3.5 一次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·四川数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 5　 一次函数的实际应用 (成都 8 年 4 考) 能力点 1　 如何理解文字语言 1. [2024 上海节选]某种商品的销售额 y(万元)与 广告投入 x(万元)成一次函数关系,当投入 10 万元时销售额 1 000 万元,当投入 90 万元时销 售额 5 000 万元. 【教你读题】由题可知,点　 　 　 　 　 　 和点 　 　 　 　 　 　 在销售额 y(万元)与广告投入 x(万元)的函数图象上. 2. 在距离地面 11 km 以内,距离地面高度为 x(km)处的气温 y(℃ )满足:每升高 1 km,气 温降低 6 ℃ . 【教你读题】由题知,设在距离地面 11 km 以 内,气温 y 与 x 满足一次函数 y = kx+b,则 k 的 值为　 　 　 　 . 3. [ 2023 成都 24 题改编] 已知 A 种食材每千克 38 元,B 种食材每千克 30 元,某食品店现计划 购买 A,B 两种食材共 36 千克,设购买 A 种食 材 x 千克,所需总费用为 y 元. 【教你读题】 (1)基本关系式:总费用 = A 种食材费用+B 种 食材费用; (2)计划购买的 B 种食材　 　 　 　 　 千克; (3)列出 y 关于 x 的函数表达式为　 　 　 　 　 . 4. 现有甲、 乙 两 家 旅 行 社 的 报 价 均 为 每 人 600 元,并针对组团两日游的旅客,甲旅行社 表示:每人都按报价的八五折收费;乙旅行社 表示:若人数不超过 20 人,每人都按报价的九 折收费;若人数超过 20 人,则其中 20 人按照 九折收费,超出 20 人的部分按照八折收费. 设 组团参加两日游的人数为 x 人. 【教你读题】 (1)基本关系式:总费用=报名人数×人均报价 ×折扣; (2)打折的意义:八五折等价于 85%;九折等 价于　 　 　 　 ;八折等价于　 　 　 　 ; (3)这 x 人均报甲旅行社,所需总费用 y甲和 x 的函数关系式为　 　 　 　 　 ; (4)若 x≤20,这 x 人均报乙旅行社,所需总费用 y乙和 x 的函数关系式为　 　 　 　 　 ; (5)若 x>20,这 x 人均报乙旅行社,所需总费 用 y乙和 x 的函数关系式为　 　 　 　 　 　 . 能力点 2　 如何读懂图象信息 5. [2022 成都 24 题改编]已知路程 s( km) 和时间 t(h)之间的关系如图所示. (1)线段 OA所在直线表 示的函数是正比例函 数,可设它的函数表 达式为　 　 　 　 ; (2)线段 AB 所在直线表 　 第 5 题图 示的函数是一次函数,可设它的函数表达式 为　 　 　 　 　 ; (3)图中点 A,B 的坐标分别为　 　 　 　 　 　 , 　 　 　 　 　 　 　 　 . 6. 已知收费 y(元)与次数 x(次)满足如图所示 的函数关系,结合图象回答下列问题. 第 6 题图 (1)函数 y1 是关于 x 的　 　 　 　 　 函数,可设 它的函数表达式为　 　 　 　 　 ; (2)函数 y2 是关于 x 的　 　 　 　 　 函数,可设 它的函数表达式关于为　 　 　 　 　 ; (3) 图中点 D,B,C 的坐标分别是　 　 　 　 , 　 　 　 　 　 ,　 　 　 　 　 ; (4)由点　 　 　 可求 y1 的表达式为　 　 　 ; (5)由点　 　 　 和点　 　 　 可求 y2 的表达式 为　 　 　 　 　 ; (6)点 A 的坐标是　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 分层作业本·四川数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 三 章 函 　 数 类型 1 　 费用、利润最值问题(成都 2023. 24; 2020. 26;2018. 26) 1. [2024 广元]近年来,中国传统服饰备受大家的 青睐,走上国际时装周舞台,大放异彩. 某服 装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进 行销售,进货价和销售价如表: 　 　 类别 价格　 　 短款 长款 进货价(元 / 件) 80 90 销售价(元 / 件) 100 120 (1)该服装店第一次用 4 300 元购进长、短两 款服装共 50 件,求两款服装分别购进的 件数; (2)第一次购进的两款服装售完后,该服装店 计划再次购进长、短两款服装共 200 件 (进货价和销售价都不变),且第二次进货 总价不高于 16 800 元. 服装店这次应如何 设计进货方案,才能获得最大销售利润, 最大销售利润是多少? 解:(1)由题意,设购进短款服装 x 件,购进长款服装 y 件, ∴ x+y=50, 80x+90y=4 300,{ 解得 x=20, y=30.{ 答:长款服装购进 30 件,短款服装购进 20 件; (2)由题意,设第二次购进 m 件短款服装,则购进 (200-m) 件长款服装, ∴80m+90(200-m)≤16 800. ∴m≥120. 设利润为 w 元, 则 w=(100-80)m+(120-90)(200-m)= -10m+6 000. ∵-10<0, ∴w 随 m 的增大而减小. ∴当m=120时,利润 w最大,为-10×120+6 000=4 800 (元),此时 200-m=80(件). 答:当购进 120 件短款服装,80 件长款服装时有最大 利润,最大利润是 4 800 元. 2. [2023 成都 24 题 8 分]2023 年 7 月 28 日至 8 月 8 日,第 31 届世界大学生运动会将在成都举 行. “当好东道主,热情迎嘉宾”,成都某知名 小吃店计划购买 A,B 两种食材制作小吃. 已 知购买 1 千克 A 种食材和 1 千克 B 种食材共 需 68 元,购买 5 千克 A 种食材和 3 千克 B 种 食材共需 280 元. (1)求 A,B 两种食材的单价; (2)该小吃店计划购买两种食材共 36 千克, 其中购买 A 种食材千克数不少于 B 种食 材千克数的 2 倍,当 A,B 两种食材分别购 买多少千克时,总费用最少? 并求出最少 总费用. 解:(1)设 A 种食材的单价为 x 元 /千克,B 种食材 的单价为 y 元 /千克,由题意得 x+y=68, 5x+3y=280,{ 解得 x=38, y=30,{ 答:A 种食材单价是每千克 38 元,B 种食材单价是 每千克 30 元; (2)设 A 种食材购买 m 千克,则 B 种食材购买(36- m)千克,总费用为 w 元, 由题意得 w=38m+30(36-m)= 8m+1 080, ∵m≥2(36-m),∴24≤m<36, ∵ k=8>0, ∴w 随 m 的增大而增大,∴当 m = 24 时,w 有最小 值,为 8×24+1 080=1 272(元), 此时 36-24=12(千克) . 答:A 种食材购买 24 千克,B 种食材购买 12 千克 时,总费用最少,为 1 272 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 分层作业本·四川数学 　 第 三 章 函 　 数 类型 2　 方案问题 3. [2023 丽水]我市“共富工坊”问海借力,某公司 产品销售量得到大幅提升. 为促进生产,公司 提供了两种付给员工月报酬的方案,如图所 示,员工可以任选一种方案与公司签订合同. 看图解答下列问题: (1)直接写出员工生产多少件产品时,两种方 案付给的报酬一样多; (2)求方案二 y 关于 x 的函数表达式; (3)如果你是劳务服务部门的工作人员,你如 何指导员工根据自己的生产能力选择 方案. 第 3 题图 解:(1)观察图象得: 方案一与方案二的图象相交于点(30,1 200), ∴员工生产 30 件产品时,两种方案付给的报酬一 样多; (2)设方案二的函数表达式为 y=kx+b(k≠0), 将(0,600),(30,1 200)代入表达式中,得 30k+b=1 200, b=600,{ 解得 k=20, b=600,{ 即方案二 y 关于 x 的函数表达式为 y=20x+600; (3)由两方案的图象交点(30,1 200)可知: 若生产件数 x 的取值范围为 0≤x <30,则选择方 案二; 若生产件数 x=30,则选择两个方案都可以; 若生产件数 x 的取值范围为 x>30,则选择方案一. 4. [2024 绵阳游仙区一诊]2023 年 12 月 18 日甘肃 发生 6. 2 级地震,辽宁省应急、交通等部门给 予大力帮助. 