专题05全等三角形的简单证明计算-2024-2025学年八年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题05全等三角形的简单证明计算 1．如图，且，． (1)求证：△ABC≌△EFA； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析；(2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在△ABC和△EFA中， ， ； （2）解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 2．如图，点B，C，E，F在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，先根据“两直线平行内错角相等”得，再根据等量代换得，可证明，然后根据全等三角形的对应边相等得，最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案. 【详解】∵， ∴. ∵， ∴，即， 在△ABC和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，点E在上，与交于点F，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，推出，即可证明． 【详解】证明：在△ABE和中， ， ， ， ．即． 4．如图，在△ABC中，点D是上的中点，连接并延长到点E，使，连接． (1)求证：△ABD≌△ECD； (2)若的面积为12，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)24 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质． （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形中线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵在△ABC中，D是的中点 ∴， ∵， ， ∵， ． 答：的面积为24． 5．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③；(2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 6．如图，已知，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在与中， ， ， ∴AB=AE 7．如图，在△ABC中，是边上一点，延长至点，使得，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由题意可得，再利用证明，即可得到答案． 【详解】证明：， ， ， 在△ABC和△FDE中， ， ， ． 8．已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键． （1）由，利用线段的和差得到，由证明两个三角形全等即可； （2）由（1）可知，由全等三角形的性质得到，然后利用角的和差来求解． 【详解】（1）证明：∵， ． 在和中 ． （2）解：， ， ． 9．如图，已知、相交于点，点为的中点，． (1)； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是运用证明两个三角形全等． （1）由已知可得，结合，，利用进行讲明即可得； （2）根据全等三角形的性质可得，据此进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点O为的中点， ∴． 在和中 ∴（） （2）解：由（1）得， ∴． ∵， ∴． 10．如图，已知△ABC和．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，由角的和差关系即可得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明： ， 即， 在△ABC和△ADE中， ， ． 11．如图，点、、、在同一条直线上，，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再证明，则可证明，进而可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解；(2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟悉基本几何图形是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，可证，再利用证明； （2）由，得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：，理由如下： ， ，． ， ． 13．已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在△ABC和中， ， ∴， ∴． 14．如图，在△ABC中，，点E是延长线上一点，D为下方一点，连接，过点D作交于点F，且． (1)求证：； (2)连接交于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）先求得，再根据证明，即可得到； （2）由，推出，再利用证明，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 15．如图，已知． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】此题考查全等三角形的判定及三角形外角的性质，关键是根据证明． （1）根据证明与全等即可； （2）利用三角形外角的性质解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， 在和中， , ∴； （2）∵，, ∴． 16．如图，已知AB∥CF，点E是的中点，直线交于点D． (1)求证∶； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用平行线的性质证明，由中点定义得到，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ 17．如图，点，，，在同一条直线上，，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由题意得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得：， ∴， ∴． 18．如图，点是上一点，交于点，为中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)5 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，由题意可得，再利用证明即可得证； （2）先求出，再由全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ， 为的中点， ， 在△ADE和中， ， ， ∴； （2）解：，， ， ， ，即的长为5． 19．如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判断及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用平行线的性质证出角相等，再通过证出，即可解答； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 在△ABC和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 20．已知如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段的同侧作△ACD和△BCE，且，，，连接、相交于点F． (1)求证：； (2)如果，求． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理． （1）先证明，再利用证明，由全等三角形的性质可得出． （2）由三角形外角的定义可得出，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出，最后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在△ABC和△BDE中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键． （1）利用“”可判断； （2）利用得到，再根据三角形内角和得到，即可判断． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ； （2）解： 理由如下： ， ， ， ， ． 22．如图所示，为延长线上的一点，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由，，则，证明，则，即，再证明，由全等三角形的性质即可求证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 23．如图：点C是的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再利用证明即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24．如图，在△ABC中，平分，，垂足分别为E、F，且．试说明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质． 先证明，得出，再证明，从而得出． 【详解】证明：∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． 25．如图，在△ABC和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)．首先根据得到，然后证明，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ，∴，∴． 26．如图所示，已知，点在同一条直线上，，且． (1)求证： (2)求的度数 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据“边边边”即可证明； （2）根据得出，根据对顶角相等和三角形内角和定理即可得出，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中 ∵， ∴． （2）解：， ∴， 又对顶角相等，根据三角形内角和定理可知， ∵， ∴． 27．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）利用可证明，可得，便可证得； （2）根据全等三角形的性质可知，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 在△ABC和△DEF中， ， ∴(SAS) ∴ ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 28．如图，是△ABC的中线，延长至点，使，连接． (1)证明：； (2)若，，设，可得的取值范围是______． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形的三边关系得到答案即可． 【详解】（1）证明：是△ABC的中线， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：． 29．如图，在△ABC中，过点A作于点，过点作于点，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）由， 可得，进而可得，再根据即可证明． （2）由全等三角形的性质可得，由可得，由此可求出的长，进而可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ． ． ， ． 在和中， ， ． （2）解：， ． ， ， ， 解得． ． 30．如图，在△ABC中，的平分线交于，过作交于，交于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，进而可得． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵，∴．∴． 31．如图，，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先用证明和全等，再用证明． 【详解】证明：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ，∴， ∴， 在和中， ，∴． 32．（1）如图1，已知，在类似“伞形图”中．，．求证：． （2）如图2，在中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据证明，由全等三角形的性质可得结论； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由可得，从而得到即可解答； 选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； 【详解】解：（1）证明：在和中， ，∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论， 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论， 如图，在取点N，使，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 试卷第22页，共22页 试卷第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05全等三角形的简单证明计算 1．如图，且，． (1)求证：△ABC≌△EFA； (2)若，，求的长度． 2．如图，点B，C，E，F在一条直线上，，求证：． 3．如图，点E在上，与交于点F，，，，求证：． 4．如图，在△ABC中，点D是上的中点，连接并延长到点E，使，连接． (1)求证：△ABD≌△ECD； (2)若的面积为12，求的面积． 5．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 6．如图，已知，，求证： 7．如图，在△ABC中，是边上一点，延长至点，使得，．求证：． 8．已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 9．如图，已知、相交于点，点为的中点，． (1)； (2)若，求的长． 10．如图，已知△ABC和．求证：． 11．如图，点、、、在同一条直线上，，，，．求证：． 12．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由． 13．已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 14．如图，在△ABC中，，点E是延长线上一点，D为下方一点，连接，过点D作交于点F，且． (1)求证：； (2)连接交于点G，若，求的长． 15．如图，已知． (1)证明：； (2)若，求的度数． 16．如图，已知AB∥CF，点E是的中点，直线交于点D． (1)求证∶； (2)若，求的长． 17．如图，点，，，在同一条直线上，，，． 求证： (1)； (2)． 18．如图，点是上一点，交于点，为中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．已知如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段的同侧作△ACD和△BCE，且，，，连接、相交于点F． (1)求证：； (2)如果，求． 21．如图，在△ABC和△BDE中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 22．如图所示，为延长线上的一点，，，，求证：． 23．如图：点C是的中点，，．求证：． 24．如图，在△ABC中，平分，，垂足分别为E、F，且．试说明． 25．如图，在△ABC和中，，，． 求证：． 26．如图所示，已知，点在同一条直线上，，且． (1)求证： (2)求的度数 27．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 28．如图，是△ABC的中线，延长至点，使，连接． (1)证明：； (2)若，，设，可得的取值范围是______． 29．如图，在△ABC中，过点A作于点，过点作于点，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 30．如图，在△ABC中，的平分线交于，过作交于，交于．求证：． 31．如图，，相交于点O，，．求证：． 32．（1）如图1，已知，在类似“伞形图”中．，．求证：． （2）如图2，在中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 试卷第10页，共11页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$