精品解析：内蒙古自治区兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

前旗二中高二第一学期第四次月考数学试题 一、单选题 1. 直线l：的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先确定直线的斜率，再根据斜率与直线倾斜角之间的关系，可求得答案. 【详解】因为直线l：的斜率为-1， 即 ， ， 所以 ， 故选：C. 2. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 3 B. C. 0或3 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故选：D 3. 已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 4. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆中的关系求解即可. 【详解】由题意可得解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A 5. 已知双曲线的离心率为2，则的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率可求，故可求渐近线方程. 【详解】因为离心率为2，故，故， 故渐近线方程为：， 故选：D. 6. 设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形性质和椭圆定义求出，根据正切函数定义列式整理可得. 【详解】在中，，所以， 又，所以， 所以，即，整理得. 故选：A 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 11或9 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 8. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义、性质及数形结合判定选项即可. 【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知， 所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为. 当且仅当在与抛物线的交点时取得等号. 故选：C. 二、多选题 9. 已知曲线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则C是焦点在轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C是焦点在轴上的椭圆 D. 若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知是双曲线的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（ ） A. B. 渐近线方程为 C. 若，则的面积为16 D. 若，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB由题可直接计算离心率与渐近线； C由双曲线定义，双曲线方程结合余弦定理，可得，即可得的面积； D由双曲线定义，双曲线方程结合余弦定理，可得，即可得的面积. 【详解】对于A，由题可得，则，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为：，故B错误； 对于C，由题，由图结合双曲线定义可得， 则. 则，则， 得，故C正确； 对于D，因，则， 则， 得，则，故D正确. 故选：ACD 11. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 的最大值是 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；设根据二次函数的性质判断C；面积，结合的范围判断D 【详解】因为椭圆C的方程，故， 由椭圆的定义可知，故A正确； 离心率，故B错； 由椭圆性质可知，所以的最大值是3，故C对； 因为，又， 当时，即P在短轴的顶点时面积的取得最大值， ，故D对； 故选：ACD 三、填空题 12. 圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设圆心坐标为，根据圆所过的两点可得出关于的等式，求出即求出圆的方程. 【详解】因为圆心在直线上，设圆心坐标为， 因为圆经过原点和点，则，解得， 故圆心坐标为，圆的半径为， 故所求圆的方程为. 故答案为：. 13. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设点在第一象限，由双曲线定义得，由勾股定理得，故，即可计算三角形面积. 【详解】由得，所以. 不妨设点在第一象限，则，故 ∵，∴， ∴，即， ∴， ． 故答案为：2. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆定义可知，，再结合等腰三角形求高和面积. 【详解】由椭圆方程可知：， 因为分别为的中点，则，可得， 因为，则，且， 所以的面积为. 故答案为：. 四、解答题 15. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点为； （2）焦点到准线的距离为. 【答案】（1） （2）或或或. 【解析】 【分析】（1）根据条件确定焦点的位置，求出的值，得抛物线的标准方程； （2）根据条件求出的值，得抛物线的标准方程. 【小问1详解】 由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 由焦点到准线的距离为，可知. 所求抛物线的标准方程为或或或. 16. 已知直线，圆. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆心和半径，再根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. （2）当为等边三角形时，根据等边三角形的性质可知圆心到直线的距离与半径的关系，同样根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. 【小问1详解】 由圆的方程可知圆心，半径. 直线，即. 因为直线与圆相切，则，解得或. 【小问2详解】 因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离. 同样根据点到直线距离公式得. 化简得. 解得. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 在四棱锥中，底面，底面， 则，由底面是正方形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得，则， 而平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解. （3）先根据相似三角形的边长成比例确定F的位置，再求得平面的法向量坐标，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，且， 设平面的法向量为， 则，取，得， ，而，则， 即，则的一个法向量为， 因此， 而，则， 所以平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 因为底面，底面, 所以 底面是正方形，所以, ,平面, 所以平面,平面, 所以，所以在为直角三角形， 又由题知，所以在也为直角三角形， 故与相似， 则， ,， 而，所以， 所以是线段PB中靠近点P的三等分点， 由第（1）小问可知，，，， 因为是线段PB中靠近点P的三等分点，所以点， 设平面的一个法向量为， 而，， 则有，令，则，，， ，， 设B点到平面的距离为， 则； 故B点到平面的距离为. 18. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： （1）动点P的轨迹C的方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）设动点，根据及斜率两点式列方程求轨迹； （2）设直线与曲线C的交点为，联立轨迹C并应用韦达定理、弦长公式求参数k，即可得结果. 【小问1详解】 设动点， 由题意，化简整理得， 故点P的轨迹C的方程是. 【小问2详解】 直线斜率不存在时不合题意， 斜率存在时，设直线与曲线C的交点为， 由，得，， 则，， ，整理得，解得或（舍）. 经检验，符合题意，直线l的方程为，即或. 19. 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； （3）设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率. 【答案】（1） （2） （3）离心率为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据双曲线与双曲线有相同的渐近线，设出双曲线的方程，将点代入，进而即可求解； （2）设出，两点的坐标，根据线段的中点为以及，两点都在双曲线上，列出等式即可求出直线的斜率，再将代入即可求出直线的方程； （3）可设直线的方程为，由原点到直线的距离为得，结合可求得离心率. 【小问1详解】 因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 不妨设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点， 解得， 则所求双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 不妨设,，,， 因为线段的中点为， 所以，， 因为，两点都在双曲线上， 所以， 可得， 即， 则， 所以直线的方程为，即， 联立，则，故直线与双曲线有两个交点， 从而可得直线方程为，即. 【小问3详解】 由题可设直线的方程为，即， 由原点到直线的距离为得，即， 两边同时除以得，整理得，解得或， 故双曲线的离心率为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前旗二中高二第一学期第四次月考数学试题 一、单选题 1. 直线l：的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 2. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 3 B. C. 0或3 D. 0或 3. 已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率为2，则的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 11或9 8. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题 9. 已知曲线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则C是焦点在轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C是焦点在轴上的椭圆 D. 若，则C是两条平行于y轴的直线 10. 已知是双曲线的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（ ） A. B. 渐近线方程为 C. 若，则的面积为16 D. 若，则的面积为 11. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 的最大值是 D. 面积的最大值为 三、填空题 12. 圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为______ 13. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为______． 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为______. 四、解答题 15. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点为； （2）焦点到准线的距离为. 16. 已知直线，圆. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： （1）动点P的轨迹C的方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 19. 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； （3）设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $