专题02填空题-2024-2025学年华东师大版八年级数学上册期末复习必刷专题训练

专题02填空题 1．因式分解：______________． 2．已知是的整数部分，是的小数部分，则______________． 3．设，，．若，则的值是_______． 4．计算：_________． 5．如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为_________． 6．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进______米． 7．已知一个正数的两个平方根分别为和，则这个数的算术平方根是______． 8．81的平方根是______；的算术平方根是______；的立方根是______ 9．如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长______． ． 10．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为________． 11．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，若，，则______．    12．若实数a、b满足，则 ______． 13．一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1～4组数据的频数分别是2、8、15、10，则第5组的频数为______，频率为______． 14．把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为：______________________． 15．等腰三角形的两边长分别是和，那么这个三角形的周长是______． 16．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则______． 17．已知，则______． 18．如果，那么______． 19．若，，则______． 20．若，那么多项式的值是______． 21．当取______时，多项式取得最小值是______． 22．已知，，则的值为______． 23．是一个完全平方式，则m的值是______． 24．计算______． 25．的立方根是______，的平方根是______，的绝对值是______． 26．若，，则______． 27．已知，，则______． 28．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，则顶角的度数为_________． 29．已知，，则______． 30．如图，在△ABC中，，点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______时，能够在某一时刻使与△CQP全等． 31．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑______米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 32．已知实数m满足，则______． 33．若，，则______． 34．如图，在△ABC中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为______． 35．的平方根是______；的立方根是______；的算术平方根是______． 36．如图，在三角形中，，平分，点E是线段延长线上一点，连接，点C在的垂直平分线上，若，则△ABC的周长等于______． 37．如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，，则的长为______． 38．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴，良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，运用所学知识求出绳索的长是______尺． 39．如图，在△ABC中，是△ABC的中线，，，则的取值范围是____________． 40．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是______． 41．如图，在△ABC中，与的平分线交于点O，过O点作，分别交、于D、．若，，则△ADE的周长是______． 42．如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．    请仔细观察，填出的展开式中所缺的项：____________． 43．若实数满足，则______． 44．若，则的值为______． 45．若a，b为实数，且b＝＋－11，则a＋b的立方根为______． 46．若，则的算术平方根是______． 47．实数满足，则的值是______． 48．如图，△ABC中，，、分别在边、上，且满足．下列结论中：①；②平分；③；④；其中正确的有______个． 49．如图，△ABC的面积为8，，，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为______． 50．宛宛在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，，，则______cm． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02填空题 1．因式分解：______________． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：，故答案为：． 2．已知是的整数部分，是的小数部分，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据，即，求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分是3，的小数部分是， ∴，， ∴，故答案为： 3．设，，．若，则的值是_______． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式，由题意可得，，再根据完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ， ， ．故答案为：7． 4．计算：_________． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 5．如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明得，再求出的值即可． 【详解】解：是木条和的中点 又 ∴△EOF≌△DOC ， ∴a+12+a=18， ，故答案为：3． 6．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于E，则米，，得到米，由勾股定理得出米，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于E，则米，， 米， 米， 米， 在中， 由勾股定理得：米， 米， 即这名学生从进入感应区到进门，需行进米，故答案为：． 7．已知一个正数的两个平方根分别为和，则这个数的算术平方根是______． 【答案】8 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的定义，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．由题意得，求出，继而得到这个数，继而可求算术平方根． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为和， ，解得：， ， 这个数是 ∴这个数算术平方根为8，故答案为：8． 8．81的平方根是______；的算术平方根是______；的立方根是______ 【答案】 2 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，注意求的算术平方根时，要先求出，即求4的算术平方根． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可． 【详解】解：81的平方根是，的算术平方根是2，的立方根是． 故答案为：；2；． 9．如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长______． ． 【答案】 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠，得到，，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形一边，使D落在边的点F处， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：， ∴；故答案为： 10．