1.5 分式及其运算-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·四川数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 一 章 数 与 式 命题点 5　 分式及其运算 (成都仅 2024 年未考查) 考向 1　 分式的概念及性质 1. [2023 凉山州改编]已知分式 x2 -x x-1 . (1)当　 x≠1　 时,这个分式有意义; (2)若这个分式的值为 0,则 x 的值是　 0　 ; (3)下列对这个分式变形中,正确的是　 ②③　 ; (填所有正确的序号) ①x 2 -x x-1 = x 2 -x 1-x ;②x 2 -x x-1 = -x 2 -x 1-x ; ③x 2 -x x-1 = x-x 2 1-x . (4)这个分式　 不是　 (填“是”或“不是”)最 简分式,若不是,化为最简是　 x　 . 考向 2　 分式的运算 2. [2024 南充]计算 a a-b - b a-b 的结果为　 1　 . 3. 多解法 ∙∙∙ [2024 雅安]已知 2 a + 1 b = 1(a+b≠0),则 a+ab a+b = (　 C　 ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 3 4. [2024 河北]已知 A 为整式,若计算 A xy+y2 - y x2 +xy 的结果为 x-y xy ,则 A= (　 A　 ) A. x B. y C. x+y D. x-y 5. [2024 甘孜州]化简:(x- 1 x ) ÷x +1 x . 解:原式=x 2-1 x · x x+1 =(x+1)(x-1) x · x x+1 =x-1. 6. [2024 乐山]先化简,再求值: 2x x2 -4 - 1 x-2 ,其中 x= 3. 小乐同学的计算过程如下: 解: 2x x2 -4 - 1 x-2 = 2x (x+2)(x-2) - 1 x-2 …① = 2x (x+2)(x-2) - x+2 (x-2)(x+2) …② = 2x-x+2 (x+2)(x-2) …③ = x+2 (x+2)(x-2) …④ = 1 x-2 …⑤ 当 x= 3 时,原式= 1. (1)小乐同学的解答过程中,第　 ③　 步开始 出现了错误; (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程. 解:(1)③; (2) 2x x2-4 - 1 x-2 = 2x (x+2)(x-2) - 1 x-2 = 2x (x+2)(x-2) - x+2 (x-2)(x+2) 当 x=3 时,原式= 1 5 . 7. [2021 成都 16 题 6 分]先化简,再求值:(1+ 2 a+1 )÷ a2 +6a+9 a+1 ,其中 a= 3 -3. 解:原式=a +1+2 a+1 · a +1 (a+3) 2 = 1 a+3 , 当 a= 3 -3 时, 原式= 1 3 -3+3 = 3 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 分层作业本·四川数学 　 第 一 章 数 与 式 8. [2024 达州]先化简: ( x x-2 - x x+2 ) ÷ x 2 +x x2 -4 ,再从 -2,-1,0,1,2 之中选择一个合适的数作为 x 的值代入求值. 解:原式=x(x +2)-x(x-2) (x-2)(x+2) ·(x +2)(x-2) x(x+1) =x 2+2x-x2+2x (x+2)(x-2) ·(x +2)(x-2) x(x+1) = 4x (x+2)(x-2) ·(x +2)(x-2) x(x+1) = 4 x+1 , ∵ x-2≠0 且 x+2≠0 且 x≠0 且 x+1≠0, ∴ x 可以取 1, 当 x=1 时,原式= 4 1+1 =2. 9. [2023 成都 19 题 4 分]若 3ab-3b2 -2 = 0,则代数 式(1-2ab -b2 a2 ) ÷a -b a2b 的值为　 　 　 . 10. [2023 成都武侯区二诊]定义:若一个实数与比 它小 1 的数的乘积为 1,则称这两个数互为 “异倒数”, 若实数 a 有异倒数, 则代数式 a2 -a a2 +2a+1 ÷( 2 a+1 - 1 a )的值为　 1　 . 