针对灾区房屋安全、电力供应、 物资保障等方面进行全方位排查,现安排甲、 乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地 震灾区,两种货车的情况如下表: 甲种货 车 / 辆 乙种货 车 / 辆 总量 / 吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨? (2)据了解,这次运输中,每辆车都装满,甲种 货车拉每吨货物耗费 100 元,乙种货车拉 每吨货物耗费 150 元,有 5 辆车参与运 货,其中甲种货车 a 辆. 求货车所需总费 用 w(元)与 a 之间的函数关系式; (3)在(2)的条件下,要使所需总费用最低,该 如何安排拉货? 最低总费用是多少? 解:(1)设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨, 由表格可得 3m+4n=27, 4m+5n=35,{ 解得 m=5, n=3,{ 答:甲、乙两种货车每辆分别能装货 5 吨、3 吨. (2)甲种货车 a 辆,则乙种货车(5-a)辆, 由题意可得:w=100a×5+150(5-a)×3=50a+2 250, 即货车所需总费用 w 与 a 之间的函数关系式是 w = 50a+2 250. (3)∵w=50a+2 250,50>0, ∴w 随 a 的增大而增大, ∵0≤a≤5, ∴当 a=0 时,w 取得最小值,此时 w=2 250. 答:要使所需总费用最低,安排 5 辆乙种货车拉货, 最低总费用是 2 250 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 分层作业本·四川数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 三 章 函 　 数 类型 3　 行程问题(成都 2022. 24) 5. [2023 济南]学校提倡“低碳环保,绿色出行”, 小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学, 两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀 速前进. 如图所示,l1 和 l2 分别表示两人到小 亮家的距离 s( km)和时间 t( h)的关系,则出 发　 0. 35　 h 后两人相遇. 第 5 题图 6. [2024 自贡富顺县月考]端午节期间,小明一家 自驾游去了离家 200 km 的某地,如图是他们 离家的距离 y(km)与汽车行驶时间 x(h)的函 数图象,根据图象解答下列问题: (1)求出线段 OA 的函数表达式; (2)求他们离家 182 km 时,共用了多少小时? (提示:图中的 OA,AB,BC 均为线段) 第 6 题图 解:(1)设线段 OA 的函数表达式为 y=kx, 将(1,60)代入,得 60=k, ∴ y=60x(0<x≤1); (2)设线段 BC 的函数表达式为 y=ax+b, 将 B(2,170),C(2. 5,200)代入,得 2a+b=170, 2. 5a+b=200,{ 解得 a=60, b=50,{ ∴ y=60x+50(2≤x≤2. 5), 当 y=182 时,182=60x+50, 解得 x=2. 2. 答:当他们离家 182 km 时,共用了 2. 2 小时. 7. [2024 成都七中育才学校期中]小王和小明约定 远足一次,他们从相距 10 千米的 A、B 两地同 时出发相向而行,小王从 A 地出发匀速步行 到 B 地,小明从 B 地出发匀速步行到 A 地,设 他们的步行时间为 x 小时,小王、小明距离 A 地的距离分别为 y1、y2 千米,y1、y2 与 x 的函 数关系图象如图所示,根据图象解答下列 问题: (1)求出 y1、y2 与 x 的函数关系式; (2)x 为何值时,两人相距 4 千米? 第 7 题图 解:(1)设 y1 =k1x(0≤x≤2. 5),y2 =k2x+b(0≤x≤3), 2. 5k1 =10, 3k2+b=0, b=10,{ 解得 k1 =4, k2 =- 10 3 , b=10, ì î í ï ï ïï ∴ y1 =4x(0≤x≤2. 