2024-2025学年北师大版数学九年级下册阶段测评卷

北师大版数学九年级下册阶段测评卷（含解析） 时间 100分钟　满分 120分　答案 D11 题号 一 二 三 总分 分数 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.抛物线y=-(x+m)2+3的顶点坐标是(1,3),则m的值为(　　) A.0 B.1 C.±1 D.-1 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos B的值为(　　) A. B. C. D. 3.如图,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则tan α=(　　) A. B. C. D. (第3题)　　　　　(第6题) 4.抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(　　) A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3 C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1 5.二次函数y=ax2-1与正比例函数y=ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A B C D 6.如图,在4×4的网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C均在格点上,D是AB与网格线的交点,则sin的值为(　　) A. B. C. D. 7.一枚炮弹向上发射x s时的高度为y m,且时间与高度的关系为y=ax2+bx(a≠0).若此炮弹在发射7 s与14 s时的高度相等,则在下列哪个时刻中,炮弹的高度最高?(　　) A.8 s B.10 s C.12 s D.15 s 8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AF⊥CD,分别与CD,CB相交于点E,F,如果tan B=,那么的值是(　　) A. B. C. D. (第8题)　　　　　　(第9题) 9.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A,B间的距离,他们设计了如图所示的测量方案:从树A沿着垂直于AB的方向走到E,再从E沿着垂直于AE的方向走到F,C为AE上一点,其中4位同学分别测得四组数据:①AC,∠ACB;②EF,DE,AD;③CD,∠ACB,∠ADB;④∠F,∠ADB,FB.其中能根据所测数据求得A,B两树之间距离的有(　　) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 10.如图,一段抛物线y=-x2+8x(0≤x≤8)记为C1,它与x轴交于O,A1两点;将C1绕点A1旋转180°得到C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得到C3,交x轴于点A3……如此下去,得到一条“波浪线”.若点M(2 023,m)在此“波浪线”上,则m的值为(　　) A.-8 B.8 C.-7 D.7 二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 11.在Rt△ABC中,AC=BC,则cos A=　　　　.  12.写出一组a,b的值,使二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象与x轴有两个不同的交点,则a,b的值可以是a=　　　　,b=　　　　.  13.图(1)是一个倾斜角为α的斜坡的横截面,tan α=,斜坡顶端B与地面的距离BC为3米.为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌,在斜坡底端安装了一个喷头A,喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为y(单位:米)(水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离),水珠与喷头A的水平距离为x(单位:米),y与x之间近似满足函数关系y=ax2+bx(a,b是常数,a≠0),图(2)记录了x与y的相关数据,则y与x的函数关系式为　.  　　　　　　　　　　　　　　图(1)　　　　　　　　　　　图(2) 14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,连接CD,过点B作CD的垂线,交CD的延长线于点E,tan A=,则cos∠DBE的值为　　　　.  (第14题)　　　　　　(第15题) 15.如图(1),抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B左侧),根据对称性得△AMB恒为等腰三角形,我们规定:当△AMB为直角三角形时,就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.如图(2),则抛物线y=x2的“完美三角形”的斜边AB的长为　　　　.  三、解答题(共8小题,共75分) 16.(6分)计算:3tan 60°-2cos 30°+sin 30°-|1-2sin 60°|. 17.