2.3 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·四川数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 分式方程及其应用 (成都仅 2023 年未考查) 考向 1　 分式方程及其解法(成都仅 2023 年未考) 1. [2024 济宁]解分式方程 1- 1 3x-1 = - 5 2-6x 时,去 分母变形正确的是 (　 A　 ) A. 2-6x+2 = -5 B. 6x-2-2 = -5 C. 2-6x-1 = 5 D. 6x-2+1 = 5 2. 已知关于 x 的方程 a 2a-x = 1 3 的解是 x = 1,则 a 的值为 (　 C　 ) A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 3. [ 2024 成都 10 题 4 分] 分式方程 1 x-2 = 3 x 的 解是　 x=3　 . 4. [2022 成都 12 题 4 分]分式方程 3-x x-4 + 1 4-x = 1 的 解为　 x=3　 . 5. [2024 陕西]解方程: 2 x2 -1 + x x-1 = 1. 解:去分母,得 2+x(x+1)= (x+1)(x-1), 去括号,得 2+x2+x=x2-1, 移项、合并同类项,得 x=-3, 经检验 x=-3 是分式方程的解. 6. [2024 自贡月考]解方程: x x-1 -1 = 3 (x-1)(x+2) . 解:方程两边同乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1) (x+2)= 3, 即 x2+2x-x2-x+2=3, 整理,得 x=1, 检验:当 x=1 时,(x-1)(x+2)= 0, ∴原方程无解. 考向 2　 含参分式方程 7. [2024 成都青羊区期中]若关于 x 的分式方程 2 x-3 + x+m 3-x =2 有增根,则m的值是 (　 A　 ) A. -1 B. 0 C. 3 D. 0 或 3 8. [2024 泸州纳溪区期末]已知关于 x 的分式方程 m x-1 = 1 的解是非负数,则 m 的取值范围是 (　 C　 ) A. m≥1 B. m≤1 C. m≥-1 且 m≠0 D. m≥-1 9. [2024 达州]若关于 x 的方程 3 x-2 -kx-1 x-2 = 1 无 解,则 k 的值为　 2 或-1　 . 10. [2024 成都龙泉驿区二诊改编]若正整数 a 使得 关于 x 的分式方程 2+ a x-4 = 10-x x-4 有正整数解, 则符合条件的所有正整数 a 的和为　 39　 . 考向 3　 分式方程的实际应用 11. [2024 山东]为提高生产效率,某工厂将生产线 进行升级改造,改造后比改造前每天多生产 100 件,改造后生产 600 件的时间与改造前生 产 400 件的时间相同,则改造后每天生产的 产品件数为 (　 B　 ) A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 12. [2024 达州]甲乙两人各自加工 120 个零件,甲 由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工 30 分钟后,甲开始加工. 甲为了追赶上乙的进 度,加工的速度是乙的 1. 2 倍,最后两人同时 完成. 求乙每小时加工零件多少个? 设乙每 小时加工 x 个零件,可列方程为 (　 D　 ) A. 120 1. 2x -120 x = 30 B. 120 x - 120 1. 2x = 30 C. 120 1. 2x -120 x = 30 60 D. 120 x - 120 1. 2x = 30 60 13. [ 2024 绥化] 一艘货轮在静水中的航速为 40 km / h,它以该航速沿江顺流航行 120 km 所用时间,与以该航速沿江逆流航行 80 km 所用时间相等,则江水的流速为 (　 D　 ) A. 5 km / h B. 6 km / h C. 7 km / h D. 8 km / h 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 分层作业本·四川数学 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 14. [2024 巴中]某班学生乘汽车从学校出发去参 加活动,目的地距学校 60 km,一部分学生乘 慢车先行 0. 5 h,另一部分学生再乘快车前 往,他们同时到达. 已知快车的速度比慢车的 速度每小时快 20 km,求慢车的速度. 设慢车 的速度为 x km / h,则可列方程为 (　 A　 ) A. 60 x - 60 x+20 = 1 2 B. 60 x-20 -60 x = 1 2 C. 60 x+20 -60 x = 1 2 D. 60 x - 60 x-20 = 1 2 15. [2024 成都龙泉驿区期中]小明一家计划五一小 长假从成都自驾去九寨沟旅游,手机导航系 统推荐两条线路,线路①全程约 435 公里,线 路②全程约 430 公里. 