11. [ 2024 广 安 改 编 ] 先 化 简 ( 3 a+1 - a + 1 ) ÷ a2 +4a+4 a+1 ,再从- 2,- 1,0,1 中选取一个适合 的数代入求值. 解:原式=( 3 a+1 -a 2-1 a+1 )· a +1 a2+4a+4 =(2+a)(2-a) a+1 · a +1 (a+2) 2 =2-a a+2 , 由题意得:a≠-1 且 a≠-2, 当 a=0 时,原式=2 -0 0+2 =1, 当 a=1 时,原式=2 -1 1+2 = 1 3 . 12. [2024 广元]先化简,再求值: a a-b ÷ a 2 -b2 a2 -2ab+b2 - a-b a+b ,其中 a,b 满足 b-2a= 0. 解:原式= a a-b · (a -b) 2 (a+b)(a-b) -a-b a+b = a a+b -a-b a+b = b a+b , ∵ b-2a=0, ∴ b=2a, ∴原式= 2a a+2a = 2 3 . 13. [2024 成都武侯区期中]已知 W= ( 1 a-2 + 1 a+2 ) ÷ 2a a2 -4a+4 . (1)化简 W; (2)若 a,2,3 恰好是△ABC 的三边长,请选取 合适的整数 a 代入 W,求出 W 的值. 解:(1)W =( 1 a-2 + 1 a+2 )÷ 2a a2-4a+4 = a+2+a-2 (a-2)(a+2) ·(a -2) 2 2a = 2a (a+2)(a-2) ·(a -2) 2 2a =a-2 a+2 ; (2)∵ a,2,3 恰好是△ABC 的三边长, ∴3-2<a<3+2, ∴1<a<5, 又∵ (a+2)(a-2)≠0,a≠0, ∴ a≠±2,a≠0, ∴ a 可以取的整数为 3 或 4, 当 a=3 时,W=3 -2 3+2 = 1 5 ; 当 a=4 时,W=4 -2 4+2 = 1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 7. B　 【解析】∵ xa = 3,xb = 2,∴ x2a-3b = x2 a ÷x3 b = (xa ) 2 ÷( xb) 3 = 32 ÷ 23 = 9 8 . 8. A　 【解析】根据已知得,8×2a = 28 b,即 2a+3 = 28 b,∴ a+3 = 8b. 9.解:原式= x2 +2xy+y2 +x2 -2xy = 2x2 +y2 , 当 x= 1,y= -2 时, 原式= 2×12 +( -2) 2 = 6. 10.解:原式= (x2 +4x+4) -(x2 +3) = x2 +4x+4-x2 -3 = 4x+1, 当 x= -2 时, 原式= 4×( -2) +1 = -8+1 = -7. 11. m(m-3) 变式 (1)(x+2)(x-2);(2)(3m+1) 2 ;(3)x(y+4) ( y-4);(4) (a-1) 2 ;(5)(x+3) 2 12. D　 13. (5n+1)　 14. 244 872 15. 1(或 8)　 【解析】两个中心圆圈分别有 6 根连线,数字 1 至 8, 共有 8 个数字,若 2,3,4,5,6,7,其中任何一个数字填在中心 位置,那么与其相邻的 2 个数字均不能出现在与中心圆圈相 连的 6 个圆圈中,故只剩下 5 个数字可选,不满足 6 个空的圆 圈需要填入,∴ 位于两个中心圆圈的数字 a、b,只可能是 1 或 者 8. 16. 5;a2 +3a+1　 【解析】1×2×3×4+1 = 25 = 52 ;a×(a+1) ×(a+2) × (a+3) +1 = [a×(a+3)] ×[(a+1) ×(a+2)] +1 = (a2 +3a) ×(a2 +3a+2) +1 = (a2 +3a) 2 + 2(a2 + 3a) + 1 = (a2 + 3a+ 1) 2 = A2 ,∵ a 为正整数,∴ a2 +3a+1>0,∴ A=a2 +3a+1. 命题点 5　 分式及其运算 1. (1)x≠1;(2)0;(3)②③;(4)不是,x 2. 1 3. C　 【解析】解法 1:∵ 2 a + 1 b = 1(a+b≠0),∴ 2b+a ab = 1,∴ a+2b =ab,∴ a+ab a+b = a +a+2b a+b = 2(a +b) a+b = 2. 解法 2:∵ 2 a + 1 b = 1(a+b≠0),∴ 设 a= 4,b= 2,∴ a+ab a+b = 4 +4×2 4+2 = 12 6 = 2. 