5),y2 =- 10 3 x+10(0≤x≤3); (2)当 y1<y2 时, ∵两人相距 4 千米, ∴-10 3 x+10-4x=4, 解得 x= 9 11 ; 当 y1>y2 时, ∵两人相距 4 千米, ∴4x-(-10 3 x+10)= 4, 解得 x=21 11 . ∴当 x=21 11 或 x= 9 11 时两人相距 4 千米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 分层作业本·四川数学 　 第 三 章 函 　 数 类型 4　 其他问题 8. [2024 陕西]我国新能源汽车快速健康发展,续 航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车 从 A 市前往 B 市. 他驾车从 A 市一高速公路入 口驶入时,该车的剩余电量是 80 kW·h,行驶 了 240 km 后,从 B 市一高速公路出口驶出. 已 知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电 量 y(kW·h)与行驶路程 x( km)之间的关系 如图所示. (1)求 y 与 x 之间的关系式; (2)已知这辆车的“满电量”为 100 kW·h,求 王师傅驾车从 B 市这一高速公路出口驶出 时,该车的剩余电量占“满电量”的百分之 多少. 第 8 题图 解:(1)设 y=kx+b(0≤x≤240),代入(0,80),(150, 50), 得 b=80, 150k+b=50,{ 解得 k=- 1 5 , b=80, ì î í ï ï ïï ∴ y=- 1 5 x+80; (2)令 x=240,则 y=32, 32 100 ×100% =32%, 答:该车的剩余电量占“满电量”的 32%. 9. [2022 年版课标 P178 例 92 改编 / 2024 包头]如图是 1 个碗和 4 个整齐叠放成一摞的碗的示意图, 碗的规格都是相同的. 小亮尝试结合学习函数 的经验,探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗 的总高度 y(单位:cm)随着碗的数量 x(单位: 个)的变化规律. 下表是小亮经过测量得到的 y 与 x 之间的对应数据: x / 个 1 2 3 4 y / cm 6 8. 4 10. 8 13. 2 (1)依据小亮测量的数据,写出 y 与 x 之间的 函数表达式,并说明理由; (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高 度不超过 28. 8 cm,求此时碗的数量最多为 多少个? 第 9 题图 解:(1)由表中的数据可知每增加一个碗,高度均增 加 2. 4 cm, ∴ y 是 x 的一次函数,且 x 为正整数, 设 y=kx+b(k≠0), 由题意得: k+b=6, 2k+b=8. 4,{ 解得 k=2. 4, b=3. 6,{ ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y=2. 4x+3. 6; (2)设碗的数量有 x 个, 则 2. 4x+3. 6≤28. 8, 解得 x≤10. 5, ∴ x 的最大整数解为 10. 答:碗的数量最多为 10 个. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 坐标为(1,0),∴ OA=OB= 1,∴ ∠OBA= ∠OAB= 45°. 由旋转可 知,∠BAC = 15°, ∴ ∠OAC = 45° + 15° = 60°. 在 Rt △AOC 中, tan∠OAC= OC OA ,∴ OC= 　 3 ,则点 C 的坐标为(0,- 　 3 ) . 设直线 l2 对应的函数表达式为 y= kx+b,则 k+b= 0, b= -　 3 ,{ 解得 k= 　 3 , b= -　 3 ,{ ∴ 直线 l2 对应的函数表达式为 y= 　 3 x-　 3 . 第 9 题解图 命题点 4　 一次函数的图象与性质及其应用 1. 1 变式 1-1　 B　 【解析】∵ P(a,b)在直线 y = -3x-4 上,∴ b = - 3a-4,∴ b+3a+4 = 0. 变式 1-2　 3　 【解析】当 x=a 时,y1 = 3a-2;当 x = a+1 时,y2 = 3(a+1) -2 = 3a+1. ∴ y2 -y1 = 3a+1-(3a-2)= 3. 2. -1　 【解析】∵ 直线 y= -kx+3 经过点(2,1),∴ -2k+3 = 1,解得 k= 1,将点(2,1)代入 y= x+b 得 2+b= 1,解得 b= -1. 