由于路况原因,线路② 用时预计比线路①用时少一个小时,汽车在 线路②的平均时速是线路①的平均时速的 1. 2 倍, 假设汽车在线路 ① 的平均时速为 x km / h,则下面所列方程正确的是 (　 D　 ) A. 430 x = 435 1. 2x +1 B. 430 x = 435 1. 2x -1 C. 430 1. 2x = 435 x +1 D. 430 1. 2x = 435 x -1 第 15 题图 　 第 16 题图 16. [2024 成都成华区期末] 《千里江山图》 是宋代 王希孟的作品,如图,它的局部画面装裱前是 一个长为 2. 4 米,宽为 1. 4 米的矩形,装裱后, 整幅图画宽与长的比是 8 ∶13,且四周边衬的 宽度相等,则边衬的宽度应是多少米? 设边 衬的宽度为 x 米,根据题意可列方程为 (　 D　 ) A. 1. 4 -x 2. 4-x = 8 13 B. 1. 4 +x 2. 4+x = 8 13 C. 1. 4 -2x 2. 4-2x = 8 13 D. 1. 4 +2x 2. 4+2x = 8 13 17. [2024 自贡]为传承我国传统节日文化,端午节 前夕,某校组织了包粽子活动. 已知七(3)班 甲组同学平均每小时比乙组多包 20 个粽子, 甲组包 150 个粽子所用的时间与乙组包 120 个粽子所用的时间相同. 求甲,乙两组同 学平均每小时各包多少个粽子. 解:设乙组同学平均每小时包 x 个粽子,则甲组同学 平均每小时包(x+20)个粽子, 根据题意得 150 x+20 = 120 x ,解得 x=80, 经检验,x=80 是原方程的解,且符合题意, ∵ x+20=100. 答:甲组同学平均每小时包 100 个粽子,乙组同学平 均每小时包 80 个粽子. 18. [2024 成都龙泉驿区期末]2023 成都世界科幻大 会于 10 月 18 日至 22 日在成都市郫都区成都 科学(科幻)馆举行. 这是世界科幻大会首次 在中国举行,成都也因此成为亚洲第二个、中 国首个举办世界最高规格科幻盛会的城市. 某商场为迎接此次科幻盛会用 36 000 元购进 A、B 两种科幻产品 110 个,购买 A 产品与购 买 B 产品的费用相同. 已知 A 产品的单价是 B 产品单价的 1. 2 倍. (1)求 A、B 两种科幻产品的单价各是多少? (2)若计划用不超过 80 000 元的资金再次购 进 A、B 两种科幻产品共 240 个,已知 A、B 两种科幻产品的单价不变,求 A 种科幻产 品最多能购进多少个? 解:(1)设 B 种科幻产品的单价是 x 元,则 A 种科幻 产品的单价是 1. 2x 元, 依题意得 36 000÷2 x +36 000÷2 1. 2x =110, 解得 x=300, 经检验,x=300 是原方程的解,且符合题意, ∴1. 2x=1. 2×300=360, 答:A 种科幻产品的单价是 360 元,B 种科幻产品的 单价是 300 元; (2)设购进 A 种科幻产品 m 个,则购进 B 种科幻产 品(240-m)个, 依题意得 360m+300(240-m)≤80 000, 解得 m≤133 1 3 , 由题意得,m 为正整数,∴m 最大可取 133, 答:A 种科幻产品最多能购进 133 个. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 -4m+m2 +n2 = 1+(m+n) 2 -2mn= 1+22 -2×(- 1 2 )= 6. 变式 8-3　 A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x+p = 0 两根为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -2,x1x2 = p,∵ 1 x1 + 1 x2 = 3,∴ x1 +x2 x1x2 = 3, 即 -2 p = 3,解得 p= - 2 3 . 9. B 10. D 11. D　 【解析】根据题意得:每人要赠送(x-1)张贺卡,有 x 人,∴ x(x-1)= 1 980. 12.解:(1)由题意得(50-x)(30+2x)= 2 100, 解得 x1 = 15,x2 = 20, 答:当每件商品降价 15 元或 20 元时,该店每天销售利润为 2 100 元; (2)店主每天不能获得 2 200 元的利润; 理由:当每天获得 2 200 元的利润时,可得(50-x) (30+ 2x) = 2 200, 整理得 x2 -35x+350 = 0, ∵ Δ= ( -35) 2 -4×1×350 = -175<0, ∴ 此方程无实数根, ∴ 店主每天不能获得 2 200 元的利润. 13. π( x+3×2 2 ) 2 -x2 = 36 14.