4. A　 【解析】 ∵ A xy+y2 - y x2 +xy = x -y xy , ∴ A xy+y2 = x -y xy + y x2 +xy , ∴ A y(x+y) = x -y xy + y x(x+y) ,∴ Ax = ( x-y) ( x+y) +y2 ,∴ Ax = x2 ,∴ A = x. 5.解:原式= x2 -1 x · x x+1 = (x +1)(x-1) x · x x+1 = x-1. 6.解:(1)③; (2) 2x x2 -4 - 1 x-2 = 2x (x+2)(x-2) - 1 x-2 = 2x (x+2)(x-2) - x +2 (x-2)(x+2) = 2x -x-2 (x+2)(x-2) = x -2 (x+2)(x-2) = 1 x+2 , 当 x= 3 时,原式= 1 5 . 7.解:原式= a+1+2 a+1 · a+1 (a+3) 2 = 1 a+3 , 当 a= 3 -3 时, 原式= 1 3 -3+3 = 3 3 . 8.解:原式= x(x+2) -x(x-2) (x-2)(x+2) · (x+2)(x-2) x(x+1) = x 2 +2x-x2 +2x (x+2)(x-2) · (x+2)(x-2) x(x+1) = 4x (x+2)(x-2) · (x+2)(x-2) x(x+1) = 4 x+1 , ∵ x-2≠0 且 x+2≠0 且 x≠0 且 x+1≠0, ∴ x 可以取 1, 当 x= 1 时,原式= 4 1+1 = 2. 9. 2 3 　 【解析】(1- 2ab-b2 a2 ) ÷ a-b a2b = a 2 -(2ab-b2 ) a2 · a2b a-b = (a -b) 2 a2 · a2b a-b = b(a-b)= ab-b2 ,∵ 3ab-3b2 -2 = 0,∴ 3ab-3b2 = 2,∴ ab-b2 = 2 3 ,即原式= 2 3 . 10. 1 11.解:原式= ( 3 a+1 -a 2 -1 a+1 )· a+1 a2 +4a+4 = (2 +a)(2-a) a+1 · a+1 (a+2) 2 = 2 -a a+2 , 由题意得:a≠-1 且 a≠-2, 当 a= 0 时,原式= 2-0 0+2 = 1, 当 a= 1 时,原式= 2-1 1+2 = 1 3 . 12.解:原式= a a-b · (a-b) 2 (a+b)(a-b) -a -b a+b = a a+b -a -b a+b = b a+b , ∵ b-2a= 0, ∴ b= 2a, ∴ 原式= 2a a+2a = 2 3 . 13.解:(1)W = ( 1 a-2 + 1 a+2 ) ÷ 2a a2 -4a+4 = a +2+a-2 (a-2)(a+2) · (a-2) 2 2a = 2a (a+2)(a-2) · (a-2) 2 2a = a -2 a+2 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案与重难题解析·四川数学 分 层 作 业 本 (2)∵ a,2,3 恰好是△ABC 的三边长, ∴ 3-2<a<3+2, ∴ 1<a<5, 又∵ (a+2)(a-2)≠0,a≠0, ∴ a≠±2,a≠0, ∴ a 可以取的整数为 3 或 4, 当 a= 3 时,W= 3-2 3+2 = 1 5 ; 当 a= 4 时,W= 4-2 4+2 = 1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其应用 1. B　 2. C　 3. A　 4. A 5.解: x+y= 4①, 2x-y= 5②,{ ①+②,得 3x= 9, 解得 x= 3. 把 x= 3 代入②,得 6-y= 5,解得 y= 1. ∴ 原方程组的解是 x= 3, y= 1.{ 6. B　 【解析】∵ 每人出 1 2 钱,会多出 4 钱,∴ y = 1 2 x-4;∵ 每人出 1 3 钱, 会 差 3 钱, ∴ y = 1 3 x + 3. ∴ 根 据 题 意 可 列 方 程 组 y= 1 2 x-4, y= 1 3 x+3. ì î í ï ï ïï 7. A 8. D　 【解析】设快马追上慢马的天数是 x 天,根据题意得:240x = 150(x+12),解得 x= 20,∴ 快马追上慢马的天数是 20 天. 9. 5　 【解析】设甲的速度是 x 米 /秒,乙的速度是 y 米 /秒,根据题 意得 25x+25y= 300, 150x-150y= 300,{ 解得 x= 7, y= 5.{ 故甲、乙两人的速度分别是 7 米 /秒、5 米 /秒. 10.