变式 2-1　 B　 【解析】令 y1 = 0,则 ax-2 = 0,解得 x = 2 a ,令 y2 = 0,则 bx+1 = 0,解得 x = - 1 b ,∵ 两直线相交于 x 轴上同一点, ∴ 2 a = - 1 b ,∴ a= -2b,∴ a+2b= 0. 变式 2-2　 9　 【解析】∵ 一次函数 y = kx+b 的图象经过 A(3, 6),B(0,3)两点,∴ 3k+b= 6, b= 3,{ 解得 k= 1, b= 3,{ ∴ 一次函数解析式 为 y= x+3,当 y = 0 时,x = - 3,∴ C( - 3,0),∴ S△ AOC = 1 2 × 3× 6 = 9. 3. A 变式 3-1　 y= x+1(答案不唯一)　 　 变式 3-2　 一、二、三 变式 3-3　 D 4. D　 【解析】如解图,在两个图象上分别取横坐标为 m(m<0)的 两个点 A 和 B,则 A(m,k1m),B(m,k2m),∵ k1m<k2m,∴ k1 >k2 , 当取横坐标为正数时,同理可得 k1 >k2 ,综上所述,k2 <k1 <0. 第 4 题解图 5. B　 【解析】设 A(a,b),AB =m,AD = n,∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=BC=n,AB=CD=m,∴ D(a,b+n),B(a+m,b),C(a+m, b+n),∵ b a+m < b a < b+n a ,而 b a+m < b+n a+m ,∴ 该矩形四个顶点中“特 征值”最小的是点 B. 6. 1(答案不唯一)　 【解析】∵ y= (3m+1)x-2 的值随 x 的增大而 增大,∴ 3m+1>0,∴ m>- 1 3 ,∴ m 可以为 1. 变式 6-1　 A　 【解析】∵ 一次函数 y = kx-1(k≠0)的函数值 y 随 x 的增大而减小,∴ k<0,又∵ b = -1<0,∴ 该函数图象经过 第二、三、四象限,不经过第一象限. 变式 6-2　 B　 【解析】∵ 正比例函数 y = 3x 的比例系数是 3> 0,∴ y 随 x 的增大而增大. 又∵ x1 <x2 ,∴ y1 <y2 . 变式 6-3　 C　 【解析】∵ 点 A( -1,y1 )和 B(2,y2 )都在一次函 数 y= (k-3)x+2(k 为常数)的图象上,且 y1 >y2 ,∴ y 随 x 的增 大而减小,∴ k-3<0,∴ k<3. 7. D　 【解析】A. 由函数图象经过第二、四象限,可以判定 k<0,原 说法正确,不符合题意;B. 由函数解析式 y = kx+1 知:该直线经 过点(0,1),原说法正确,不符合题意;C. 由函数图象知,y 随 x 的增大而减小,原说法正确,不符合题意; D. 当 y = 0 时, x = - 1 k ,由函数图象知,当 x> - 1 k > 0 时,y< 0,原说法错误,符合 题意. 8. (1)x= -2;(2)x>-2 9. (1)x>1;(2) x= 1, y= 6{ 10. 1　 【解析】解法 1:∵ 直线 y= kx-2k+3,∴ 当 x = 0 时,y = -2k+ 3,当 y= 0 时,x= 2k-3 k ,∴ 点 A 的坐标为( 2k-3 k ,0),点 B 的坐 标为(0,-2k+3),∴ OA= 2k-3 k ,OB = -2k+3,∴ 2 OA + 3 OB = 2 2k-3 k + 3 -2k+3 = 2k 2k-3 - 3 2k-3 = 2k -3 2k-3 = 1. 第 10 题解图 解法 2:∵ y= kx-2k+3 = k(x-2) +3,∴ 直 线过定点 C(2,3),如解图,过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D,CE⊥y 轴于点 E,则 OD = EC= 2,CD = OE = 3,△CEB∽△AOB,∴ EC OA = BE OB ,即 2 OA = OB -3 OB = 1 - 3 OB ,∴ 2 OA + 3 OB = 1. 11. 2 5 　 【解析】设点 B 坐标为(m,2m),则 A(m,0),∵ AB ∶BC = 1 ∶2,∴ BC = 4m,∴ 点 C 的横坐标为 5m,∴ C(5m,2m),∵ 点 C(5m,2m)在直线 y= kx 上,∴ 5mk= 2m,∴ k= 2 5 . 