(8分)已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表: x … 0 1 2 3 4 … y … -3 -4 -3 0 5 … (1)求该二次函数的表达式; (2)直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标. 18.(9分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx经过A(-2,-4),B(2,0)两点. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式; (2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值. 19.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC的延长线于点D. (1)求∠D的正弦值; (2)求点C到直线DE的距离. 20.(8分)小明在课外活动中观察吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形,已知吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO'=1.5米,吊臂OA的长度为6米,当吊臂顶端由A点抬升至A'点(吊臂长度不变)时,地面B处的重物(大小忽略不计)被吊至B'处,并且从O点观测到点A的仰角为45°,点A'的仰角为60°. (1)求此重物在水平方向移动的距离BC; (2)求此重物在竖直方向移动的距离B'C. 21.(10分)如图,杂技团进行杂技表演,演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处,其身体(看成一点)的路径是一条抛物线.现测量出如下数据,设演员身体距起跳点A的水平距离为d米,距地面的高度为h米. d/米 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … h/米 … 3.4 4.15 4.6 4.75 4.6 4.15 … 请你解决以下问题: (1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描点,并用平滑曲线连接. (2)求起跳点A距离地面的高度. (3)在一次表演中,已知人梯到起跳点A的水平距离是3米,人梯的高度是3.4米.问此次表演是否成功?如果成功,请说明理由;如果不成功,说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功. 22.(11分)东西走向海岸线上有一个码头(图中线段AB),已知AB的长为132米,小明在A处测得海上一艘货船M在A的东北方向,小明沿海岸线向东走60米后到达点C,在C测得M在C处的北偏东15°方向.(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45) (1)求AM的长;(结果精确到1米) (2)如图,货船从M出发,沿着南偏东30°方向行驶,问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB上,请说明理由. 23.(13分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x2从点O出发沿着OA平移,与直线x=2相交于点P,顶点M到点A时停止移动. (1)求线段OA所在直线的函数表达式. (2)抛物线在平移的过程中,求点P到x轴的最短距离. (3)当线段PB最短时,平移后的抛物线上是否存在点Q,使△QMA与△PMA的面积相等?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 九年级下册阶段测评卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A C B A B C C D 11. 12.1　 3(答案不唯一,b2-8a>0即可) 13.y=-x2+2x 14. 15.2 1.D　∵抛物线y=-(x+m)2+3的顶点坐标是(1,3),∴抛物线为y=-(x-1)2+3,∴m=-1. 2.C　【点拨】直角三角形中一个锐角的余弦值等于另一个锐角的正弦值 　　如图,∵sin A==,∴cos B==. 3.A　如图,过点P作PH⊥x轴于点H,则∠OHP=90°.∵点P(12,5),∴PH=5,OH=12.在Rt△OHP中,tan α==.故选A. 4.C　【点拨】“将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度”等同于“将抛物线y=3(x-2)2+1先向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度” 5.B　由二次函数y=ax2-1可知抛物线与y轴交于点(0,-1),故C,D选项中的图象不符合题意;由A选项中的抛物线可知a>0,由直线可知a<0,故A中的图象不符合题意;由B选项中的抛物线可知a>0,由直线可知a>0,故B中的图象符合题意. 令a=1,简单画出草图,看是否有符合的选项,如果没有,再令a=-1,用同样的方法作出判断. 6.A　如图,由题意得AC2=12+22=5,BC2=22+42=20,AB2=32+42=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∴∠ACB=90°,∴AC=,AB=5.∵BE=EF,DE∥AF,∴BD=AD,∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CD=BD=AB,∴∠CBD=∠BCD.