′,连接 M′N 交 y 轴于点 P,则 PM+PN 的最小值等于 M′N 的长. ∵ M( 1 2 ,4)与 M′关于 y 轴对称, ∴ M′( - 1 2 ,4), 又∵ N(2,1), ∴ 直线 M′N 的表达式为 y= - 6 5 x+ 17 5 . 令 x= 0,则 y= 17 5 , ∴ P(0, 17 5 ) . 16. 解:(1)将点 A,B 的坐标代入反比例函数中,得 k= 4×1 = -n, 解得 k= 4,n= -4, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 4 x ,点 B( -4,-1); 将点 A,B 的坐标代入一次函数表达式,得 4 =a+b, -1 = -4a+b,{ 解得 a= 1, b= 3,{ ∴ 一次函数的表达式为 y= x+3; (2)由函数图象可知,不等式 ax+b< k x 的解集为 0<x<1 或 x< -4; (3)设点 C 的坐标为(m, 4 m ),点 D(x,0), 当 AB 为对角线时, 由中点坐标公式得 4-1 = 4 m , 解得 m= 4 3 ,则点 C( 4 3 ,3); 当 AC 或 AD 为对角线时, 同理可得 4+ 4 m = -1 或 4 = 4 m -1, 解得 m= ± 4 5 , 则点 C( - 4 5 ,-5)或( 4 5 ,5), 综上,点 C 的坐标为( 4 3 ,3)或( - 4 5 ,-5)或( 4 5 ,5) . 命题点 9　 二次函数解析式的确定 1. 解:把( -4,0),( -1,9),(1,5)代入 y=ax2 +bx+c, 得 16a-4b+c= 0, a-b+c= 9, a+b+c= 5, { 解得 a= -1, b= -2, c= 8, { ∴ 二次函数的解析式为 y= -x2 -2x+8. 2. 解:∵ 抛物线经过点 A(3,0),且对称轴为直线 x= 1, ∴ 抛物线和 x 轴的另外一个交点为( -1,0), ∴ 抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)= ax2 +bx+3, 解得 a= -1, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3. 3. 解:把 B(3,m)代入 y= x+2 得 m= 3+2 = 5, ∴ B(3,5), 把 A( -2,0),B(3,5)代入 y= -x2 +bx+c, 得 -4-2b+c= 0, -9+3b+c= 5,{ 解得 b= 2, c= 8,{ ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+8. 4. 解:∵ 抛物线 y= -x2 +bx 的顶点横坐标为 b 2 ,y= -x2 +2x 的顶点 横坐标为 1,∴ b 2 -1 = 1,∴ b= 4, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +4x. 5. B　 【解析】∵ 抛物线 y= ( x-1) 2 的顶点坐标为(1,0),∴ 向左 平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,顶点坐标为(0,-2),∴ 平移后抛物线解析式为 y= x2 -2. 6. (1,2)　 【解析】将抛物线 y= -x2 先向右平移 1 个单位长度,再 向上平移 2 个单位长度后抛物线解析式为 y = -( x-1) 2 +2,∴ 顶点坐标为(1,2) . 7. A　 【解析】∵ 将抛物线 y=ax2 +bx+c 向右平移 3 个单位或向左 平移 1 个单位后都经过点(1,0),∴ 抛物线 y = ax2 +bx+c 经过 点( -2,0)和(2,0),∴ - b 2a = -2+2 2 ,∴ b= 0. 8. 解:∵ y2 =mx2 -6mx+9m+2 =m(x-3) 2 +2, ∴ 抛物线 C2 的顶点坐标为(3,2), ∵ 抛物线 C1 与 C2 关于点 P( -1,0)成中心对称, ∴ 抛物线 C1 的顶点为( -5,-2), ∴ 抛物线 C1 的解析式为 y= -m(x+5) 2 -2, ∵ 当-6≤x≤-2 时,y1 有最大值为 4, ∴ 抛物线 C1 开口向上,且当 x= -2 时,y= 4, ∴ -m( -2+5) 2 -2 = 4,∴ m= - 2 3 , ∴ 抛物线 C1 的解析式为 y= 2 3 (x+5) 2 -2. 