12. k≤-3 或 k≥ 1 3 　 【解析】当 k<0 时,∵ 直线 y= kx+k 经过点 P ( -1,0),A( - 2,3),∴ - 2k+k = 3,∴ k = - 3,∴ k≤- 3;当 k> 0 时,∵ 直线 y= kx+k 经过点 P( -1,0),B(2,1),∴ 2k+k= 1,∴ k = 1 3 . ∴ k≥ 1 3 ;综上,直线与线段 AB 有交点时,k 的取值范围 是:k≤-3 或 k≥ 1 3 . 13. 1 2 <k<1 14. A　 【解析】当 m+1>0,即 m>-1 时,y 随 x 的增大而增大,∴ 当 x= 5 时,一次函数 y= (m+1) x+m2 +1 有最大值 6,∴ 5(m+ 1) +m2 +1 = 6,解得 m1 = 0,m2 = - 5(舍去),当 m+ 1< 0,即 m< -1 时,y 随 x 的增大而减小,∴ 当 x = 2 时,一次函数 y = (m+ 1)x+m2 +1 有最大值 6,∴ 2(m+1) +m2 +1 = 6,解得 m3 = -3,m4 = 1(舍去),综上,当 2≤x≤5 时,一次函数 y= (m+1) x+m2 +1 有最大值 6,则实数 m 的值为 0 或-3. 命题点 5　 一次函数的实际应用 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 能力点 1. (10,1 000),(90,5 000) 2. -6 3. (2)(36-x); (3)y= 8x+1 080 4. (2)90%;80%; (3)y甲 = 510x; (4)y乙 = 540x; (5)y乙 = 480x+1 200 5. (1)y= kx; (2)y= kx+b; (3)(0. 2,3),(0. 5,9) 6. (1)正比例,y= k1x; (2)一次,y= k2x+b; (3)(0,30),(10,180),(9,180); (4)C,y1 = 20x; (5)D,B,y2 = 15x+30; (6)(6,120) 1. 解:(1)由题意,设购进短款服装 x 件,购进长款服装 y 件, ∴ x+y= 50, 80x+90y= 4 300,{ 解得 x= 20, y= 30,{ 答:长款服装购进 30 件,短款服装购进 20 件; (2)由题意,设第二次购进 m 件短款服装,则购进(200-m) 件 长款服装, ∴ 80m+90(200-m)≤16 800. ∴ m≥120. 设利润为 w 元, 则 w= (100-80)m+(120-90)(200-m)= -10m+6 000. ∵ -10<0, ∴ w 随 m 的增大而减小. ∴ 当 m= 120 时,利润 w 最大,为-10×120+6 000 = 4 800(元), 此时 200-m= 80(件) . 答:当购进 120 件短款服装,80 件长款服装时有最大利润,最 大利润是 4 800 元. 2. 解:(1)设 A 种食材的单价为 x 元 /千克,B 种食材的单价为 y 元 /千克,由题意得 x+y= 68, 5x+3y= 280,{ 解得 x= 38, y= 30,{ 答:A 种食材单价是每千克 38 元, B 种食材单价是每千克 30 元; (2)设 A 种食材购买 m 千克,则 B 种食材购买(36-m)千克, 总费用为 w 元, 由题意得 w= 38m+30(36-m)= 8m+1 080, ∵ m≥2(36-m),∴ 24≤m<36, ∵ k= 8>0,∴ w 随 m 的增大而增大, ∴ 当 m= 24 时,w 有最小值,为 8×24+1 080 = 1 272(元), 此时 36-24 = 12(千克) . 答:A 种食材购买 24 千克,B 种食材购买 12 千克时,总费用最 少,为 1 272 元. 3. 解:(1)观察图象得: 方案一与方案二的图象相交于点(30,1 200), ∴ 员工生产 30 件产品时,两种方案付给的报酬一样多; (2)设方案二的函数表达式为 y= kx+b(k≠0), 将(0,600),(30,1 200)代入表达式中,得 30k+b= 1 200, b= 600,{ 解得 k= 20, b= 600,{ 即方案二 y 关于 x 的函数表达式为 y= 20x+600; (3)由两方案的图象交点(30,1 200)可知: 若生产件数 x 的取值范围为 0≤x<30,则选择方案二; 若生产件数 x= 30,则选择两个方案都可以; 若生产件数 x 的取值范围为 x>30,则选择方案一. 4. 解:(1)设甲、乙两种货车每辆分别能装货 m 吨、n 吨, 由表格可得 3m+4n= 27, 4m+5n= 35,{ 解得 m= 5, n= 3,{ 答:甲、乙两种货车每辆分别能装货 5 吨、3 吨. (2)甲种货车 a 辆,则乙种货车(5-a)辆, 由题意可得:w= 100a×5+150(5-a) ×3 = 50a+2 250, 即货车所需总费用 w 与 a 之间的函数关系式是 w = 50a + 2 250. (3)∵ w= 50a+2 250,50>0, ∴ w 随 a 的增大而增大, ∵ 0≤a≤5, ∴ 当 a= 0 时,w 取得最小值,此时 w= 2 250. 答:要使所需总费用最低,安排 5 辆乙种货车拉货,最低总费用 是 2 250 元. 5. 0. 35　 【解析】设 l1 的函数解析式为 s1 = kt+b,则 b= 3. 5, 0. 5k+b= 6,{ 解得 k= 5, b= 3. 5,{ ∴ l1 的函数解析式为 s1 = 5t+3. 5;设 l2 的函数解 析式为 s2 =mt,则 0. 4m = 6,解得 m = 15,∴ l2 的函数解析式为 s2 = 15t;令 s1 = s2 ,即 5t+3. 5 = 15t,解得 t = 0. 35,∴ 出发 0. 35 h 后两人相遇. 6. 解:(1)设线段 OA 的函数表达式为 y= kx, 将(1,60)代入,得 60 = k, ∴ y= 60x(0<x≤1); (2)设线段 BC 的函数表达式为 y=ax+b, 将 B(2,170),C(2. 5,200)代入,得 2a+b= 170, 2. 5a+b= 200,{ 解得 a= 60, b= 50,{ ∴ y= 60x+50(2≤x≤2. 5), 当 y= 182 时,182 = 60x+50, 解得 x= 2. 2. 答:当他们离家 182 km 时,共用了 2. 2 小时. 7. 解:(1)设 y1 = k1x(0≤x≤2. 5),y2 = k2x+b(0≤x≤3), 将点(2. 5,10)代入 y1 = k1x,将点(0,10),(3,0)代入 y2 = k2x+b 得,2. 5k1 = 10, 3k2 +b= 0, b= 10,{ 解得 k1 = 4, k2 = - 10 3 , b= 10, { ∴ y1 = 4x(0≤x≤2. 5),y2 = - 10 3 x+10(0≤x≤3); (2)当 y1 <y2 时, ∵ 两人相距 4 千米, ∴ - 10 3 x+10-4x= 4, 解得 x= 9 11 ; 当 y1 >y2 时, ∵ 两人相距 4 千米, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 ∴ 4x-( - 10 3 x+10)= 4, 解得 x= 21 11 . ∴ 当 x= 21 11 或 x= 9 11 时两人相距 4 千米. 8. 解:(1)设 y= kx+b(0≤x≤240),代入(0,80),(150,50), 得 b= 80, 150k+b= 50,{ 解得 k= - 1 5 , b= 80, { ∴ y= - 1 5 x+80; (2)令 x= 240,则 y= 32, 32 100 ×100% = 32%, 答:该车的剩余电量占“满电量”的 32%. 9. 解:(1)由表中的数据可知,每增加一个碗,高度均增加 2. 4 cm, ∴ y 是 x 的一次函数,且 x 为正整数, 设 y= kx+b(k≠0), 由题意得 k+b= 6, 2k+b= 8. 4,{ 解得 k= 2. 4, b= 3. 6,{ ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y= 2. 4x+3. 6; (2)设碗的数量有 x 个, 则 2. 4x+3. 6≤28. 8, 解得 x≤10. 5, ∴ x 的最大整数解为 10. 答:碗的数量最多为 10 个. 命题点 6　 反比例函数的图象与性质 1. 5　 【解析】将点 P(2,n)代入 y= 10 x ,得 n= 10 2 ,∴ n= 5. 变式 1-1　 B　 【解析】当 x = 1 时,y = - 10,∴ 图象不经过(1, 10),故 A 选项错误;当 x= -2 时,y= 5,∴ 图象经过( -2,5),故 B 选项正确;当 x= 2 时,y= -5,∴ 图象不经过(2,5),(2,8),故 C 选项、D 选项错误. 