专题三　圆的证明与计算-2025年中考数学一轮教材梳理（陕西）

专题三　圆的证明与计算 题型1　以圆的性质为背景的证明与计算 圆的证明与计算每年解答题考查1道,分值为8分.主要结合的知识点:①相似三角形;②锐角三角函数;③全等三角形;④特殊四边形的判定. 1.如图,AB是☉O的直径,以AB为腰作等腰△ABC,底边BC交☉O于点D,连接AD,延长CA交☉O于点E,连接BE,DE. (1)求证:∠CAD=∠BED. (2)若BD=20,tan∠BDE=,求☉O的半径. 2.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠ADC=90°.连接BD,作CF⊥BD,分别交BD,☉O于点E,F,连接BF,交AC于点M,AB=BC. (1)求证:BF∥CD. (2)当AD+CD=5时,求线段BD的长. 题型2　以切线性质为背景的证明与计算 3.(2024·交大附中模拟)如图,☉O是△ABC的外接圆,AC是☉O的直径,D是OA的中点.DE⊥AC交CB的延长线于点E,交AB于点F,G是DE上的一点,且BG与☉O相切于点B. (1)求证:∠GBF=∠C. (2)若tan∠CED=,AD=4,求FG的长. 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以CD为直径作☉O,与AC,BC分别交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G. (1)求证:FG⊥AB. (2)若☉O的半径是,cos∠ACD=,求FG的长. 5.如图,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D. (1)求证:DB=DE. (2)若AB=12,BD=5,求AC的长. 6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点D,过点D作☉O的切线交BC于点E. (1)求证:EC=ED. (2)若DC=DE=6,求图中阴影部分的面积. 7.(2024·新城区模拟)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,D为☉O上一点,过点D作☉O的切线分别交AB,AC的延长线于点E,F,且BC∥EF,连接AD. (1)求证:∠BAD=∠CAD. (2)若AB=3,AC=3,求CF的长. 8.如图,在△ABC中,AC=BC,☉O是△ABC的外接圆,过点B作☉O的切线BD,连接AD交BC于点E,交☉O于点F,连接BF. (1)求证:∠FBD=∠FAB. (2)若AE⊥BC,AC=6,=,求DF的长. 题型3　切线的判定及其应用 9.(2024·西工大附中模拟)如图,AB是☉O的直径,点C,E在☉O上,∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC. (1)求证:EF与☉O相切. (2)若BF=,sin∠AFE=,求BC的长. 10.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,点O在BC上,以点O为圆心,OB为半径的圆恰好经过点D,交AB于点E. (1)求证:AC是☉O的切线. (2)若OB=5,CD=4,求AE的长. 11.如图,C是以AB为直径的☉O上的一点,过点A作☉O的切线交BC的延长线于点D,取AD的中点E,连接EC并延长交AB的延长线于点F. (1)求证:EF是☉O的切线. (2)若CF=12,BF=8,求tan D的值. 12.(2024·铁一中模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点,连接CD,∠A=2∠BCD. (1)求证:AB为☉O的切线. (2)若tan A=,☉O的半径为2,求AB的长. 参考答案 1.解析:(1)证明:∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC. ∵AB=AC,∴∠CAD=∠BAD,BD=CD. ∵∠BED=∠BAD,∴∠CAD=∠BED. (2)∵∠BDE=∠BAE, ∴tan∠BDE=tan∠BAE=. ∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°, ∴=. 设AE=7x,则BE=24x, ∴AB==25x, ∴AC=AB=25x,∴CE=AC+AE=32x. ∵BD=CD,BD=20,∴BC=2BD=40. 