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求a，进而求b，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴．故答案为：． 11．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，若，，则______．    【答案】1 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．依题意得 ，则然后再根据即可得出答案． 【详解】如图所示的“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成， ， ， 又∵， ，故答案为：． 12．若实数a、b满足，则 ______． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，解得，， ∴．故答案为：1． 13．一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1～4组数据的频数分别是2、8、15、10，则第5组的频数为______，频率为______． 【答案】 【分析】本题考查频率、频数的关系：频率=频数，同时考查频数的定义即样本数据出现数据总数的次数． 总数减去其它四组的数据就是第5组的频数，用频数除以数据总数就是频率． 【详解】解：根据题意可得：第、、、组数据的个数分别是、、、，共， 样本总数为50， 故第5小组的频数是，频率是． 故答案为． 14．把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为：______________________． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等 【分析】本题考查逆命题及命题的扩充改写．先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进行适当扩充． 【详解】解：命题“等边对等角”的逆命题改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等； 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等． 15．等腰三角形的两边长分别是和，那么这个三角形的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】解：当三边的长为，，，因为，故不能构成三角形； 当三边的长为，，，能构成三角形， ∴周长为， 故答案为：． 16．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，去括号，合并同类项，解一元一次方程等知识点，根据二阶行列式的定义及已知条件正确列出方程是解题的关键． 根据二阶行列式的定义及已知条件可得，将方程左边利用完全平方公式展开，然后去括号，合并同类项，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：根据二阶行列式的定义可得： ， 展开，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：，解得：，故答案为：． 17．已知，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先把式子两边同时平方，利用完全平方公式求出的值，同理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，根据条件，利用平方差公式，代值求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解：， ，故答案为：． 19．若，，则______． 【答案】24 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：，， ；故答案为：24． 20．若，那么多项式的值是______． 【答案】8 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解：， ．故答案为：． 21．当取______时，多项式取得最小值是______． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用完全平方公式把多项式变形为，再利用偶次方的非负性得到多项式取值最小值时的值，进而求出最小值即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，的值最小，最小值为8， 故答案为：；8． 22．已知，，则的值为______． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值．利用完全平方公式将所求式子变形为，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：37． 23．是一个完全平方式，则m的值是______． 【答案】0或6 【分析】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握运算公式，直接利用完全平方公式得出m的值． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴ ∴或6，故答案为：0或6． 24．计算______． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 25．的立方根是______，的平方根是______，的绝对值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根，算术平方根和立方根和绝对值．直接利用立方根以及算术平方根和平方根、绝对值的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； 的平方根是； ∵ ∴ ∴ ∴， ∴的绝对值是． 故答案为：，，． 26．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故答案为：． 27．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题关键．将变形为，再进行计算即可． 【详解】解：， ，故答案为：． 28．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，则顶角的度数为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为， 故答案为：或． 29．已知，，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，故答案为：6． 30．如图，在△ABC中，，点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______时，能够在某一时刻使与△CQP全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．设点、的运动时间为，分别表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②、是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，，点为的中点， ，， 设点、的运动时间为， ， ， 若与△CQP全等．则有： ①当时，，解得：， 则， 故点的运动速度为：； ②当时， ∵BC=16cm， ， ， ． 故点的运动速度为． 所以，点的运动速度为或；故答案为：或． 31．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑______米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【答案】1.7 【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键． 根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案． 【详解】解：由题意得：(米)， 梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称， 米， (米)， 即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 故答案为：． 32．已知实数m满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，绝对值的意义，根据算术平方根的定义得到，则，进而化简得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：有意义， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得 ； 故答案为：． 33．若，，则______． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式． 