变式 1-2　 0　 【解析】∵ 函数 y = k x ( k≠0)的图象经过点(3, y1 )和( -3,y2 ),∴ y1 = k 3 ,y2 = - k 3 ,∴ y1 +y2 = 0. 2. C 3. k<2　 【解析】∵ 反比例函数 y = k-2 x 的图象位于第二、四象限, ∴ k-2<0,解得 k<2. 变式 3-1　 二、四 变式 3-2　 - 3 2 (答案不唯一) 4. > 变式 4-1　 m<t<n　 【解析】∵ k>0,∴ 反比例函数的图象位于 一、三象限,∵ a<0<b<c,∴ 点(a,m)在第三象限,点( b,n)和点 (c,t)在第一象限,∴ m<t<n. 变式 4-2　 <　 【解析】∵ 点 A( -2,y1 )和点 B(m,y2 )均在反比 例函数 y= - 5 x 的图象上,∴ y1 = 5 2 ,y2 = - 5 m ,∵ 0<m<1,∴ y2 < -5,∴ y1 +y2 < 5 2 -5 = - 5 2 <0. 5. A　 【解析】∵ 反比例函数 y= 4 x 中,k= 4>0,∴ 此函数图象的两 个分支分别位于第一、三象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而 减小,A. 当 t<-4 时,t+4<0,∵ t<t+4,∴ y2 <y1 <0,正确,符合题 意;B. 当-4<t<0 时,点 P( t,y1 )在第三象限,点 Q( t+4,y2 )在 第一象限,∴ y1 < 0,y2 > 0,∴ y1 < 0<y2 ,原结论错误,不符合题 意;C. 由 B 知,当-4<t<0 时,y1 <0<y2 ,原结论错误,不符合题 意;D. 当 t>0 时,t+4>0,∴ P( t,y1 ),Q( t+4,y2 )在第一象限, ∵ t<t+4,∴ y1 >y2 >0,原结论错误,不符合题意. 命题点 7　 反比例函数解析式的确定及 k 的几何意义 1. C　 【解析】∵ 点( -3,2)在反比例函数 y= k x (k≠0)的图象上, ∴ k= -3×2 = -6. 变式 1-1　 4(答案不唯一)　 【解析】由图可知:k>0,∵ 反比例 函数 y= k x ( k> 0) 的图象与线段 AB 有交点,且点 A( 3,3), B(3,1),∴ 把 B (3,1)代入 y= k x ,得 k= 3,把 A(3,3)代入 y = k x ,得 k= 3× 3 = 9,∴ 满足条件的 k 值的范围是 3≤k≤9 的 整数. 变式 1-2　 I= 24 R 　 【解析】设 I = U R ,∵ 图象过( 8,3),∴ U = 24,∴ I= 24 R . 变式 1-3　 180　 【解析】由题意得 200 = k 0. 9 ,∴ k= 180. 变式 1-4　 A　 【解析】将 x= 3 代入 y= 2-x 中,得 y= -1,将(3, -1)代入 y= k x 中,得 k= -3. 2. y= - 6 x 　 【解析】设反比例函数的解析式为 y = k x ,∵ AB⊥ x 轴,垂足为 B,△ABO 的面积为 3,∴ | k | = 2 × 3 = 6,∵ k< 0, ∴ k= -6,∴ 反比例函数的解析式为 y= - 6 x . 变式　 A　 【解析】∵ 点 A、B 是反比例函数 y = k x 图象上任意 两点,△OAC 和△OBD 面积之和为 6,∴ 1 2 | k | + 1 2 | k | = | k | = 6,∵ 反比例函数图象在第二象限,∴ k<0,∴ k= -6. 3. y= 4 x 　 【解析】如解图,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 M,设反 比例函数的解析式为 y = k x ,∵ OB = AB,∴ △OAB 是等腰三角 形,∵ BM⊥OA,∴ OM=AM = 1 2 OA,∴ S△OBM = S△ABM = 1 2 S△AOB = 2 = | k | 2 ,∴ | k | = 4,∵ 反比例函数的图象经过第一象限,∴ k = 4, ∴ 反比例函数的解析式为 y= 4 x . 第 3 题解图 4. -6　 【解析】如解图,连接 OB,延长 AB 交 y 轴于点 D, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9