解:设这次小峰打扫了 x h,则爸爸打扫了(3-x)h, 根据题意得 x 4 +3 -x 2 = 1,解得 x= 2. 答:这次小峰打扫了 2 h. 11.解:(1)设 A 奖品的单价为 x 元,B 奖品的单价为 y 元, 根据题意,得 3x+2y= 120, 3x= 6y,{ 解得 x= 30, y= 15,{ ∴ A 奖品的单价为 30 元,B 奖品的单价为 15 元; (2)设购买 A 奖品 m 个,B 奖品 n 个,由题意可得 30m+15n= 150,即 n= 10-2m, 当 m= 1 时,n= 8; 当 m= 2 时,n= 6; 当 m= 3 时,n= 4; 当 m= 4 时,n= 2. 答:共有 4 种不同的购买方案. 12. - 1　 【解析】根据题意得 x+y= 3, 2y= 2,{ 解得 x= 2, y= 1,{ ∴ y-x = 1- 2 = -1. 13.解:(1)设种植“丰收 2 号” 小麦的产粮量为 x kg,则“丰收 1 号”小麦的产粮量为(1. 2x-100)kg, 根据题意得: x+1. 2x-100 = 1 000, 解得 x= 500, ∴ “丰收 1 号”小麦的产粮量为 1 000-500 = 500(kg) . 答:种植“丰收 1 号”小麦和“丰收 2 号”小麦两块试验田的产 粮量都为 500 kg; (2)“丰收 1 号”小麦的单位面积产量为 500 a2 -1 kg, “丰收 2 号”小麦的单位面积产量为 500 (a-1) 2 kg, ∵ (a2 -1) -(a-1) 2 =a2 -1-a2 +2a-1 = 2a-2>0, ∴ 500 a2 -1 < 500 (a-1) 2 , ∴ “丰收 2 号”小麦单位面积产量高, ∴ 500 (a-1) 2 ÷ 500 a2 -1 = 500 (a-1) 2 · (a+1)(a-1) 500 = a +1 a-1 , 即高的单位面积产量是低的单位面积产量的 a+1 a-1 倍. 答:“丰收 2 号”小麦的单位面积产量高,高的单位面积产量是 低的单位面积产量的 a+1 a-1 倍. 命题点 2　 一元二次方程及其应用 1. B 2. A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a+2)x2 +x+a2 -4 = 0 的一 个根是 x= 0,∴ a2 -4 = 0 且 a+2≠0,解得 a= 2. 3. C 拓展 3-1　 13　 拓展 3-2　 x= 3± 13 2 4.解:x2 -2x+1 = 3+1, (x-1) 2 = 4, x-1 = ±2, ∴ x1 = 3,x2 = -1. 5. B 6. A　 【解析】关于 x 的方程 x2 +mx-2 = 0 中,∵ a = 1,b =m,c= -2, ∴ Δ=m2 +8>0,∴ 方程有两个不相等的实数根. 7. m≤ 7 2 　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 2x2 -4x+m- 3 2 = 0 有实 数根,∴ Δ=(-4)2 -4×2×(m- 3 2 )= 16-8m+12≥0,解得 m≤ 7 2 . 变式 7-1　 m> 1 8 变式 7-2　 A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(m+1)x2 -2x+1= 0 有两个不相等的实数根,∴ m+1≠0, 4-4(m+1)>0,{ 解得 m<0 且 m≠-1. 8. 7　 【解析】∵ m,n 是一元二次方程 x2 -5x+2 = 0 的两个实数根, ∴ m2 -5m+2 = 0,m+n= 5,∴ m2 -5m = -2,n = 5-m,∴ m+(n-2) 2 =m+(3-m) 2 =m2 -5m+9 = -2+9 = 7. 变式 8-1　 -4　 【解析】把 x=m 代入 x2 +4x-1 = 0,得 m2 +4m-1 = 0,∴ m2 +4m= 1,∴ (m+5)(m-1)= m2 -m+5m-5 =m2 +4m-5 = 1-5 = -4. 变式 8-2　 6　 【解析】∵ 一元二次方程 2x2 -4x-1 = 0 的两根为 m,n,∴ 2m2 -4m= 1,m+n= - -4 2 = 2,mn= - 1 2 ,∴ 3m2 -4m+n2 = 2m2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3