命题点 10　 二次函数的图象与性质 能力点 (1)(1,-4);(0,-3);x= 1;-4;减小,增大 (2)( -2,-1);x= -2;-1;增大,减小 (3)( -2,-1);(0,3);x= -2;-1;减小,增大 (4) -1,-2; (5)(0,-2),( -2,-2); (6)①>;② = ;③<;④>;⑤<. 1. D　 【解析】由题知抛物线的对称轴为直线 x = 1,且开口向上, ∴ 离对称轴越远的点对应的函数值越大,即当 0≤x≤3,x = 3 时,函数取得最大值为 2. 2. <　 【解析】二次函数 y= 2( x-2) 2 -1 图象的对称轴为直线 x = 2,∵ 2>0,∴ 当 x<2 时,y 随 x 的增大而减小,∵ B(4,y2 )关于对 称轴对称的点为(0,y2 ),且 0<1,∴ y1 <y2 . 3. D　 【解析】由题知, 4a-2b+c= -8, c= 0, 9a+3b+c= -3, { 解得 a= -1, b= 2, c= 0, { ∴ 二次函数的 解析式为 y= -x2 +2x. ∵ a = -1<0,∴ 抛物线的开口向下,故 A 选项不符合题意;∵ y= -x2 +2x= -(x-1) 2 +1,∴ 当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小,故 B 选项不符合题意;令 y = 0,得-x2 +2x = 0, 解得 x1 = 0,x2 = 2,∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为(0,0)和(2, 0),又∵ 抛物线的顶点坐标为(1,1),∴ 抛物线经过第一、三、 四象限,故 C 选项不符合题意;∵ 二次函数解析式为 y = -( x- 1) 2 +1,∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 1,故 D 选项符合题意. 4. D　 【解析】A. ∵ 顶点坐标为( -1,4),∴ 对称轴为直线 x = -1, 故 A 错误;B. 由对称性可知,( -3,0)关于直线 x= -1 对称的点 为(1,0),故 B 错误;C. 开口向下,当 x<-1 时,y 随 x 的增大而 增大,故 C 错误;D. 设二次函数解析式为 y = a( x+ 1) 2 + 4,将 ( -3,0)代入得 a= -1,∴ y= -(x+1) 2 +4,令 x = 0 得 y = 3,∴ 二 次函数图象与 y 轴的交点的纵坐标是 3,故 D 正确. 5. C　 【解析】把 A( -3,0)代入 y = ax2 +x-6,得 0 = 9a-3-6,解得 a= 1,∴ 二次函数解析式为 y= x2 +x-6,∴ 抛物线的对称轴为直 线 x= - 1 2 ,故 A 错误;当 x= - 1 2 时,y= 1 4 - 1 2 -6 = - 25 4 ,∴ 抛物 线的顶点坐标为( - 1 2 ,- 25 4 ),故 B 错误;令 y = 0,则 0 = x2 +x- 6,解得 x1 = -3,x2 = 2,∴ B(2,0),∴ AB= 2-( -3)= 5,∴ A,B 两 点之间的距离为 5,故 C 正确;∵ a = 1>0,∴ 抛物线开口向上, ∴ 当 x>- 1 2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,故 D 错误. 6. C 7. B　 【解析】根据二次函数图象开口向下可得 a<0,二次函数图 象与 x 轴有两个交点可得 b2 - 4ac> 0,二次函数图象与 y 轴交 于正半轴可得 c>0,b 与 0 的大小无法判断,∴ 无法确定- b 2a 与 0 的大小关系,也无法确定 b+c 与 0 的大小关系,A,D 错误;ac <0,B 正确;4ac-b2 <0,C 错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31