在Rt△BCE中,BC2=CE2+BE2, ∴402=(32x)2+(24x)2,解得x=1(负值已舍去), ∴AB=25,∴☉O的半径为. 2.解析:(1)证明:∵AB=BC, ∴=. ∵∠ADC=90°, ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∵CF⊥BD,∴∠DEC=90°, ∴∠DCF=45°. 又∵∠F=∠BDC=45°, ∴∠F=∠DCF=45°, ∴BF∥CD. (2)如图,延长AD至点N,使得DN=DC,连接NC. ∵∠ADC=90°,DN=DC, ∴∠N=∠DCN=45°, ∴sin N==. ∵AD+CD=5, ∴AD+DN=AN=5. ∵∠DAC=∠DBC,∠N=∠BDC=45°, ∴△NAC∽△DBC, ∴=, 即==, 解得BD=5, ∴线段BD的长为5. 3.解析: (1)证明:如图,连接OB,则OB=OC, ∴∠C=∠OBC. ∵BG与☉O相切于点B, ∴BG⊥OB. ∵AC是☉O的直径, ∴∠OBG=∠ABC=90°, ∴∠GBF=∠OBC=90°-∠OBF, ∴∠GBF=∠C. (2)∵D是OA的中点,AD=4, ∴OD=AD=4,∴OC=OA=2AD=8, ∴CD=OD+OC=4+8=12. ∵DE⊥AC,∴∠ADF=∠CDE=90°, ∴=tan∠CED=, ∴ED=CD=×12=16. ∵∠A=∠CED=90°-∠C, ∴=tan A=tan∠CED=, ∴FD=AD=×4=3, ∴EF=ED-FD=16-3=13. ∵∠FBE=∠CDE=90°, ∴∠GFB=∠C=90°-∠E. 由(1)得∠GBF=∠C, ∴∠GFB=∠GBF,∴FG=BG. ∵∠E+∠GFB=90°,∠GBE+∠GBF=90°, ∴∠E=∠GBE,∴EG=BG, ∴FG=EG=EF=×13=, ∴FG的长为. 4.解析:(1)证明:如图,连接OF,DF. ∵∠ACB=90°,AD=DB, ∴DC=DB=DA. ∵CD是☉O的直径, ∴∠CFD=90°,即DF⊥BC, ∴CF=FB. ∵OC=OD,CF=BF, ∴OF是△CDB的中位线, ∴OF∥BD, ∴∠OFC=∠B. ∵FG是☉O的切线, ∴∠OFG=90°, ∴∠OFC+∠BFG=90°, ∴∠BFG+∠B=90°, ∴∠FGB=90°, ∴FG⊥AB. (2)在Rt△ABC中, ∵D是AB的中点,CD=5, ∴AD=BD=5, ∴AB=10. ∵cos∠ACD=cos∠CAD==, ∴AC=10×=6, ∴BC===8. ∵CD是☉O的直径, ∴∠CFD=90°,∴BF=CF=BC=4, ∴DF===3, ∴S△BDF=DF·BF=BD·FG, ∴FG===. 5.解析:(1)证明:∵BD为☉O的切线, ∴OB⊥BD, ∴∠OBD=90°,即∠OBE+∠DBE=90°. ∵CD⊥OA,∴∠A+∠AEC=90°. 又∵OA=OB,∴∠A=∠OBE, ∴∠OBE+∠AEC=90°, ∴∠AEC=∠DBE. ∵∠AEC=∠DEB, ∴∠DEB=∠DBE, ∴DB=DE. (2)如图,作DF⊥AB于点F. ∵E是AB的中点, ∴AE=BE=AB=6. ∵DB=DE,DF⊥AB, ∴BF=EF=BE=3, ∴DF==4. ∵EC⊥OA,DF⊥AB, ∴∠ACE=∠DFB=90°. ∵∠AEC=∠DBE, ∴△ACE∽△DFB, ∴=,即=, 解得AC=. 6.解析:(1)证明:如图,连接OD,BD. ∵AB为☉O的直径, ∴∠ADB=90°.又∵∠ABC=90°, ∴BC是☉O的切线. ∵DE是☉O的切线, ∴BE=DE,∴∠EBD=∠EDB. ∵∠ADB=90°, ∴∠EBD+∠C=90°,∠EDB+∠CDE=90°, ∴∠C=∠EDC,∴ED=CE. (2)在Rt△BCD中, ∵DC=DE=BE=CE=6, ∴△CDE是等边三角形,BC=12, ∴∠C=60°. ∵∠ABC=90°,∴∠A=30°, ∴AB=BC=12 , ∴OA=OD=6 , ∴∠A=∠ADO=30°, ∴∠BOD=60°, ∴图中阴影部分的面积=S四边形OBED-S扇形DOB =6×6 - =36 -18π. 7.解析: (1)证明:如图,连接OD. ∵EF是☉O的切线,BC∥EF, ∴∠EDO=∠COD=90°, ∴∠BOD=∠COD=90°, ∴=,∴∠BAD=∠CAD. (2)如图,连接DO并延长,交AC于点G. ∵BC为☉O的直径,∴∠BAC=90°. ∵AB=3,AC=3, ∴BC==6,∴OB=OC=OD=3. ∵∠GOC=∠BAC,∠GCO=∠BCA, ∴△GCO∽△BCA,∴==, ∴==, ∴GO=,GC=2. ∵BC∥EF,∴=,∴=,∴CF=6. 