根据平方差公式因式分解，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故答案为：2． 34．如图，在△ABC中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点间线段最短原理，熟练掌握线段最短原理是解题的关键．根据直线m是△ABC中边的垂直平分线，得到点B与点C关于直线m对称，故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值，此时的周长的最小值为，代入计算即可． 【详解】解∶ 因为直线m是中边的垂直平分线， 所以点B与点C关于直线m对称， 故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值， 所以的周长的最小值为， 因为， 所以的周长的最小值为． 故答案为：4． 35．的平方根是______；的立方根是______；的算术平方根是______． 【答案】 5 2 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根等知识点，牢记平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：的平方根是，的立方根是，（）的算术平方根是， 故答案为：，，． 36．如图，在三角形中，，平分，点E是线段延长线上一点，连接，点C在的垂直平分线上，若，则△ABC的周长等于______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键． 由，平分，可得，由点C在的垂直平分线上，可得，由题意知，，根据△ABC的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴△ABC的周长为， 故答案为：． 37．如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到、，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，即， 解得：，故答案为：． 38．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴，良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，运用所学知识求出绳索的长是______尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：尺，尺， ∴（尺）， 设绳索尺， 根据题意得：，解得． 答：绳索的长为尺．故答案为：． 39．如图，在△ABC中，是△ABC的中线，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至点，使，连接，证明△ADC≌△EDB，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围，即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是△ABC的中线， ∴， 又∵， ∴△ADC≌△EDB， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 40．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是______． 【答案】65 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，将实际生活与全等三角形的知识结合是解题关键． 【详解】解：由题意得：，，， ∵， ∴△FOC≌△GOD ∴ ∵支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是， ∴小明离地面的高度是： 故答案为：． 41．如图，在△ABC中，与的平分线交于点O，过O点作，分别交、于D、．若，，则△ADE的周长是______． 【答案】11 【分析】本题考查了角平分线定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点，学会通过题目中的条件推出△ADE的周长等于是解题的关键．根据角平分线定义和平行线性质得出，推出，同理得出，推出的周长等于，即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理得：， ∴△ADE的周长， ， ， ， ， ∴△ADE的周长是11．故答案为：11． 42．如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．    请仔细观察，填出的展开式中所缺的项：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式及规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，找出字母和系数存在的规律．观察图形可知：杨辉三角，各项是按照a的降幂和b的升幂排列，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，按照此规律进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 43．若实数满足，则______． 【答案】2023 【分析】本题主要考查因式分解的应用，根据，得出，再根据，代入整理即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，故答案为：2023． 44．若，则的值为______． 【答案】 【分析】可以先运用完全平方和公式及多项式乘以多项式运算法则展开，再由多项式相等求出，代入代数式由有理数加减运算求解即可得到答案．也可以根据所求代数式与条件的特征，取特殊值得到答案． 【详解】解：方法一：利用乘法公式展开 ， ， ， ； 方法二：取特殊值法 ， 求的值，可以取得到， 即； 故答案为：． 45．若a，b为实数，且b＝＋－11，则a＋b的立方根为______． 【答案】-2 【分析】先根据被开方数的非负性求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵b＝＋－11 ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴a＋b的立方根为2． 故答案为2． 46．若，则的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质得到，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 故答案为： 47．实数满足，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，利用整体的思想和完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ，故答案为：． 48．如图，△ABC中，，、分别在边、上，且满足．下列结论中：①；②平分；③；④；其中正确的有______个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分的定义．利用可证明，判断①正确；根据全等三角形的性质以及邻补角定义可得，继而利用证明，可得，，判断③正确；利用证明，可得平分，判断②正确，继而根据等腰三角形三线合一的性质可判断④正确． 【详解】在与中， ， ，故①正确； ， ， ，，， 在与中， ， ， ，，故③正确； 在与中， ， ， ， 即平分，故②正确， 又， ，故④正确， 正确的有①②③④，共个；故答案为：． 49．如图，△ABC的面积为8，，，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称——最短路径，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 连接，由△ABC的面积为8，，，可得，再根据是线段垂直平分线，可推出的长为的最小值，从而得出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴△ABC是等腰三角形， ∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短，故答案为：9． 50．宛宛在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，，，则______cm． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定；利用同角的余角相等证明，再利用证明，进而利用线段的和差关系直接代值求解即可． 【详解】（1）解：：∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∴． 故答案为：． 试卷第20页，共22页 试卷第19页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$