∵∠CDA=∠BCD+∠CBD,∴∠CDA=2∠CBD,∴sin=sin∠CBD==. 7.B　由于炮弹在发射7 s与14 s时的高度相等,则根据抛物线的对称性可得,当x==10.5时,炮弹达到最高点.由题意知,该抛物线开口向下,所以到直线x=10.5的距离越近的点对应的y值越大,故选B. 8.C　∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴CD=DB=AB,∴∠B=∠DCB.∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠DCB=90°.∵AF⊥CD,∴∠CEA=90°,∴∠ACD+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠DCB,∴∠CAE=∠DCB=∠B,∴tan B=tan∠DCB=tan∠CAE=.在Rt△ACE中,tan∠CAE==,设CE=2x,则AE=3x,在Rt△CEF中,EF=CE·tan∠DCB=2x·=,∴==. 9.C　第①组中,因为知道∠ACB和AC的长,所以可利用∠ACB的正切来求AB的长;第②组可利用相似三角形的判定及性质求出AB的长度;第③组中设AC=x,AD=CD+x,AB=x·tan∠ACB,AB=(x+CD)·tan∠ADB,因为已知CD,∠ACB,∠ADB,可求出x,然后得出AB;第④组中,在Rt△DEF中已知条件中没有边,无法求得DF或EF或DE的长度,从而无法求得AB的长度. 10.D　∵y=-x2+8x=-x(x-8)(0≤x≤8),∴A1(8,0),∴整个图象每16个单位长度循环出现一次.∵2 023÷16=126……7,∴m=-72+8×7=7. 11. 12.1　 3(答案不唯一,b2-8a>0即可)　 ∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象与x轴有两个不同的交点,∴Δ=b2-8a>0,若a=1,则b可取3. 13.y=-x2+2x　在Rt△ABC中,tan α=,BC=3,∴AC=6,∴点B的坐标为(6,3).∵B(6,3),E(4,4)在抛物线y=ax2+bx上,∴解得∴y关于x的函数关系式为y=-x2+2x. 14.　如图,过点C作CF⊥AB于点F,在Rt△ABC中,设AC=3a,∵tan A==,∴BC=4a,AB=5a.∵D是AB的中点,∴CD=AB=a.∵S△ABC=AB·CF=AC·CB,∴AB·CF=AC·CB,∴5a× CF=3a×4a,∴CF=a,∴cos∠DCF==.∵BE⊥CD,∴∠E=90°,∴∠EDB+∠EBD=90°.∵∠FCD+∠CDF=90°,∠CDF=∠BDE,∴∠EBD=∠DCF,∴cos∠DBE=cos∠DCF=. 15.2　如图,过点B作BN⊥x轴于点N,由题意得△AOB为等腰直角三角形,∴∠ABO=45°.∵AB∥x轴,∴∠BON=45°,∴△BON是等腰直角三角形,设点B坐标为(n,n),∵点B在抛物线y=x2上,∴n2=n,解得n=1或n=0(不合题意,舍去),∴点B坐标为(1,1),∴点A坐标为(-1,1),∴AB=2. 16.【参考答案】原式=3-2×+-|1-2×|(2分) =3-+-(-1+)(4分) =2++1-(5分) =+.(6分) 本题涉及特殊角的三角函数值和实数的综合运算,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,对于能化简的代数式应先化简后代入,这样可使运算简便快捷. 17.【参考答案】 (1)∵二次函数图象经过点(0,-3),(2,-3),(1,-4), ∴二次函数图象的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-4). 设二次函数图象的表达式为y=a(x-1)2-4, 把(0,-3)代入得a(0-1)2-4=-3, 解得a=1, ∴二次函数图象的表达式为y=(x-1)2-4.(4分) (2)该二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).(8分) 18.【参考答案】(1)把A(-2,-4),B(2,0)代入y=ax2+bx中, 得 解得 ∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+x.(4分) (2)∵y=-x2+x=-(x-1)2+, ∴抛物线的对称轴为直线x=1,且垂直平分线段OB, ∴点O与点B关于直线x=1对称.(7分) 如图,连接AB交直线x=1于点M,连接OM,则OM=BM, ∴AM+OM=AM+BM=AB, 则此时AM+OM的值最小. 过点A作AN⊥x轴于点N. 在Rt△ABN中,AB===4, 故AM+OM的最小值为4.(9分) 19. 【参考答案】 (1)如图,过点A作AH⊥BC于点H. ∵AB=AC,BC=4, ∴BH=BC=2.(2分) 在△ABH中,∠BHA=90°,AB=6, ∴sin∠BAH===. ∵DE是AB的垂直平分线, ∴∠BED=90°,BE=3, ∴∠BED=∠BHA. ∵∠B=∠B, ∴∠BAH=∠D, ∴sin D=sin∠BAH=,即∠D的正弦值为. (5分)  (2)如图,过点C作CM⊥DE于点M. 在△BED中,∠BED=90°,sin D=,BE=3, ∴BD==9, ∴CD=BD-BC=9-4=5.(7分) 在△MCD中,∠CMD=90°,sin D==, ∴CM=CD=, 即点C到直线DE的距离为.(10分) 20. (1)过点O作OD⊥ABBC A'EB'C (2)先解直角三角形A'OE,得出A'E,然后求出B'C. 【参考答案】(1)如图,过点O作OD⊥AB于点D,交A'C于点E. 根据题意可知,EC=DB=OO'=1.5米,ED=BC,∠A=45°,∠A'=30°,∠A'ED=∠ADO=90°.(2分) 在Rt△AOD中,∵cos A=,OA=6米, ∴AD=OD=3 米. 在Rt△A'OE中,∵sin A'=,OA'=6米, ∴OE=3米, ∴BC=ED=OD-OE=(3-3)米, 故此重物在水平方向移动的距离BC是(3-3)米.(5分) (2)在Rt△A'OE中,A'E=OA'·cos A'=3米. ∴B'C=A'C-A'B'=A'E+CE-AB=A'E+CE-(AD+BD)=3+1.5-(3+1.5)=(3-3)(米), 故此重物在竖直方向移动的距离B'C是(3-3)米.(8分) 21.【参考答案】(1)如图.(3分) (2)结合表中所给的数据或所画的图象可知,该抛物线的对称轴是直线d=2.5,顶点坐标为(2.5,4.75), ∴设该抛物线的表达式为h=a(d-2.5)2+4.75(a≠0), 把(1,3.4)代入,得3.4=a(1-2.5)2+4.75, 解得a=-0.6, ∴该抛物线的表达式为h=-0.6(d-2.5)2+4.75. 当d=0时,h=-0.6×(0-2.5)2+4.75=1, 即起跳点A距离地面的高度为1米. (6分) (3)当d=3时,h=4.6≠3.4, ∴此次表演不成功. 当h=3.4时,3.4=-0.6(d-2.5)2+4.75, 解得d1=1,d2=4, ∴要调节人梯到起跳点A的水平距离为1米或4米才能成功.(10分) 22.【解题思路】(1)过点C作CD⊥AM,垂足为D,在Rt△ADC中,求AD,CD的长,在Rt△CDM中,求DM的长.(2)过点M作MF⊥AB,垂足为F,设货船从M出发,沿着南偏东30°方向行驶,交线段AB所在的直线于点G,在Rt△AMF中,求出MF,AF的长,在Rt△MGF中,求出GF的长,从而求出AG的长, 比较后可得到答案. 【参考答案】 (1)如图,过点C作CD⊥AM,垂足为D. ∵∠MAC=90°-45°=45°,∠ACM=90°+15°=105°, ∴∠AMC=180°-∠MAC-∠ACM=30°. 在Rt△ADC中,AC=60米, ∴AD=AC·cos 45°=60×=30(米), CD=AC·sin 45°=60×=30(米).(3分) 在Rt△CDM中,DM===30(米), ∴AM=AD+DM=30+30≈116(米). ∴AM的长约为116米.(6分) (2)该货船能行驶到码头所在的线段AB上. 理由:如图,过点M作MF⊥AB,垂足为F,设货船从M出发,沿着南偏东30°方向行驶,交线段AB所在的直线于点G. 由题意得∠FMG=30°.(7分) 在Rt△AMF中,AM=(30+30)米,∠MAF=45°, ∴AF=AM·cos 45°=(30+30)×=(30+30)(米), FM=AM·sin 45°=(30+30)×=(30+30)(米). 在Rt△MGF中,FG=MF·tan 30°=(30+30)×=(10+30)(米). ∴AG=AF+FG=30+30+10+30=60+40≈129.2(米).(10分) ∵AB=132米, 且132>129.2, ∴该货船能行驶到码头所在的线段AB上.(11分) 23.【解题思路】(1)根据点A的坐标,用待定系数法求出线段OA所在直线的函数表达式.(2)设点M的横坐标为m,把PB的长用含m的式子表示,根据二次函数的性质求解即可.(3)分两种情况讨论:①当点Q在直线OA下方时,求出点Q的坐标并进行判断;②当点Q在直线OA上方时,求出点Q的坐标. 【参考答案】(1)设线段OA所在直线的函数表达式为y=kx(k≠0), 把点A的坐标(2,4)代入,得4=2k,解得k=2, 故线段OA所在直线的函数表达式为y=2x.(2分) (2)设抛物线顶点M的横坐标为m, ∵点M在线段OA上, ∴顶点M的坐标为(m,2m), ∴抛物线的表达式为y=(x-m)2+2m.(3分) 当x=2时,y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(0≤m≤2), ∴点P的坐标为(2,m2-2m+4), PB=m2-2m+4=(m-1)2+3.(5分) ∵0≤m≤2, ∴当m=1时,PB的值最小,为3, 故点P到x轴的最短距离是3.(6分) (3)存在.(7分) 当线段PB最短时,抛物线的表达式为y=(x-1)2+2, 设Q(x,x2-2x+3). ①如图,当点Q在直线OA的下方时,过点P作直线PC∥AO,交y轴于点C.(8分) ∵PB=3,AB=4, ∴AP=1, ∴OC=1, ∴点C的坐标为(0,-1). ∵点P的坐标为(2,3), ∴直线PC的函数表达式为y=2x-1. ∵S△QMA=S△PMA, ∴点Q在直线PC上, ∴x2-2x+3=2x-1,解得x1=x2=2,故点Q(2,3), 此时点Q与点P重合, ∴这样的点Q不存在.(9分) ②如图,当点Q落在直线OA的上方时,作点P关于点A的对称点D,过点D作直线DE∥AO,交y轴于点E.(10分) ∵AP=1, ∴EO=DA=1, ∴E,D的坐标分别是(0,1),(2,5), ∴直线DE的函数表达式为y=2x+1. ∵S△QMA=S△PMA, ∴点Q落在直线y=2x+1上, ∴x2-2x+3=2x+1, 解得x1=2+,x2=2-. 代入y=2x+1,得y1=5+2,y2=5-2, ∴此时抛物线上存在点Q1(2+,5+2),Q2(2-,5-2)使△QMA与△PMA的面积相等.(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$