8.解析:(1)证明:如图,连接BO,延长BO与☉O交于点G,连接GF. ∵BD是☉O的切线, ∴∠OBD=90°. ∵BG为☉O的直径, ∴∠BFG=90°, ∴∠G+∠GBF=∠GBF+∠DBF=90°, ∴∠FBD=∠G. ∵∠G=∠FAB,∴∠FAB=∠FBD. (2)∵AC=BC=6,=, ∴CE=2,BE=4. ∵AE⊥BC, ∴AE==4 . ∵∠C=∠BFE,∠CAE=∠FBE, ∴△ACE∽△BFE,∴=, 即=,解得EF=. 设DF=x, ∵DB是☉O的切线,∠FAB=∠FBD,∠D=∠D, ∴△BDF∽△ADB, ∴=,∴BD2=DF·DA. ∵BD2=DE2+BE2=(x+)2+42, ∴(x+)2+42=x(x+4 +), 解得x=3 , 即DF=3 . 9.解析: (1)证明:如图,连接OE. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA, ∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE. ∵∠CAB=2∠EAB,∴∠CAB=∠FOE. 又∵∠AFE=∠ABC, ∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE, ∴∠OEF=∠ACB=90°,即OE⊥EF. ∵OE是半径,∴EF是☉O的切线. (2)设半径为r,即OE=OB=r,则OF=r+. 在Rt△EOF中,sin∠AFE===, ∴r=4,∴AB=2r=8. 在Rt△ABC中,sin∠ABC==sin∠AFE=,AB=8, ∴AC=×8=, ∴BC==. 10.解析: 图1 (1)证明:如图1,连接OD. ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC. ∵OB=OD, ∴∠DBC=∠BDO, ∴∠ABD=∠BDO,∴AB∥DO, ∴∠ODC=∠A=90°. ∵OD是☉O的半径, ∴AC是☉O的切线. (2)如图2,过点O作OG⊥AB,垂足为G, ∴BG=GE,∠BGO=∠AGO=90°. ∵∠A=∠ODA=∠AGO=90°, ∴四边形AGOD是矩形,∴AG=OD=OB=5. 在Rt△ODC中,OD=5,DC=4, ∴OC===. ∵AB∥OD,∴∠ABC=∠DOC. ∵∠BGO=∠ODC=90°,∴△BGO∽△ODC, 图2 ∴=,即=, 解得BG=, ∴GE=BG=, ∴AE=AG-GE=5-, ∴AE的长为5-. 11.解析:(1)证明:如图,连接OC,EO. ∵DA是☉O的切线,∴∠A=90°. ∵E为AD的中点,O为AB的中点, ∴OE为△ABD的中位线, ∴OE∥BD, ∴∠AOE=∠ABD,∠EOC=∠OCB. ∵OB=OC, ∴∠ABD=∠OCB,∴∠AOE=∠COE. 在△AOE和△COE中, ∴△AOE≌△COE(SAS), ∴∠A=∠OCE=90°,∴OC⊥EF. ∵OC为☉O的半径,∴EF是☉O的切线. (2)设☉O的半径为r,则OC=r,OF=r+8. 在Rt△OCF中,OC2+CF2=OF2, 则r2+122=(r+8)2,解得r=5. ∵∠F=∠F,∠OCF=∠EAF=90°, ∴△OCF∽△EAF, ∴=,即=, 解得AE=. ∵E为AD的中点,∴AD=15, ∴tan D===. 12.解析: (1)证明:如图,连接OD. ∵☉O经过C,D两点, ∴OC=OD, ∴∠ODC=∠BCD, ∴∠BOD=∠ODC+∠BCD=2∠BCD. ∵∠A=2∠BCD,∴∠BOD=∠A. 在△ABC中,∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°,∴∠BOD+∠B=90°, ∴∠ODB=90°,即OD⊥AB. ∵OD为☉O的半径,∴AB为☉O的切线. (2)由(1)得∠BOD=∠A,∠ODB=90°. ∵tan A=,∴tan∠BOD=. 在Rt△BOD中,tan∠BOD==. ∵☉O的半径为2,∴OD=OC=2, ∴=,∴BD=. 在Rt△BOD中,OD=2,BD=, ∴OB==, ∴BC=OB+OC=+2=. 在Rt△ABC中,tan A==, ∴AC=BC=×=4. 在Rt△ABC中,BC=,AC=4, ∴AB==. 学科网（北京）股份有限公司 $$