解:(1)52 +32 ;【解法提示】∵ 34 = 25+9 = 52 +32 ,∴ 34 写成 a2 + b2(a,b 为整数)的形式为 52 +32 . (2)∵ S= x2 +9y2 +2x-12y+k= (x+1) 2 +(3y-2) 2 +k-5,且为“完 美数”, ∴ k-5 = 0, ∴ k= 5. 命题点 3　 分式方程及其应用 1. A　 【解析】原方程两边同乘 2(3x-1)得 2(3x-1) -2 = 5,即 6x- 2-2 = 5. 2. C　 【解析】∵ 关于 x 的方程 a 2a-x = 1 3 的解是 x = 1,∴ a 2a-1 = 1 3 ,解得 a= -1,经检验 a= -1 是方程的解. 3. x= 3　 【解析】去分母得 x= 3( x-2),去括号得 x = 3x-6,解得 x = 3,经检验,x= 3 是分式方程的解. 4. x= 3 5.解:去分母,得 2+x(x+1)= (x+1)(x-1), 去括号,得 2+x2 +x= x2 -1, 移项、合并同类项,得 x= -3, 经检验 x= -3 是分式方程的解. 6.解:方程两边同乘(x-1)(x+2),得 x(x+2) -(x-1)(x+2)= 3, 即 x2 +2x-x2 -x+2 = 3, 整理,得 x= 1, 检验:当 x= 1 时,(x-1)(x+2)= 0, ∴ 原方程无解. 7. A　 【解析】∵ 分式方程有增根,∴ x = 3,原方程去分母可得 2-x -m= 2x-6,把 x= 3 代入可得 2-3-m= 6-6,解得 m= -1. 8. C　 【解析】分式方程去分母得 m= x-1,即 x =m+1,由分式方程 的解为非负数,得到 m+ 1≥0,且 m+ 1≠1,解得 m≥ - 1 且 m ≠0. 9. 2 或-1　 【解析】方程去分母得 3-( kx-1) = x-2,解得 x = 6 1+k , ①当 x= 2 时分母为 0,方程无解,即 6 1+k = 2,∴ k = 2 时方程无 解;②当 k+1 = 0,即 k= -1 时,方程无解,∴ k 的值为 2 或-1. 10. 39　 【解析】解分式方程,得 x = 18-a 3 ,∵ x 为正整数,∴ 18-a 3 > 0,解得 a<18,∵ x-4≠0,即 18-a 3 ≠4,∴ a≠6. ∵ a 为正整数, ∴ a= 15,12,9,3,∴ 15+12+9+3 = 39. 11. B　 【解析】设改造后每天生产的产品件数为 x,则改造前每天 生产的产品件数为(x-100),根据题意,得 600 x = 400 x-100 ,解得 x = 300,经检验,x = 300 是分式方程的解,且符合题意,∴ 改造 后每天生产的产品件数为 300. 12. D　 【解析】设乙每小时加工 x 个零件,则甲每小时加工1. 2x 个零件,根据题意得 120 x - 120 1. 2x = 30 60 . 13. D　 【解析】设江水的流速为 x km / h,则这艘货轮沿江顺流航 行的速度为(40+x)km / h,沿江逆流航行的速度为(40-x) km / h,根据题意,得 120 40+x = 80 40-x ,解得 x = 8,经检验 x = 8 是分式方 程的解,且符合题意,∴ 江水的流速为 8 km / h. 14. A　 15. D　 16. D 17.解:设乙组同学平均每小时包 x 个粽子,则甲组同学平均每小 时包(x+20)个粽子, 根据题意得 150 x+20 = 120 x , 解得 x= 80, 经检验,x= 80 是原方程的解,且符合题意, ∴ x+20 = 100. 答:甲组同学平均每小时包 100 个粽子,乙组同学平均每小时 包 80 个粽子. 18.解:(1)设 B 种科幻产品的单价是 x 元,则 A 种科幻产品的单 价是 1. 2x 元, 依题意得: 36 000÷2 x +36 000÷2 1. 2x = 110, 解得 x= 300, 经检验,x= 300 是原方程的解,且符合题意, ∴ 1. 2x= 1. 2×300 = 360, 答:A 种科幻产品的单价是 360 元,B 种科幻产品的单价是 300 元; (2)设购进 A 种科幻产品 m 个,则购进 B 种科幻产品(240- m)个, 依题意得 360m+300(240-m)≤80 000, 解得 m≤133 1 3 , 由题意得,m 为正整数,∴ m 最大可取 133, 答:A 种科幻产品最多能购进 133 个. 命题点 4　 一元一次不等式(组)及其应用 1. A 2. A 变式 2-1　 x>1　 变式 2-2　 A　 变式 2-3　 A 3. A 4. D　 【解析】 2x+1>x+2,① x+3≥2x-1,②{ 解不等式①,得 x> 1,解不等式②, 得 x≤4,故不等式组的解集为 1<x≤4. 拓展 4-1　 拓展 4-2　 9 5.解:解不等式①,得 x≥-2, 解不等式②,得 x<9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4