6.2.3角的大小比较 教案2024-2025学年苏科版数学七年级上册

第六章 平面图形的初步认识 6.2《角》 第3课时 角的大小比较   一、教学目标 2.通过度量、叠合等方法，会估计、比较角的大小. 2.会用直尺和圆规作一个角等于已知角. 3.在操作活动中理解角的平分线的概念， 并会用“因为……，所以……”进行简单的计算、推理，培养有条理的思考和表达的能力.  二、学习目标 2.会用量角器度量角后比长短，会用“叠合法”比较角的大小，会用尺规作图法作一个角等于已知角. 2.了解角的平分线的定义，并能够利用量角器画一个已知角的平分线； 3.会比较角的大小，能运用角的平分线意义进行简单的计算，发展学生有条理的思考并能表述.  三、教学重点 通过各种方法比较角的大小；理解并应用角平分线的概念解决问题.   四、教学难点 探索用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法.  五、教学过程 一、情境导入 如果已知两个角的度数，我们可以通过度数来比较角的大小．如果不知道两个角的度数，那么如何来确定它们之间的大小关系呢？ 回忆：我们已经学习了比较两条线段的长短，有哪些方法呢？会有哪些比较结果？ 有一张长方形纸片（图6-7），如何比较相邻两条边 AB，AD 的长短？ 教师准备矩形教具，通过折叠，使点D落到线段AB上，用叠合法比较出线段的长短． 答：观察法，度量法，叠合法;大于、小于和等于. 归纳：如果不知道两个角的度数，也可以通过观察法、叠合法进行比较. 用类似的方法，来比较角的大小． 类比操作：在两张透明的纸上分别有两个角，你能比较出这两个角的大小吗？ 　　　A O B A' B' O' 先直观感知，猜想两个角的大小关系，再操作证实． 利用透明纸上两个角∠AOB、∠A′O′B′，动手操作，证实自己的猜想． 答：将∠AOB平移到∠A′O′B′的位置，使得点O与点O′重合，射线OB与射线O′B′重合，看射线OA的位置．若射线OA落在∠A′O′B′内部，则∠AOB小于∠A′O′B′；若射线OA落在∠A′O′B′外部，则∠AOB大于∠A′O′B′；若射线OA与O′A′重合，则∠AOB等于∠A′O′B′． 师生活动：学生独立思考，动手操作，举手回答. 设计意图：通过学生熟悉的比较线段长短的情境引入，类比线段长短的比较，通过学生合作交流，用“叠合法”比较角的大小，知道叠合的方法、步骤，并了解角的比较的三种可能的结果：大于、小于和等于．“叠合法”是一种重要的思想方法，它是运用图形的运动、变化研究图形性质的基础．教师通过引导学生用符号语言去描述，实现文字语言向图形语言的转化． 二、新知探索 问题：下面两个钟面的大小相同，指针之间的夹角哪一个更大？ 活动2：探究比较两个角大小的方法. 这是生活中的问题，我们首先要将它“数学化”．将钟面上指针形成的两个夹角抽象出来. 问题2：你用什么方法进行比较？ 答：1.观察法，但角的大小较为接近，难以观察； 2.叠合法，利用透明纸拓印出两个角比较； 3.度量法，（1）利用量角器度量再比较， （2）通过测量AB、A′B′长短比较两个角张开的程度. 活动2：寻找用尺规作一个角等于已知角的思路. 引导：根据角的定义，角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形．∠AOB可以看成是OB从OA出发，绕点O按逆时针方向旋转形成的．当点A、B之间的距离确定时，∠AOB的大小也随之确定. 操作：使用这种方式动手试一试. 归纳：可以比较AB与A′B′的长短，来判断两个角的大小． 当AB＞A′B′时，∠AOB＞∠A′O′B′； 当AB＜A′B′时，∠AOB＜∠A′O′B′； 当AB＝A′B′时，∠AOB＝∠A′O′B′； 角的大小转化为线段的长短比较. 用叠合法比较两个角大小的过程，相当于作一个角等于已知角，利用以上的思路，我们可以用直尺和圆规作一个角等于已知角. 师生活动：学生独立思考，举手回答，借助手中的测量工具，动手操作，合作交流，代表归纳. 设计意图：数学来源于生活，经常需要将生活中的问题“数学化”．本环节将钟面上指针形成的两个夹角的大小比较，转化为圆中两个特殊位置的角的大小比较．这种转化对于学生而言较为困难，但需要培养这种转化的意识，为后续解决应用问题积累经验．转化为活动二后，从旋转的方式理解角的概念，在旋转中加深对角的本质的理解．时钟上时针和分针的位置是很典型的生活事例，从图形运动的角度，引导学生分析点A、B之间的距离随∠AOB的大小的确定而确定，从而将角的大小比较，转化为两个点之间的距离大小比较．为探索用直尺和圆规画一个角等于已知角作好铺垫． 活动3：通过折纸活动探知角平分线的概念.. 操作：在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展开纸片． 问题2：折痕把这个角分成的两个角相等吗？你是怎么发现的？ 答：相等，使用度量法、叠合法、转化法(学生言之有理即可). 引导：这条折痕所在的射线在数学中叫做“角平分线”.在学线段时，我们知道，如果一个点把一条线段分成相等的条线段，那么这个点叫作这条线段的中点．你能类比“中点”的概念描述它吗？ 定义：如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线． 归纳：类比线段中点，角平分线的定义也可以进行两方面的判断和表述： 如果OC是∠AOB的平分线， 那么∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC. 反之，如果OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC＝∠BOC，或∠AOC＝∠AOB，或∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠AOC，或∠AOB＝2∠BOC， 那么OC是∠AOB的平分线． 师生活动：学生动手操作，交流讨论，代表归纳. 设计意图：由折纸活动引入角平分线的概念，教学时要引导学生通过自己的语言加以表述，不要用教师的演示代替学生的实践．理解概念时，类比线段的中点，将图形表示和符号表示结合起来，让学生尝试用“因为……所以……”的方式对角平分线的定义进行两个方面的表述，初步感受推理表述方式，为例题教学作好铺垫． 讨论：如图，射线OC从∠AOB的边OA出发，绕点O向边OB旋转，∠1和∠2的大小关系发生了怎样的变化？ 答：开始时∠1＜∠2；当射线OC是∠AOB角平分线时，∠1∠2；再旋转，∠1＞∠2． 问题2：∠1与∠2在动态变化时，当一个角在变化时，另一个角随之而改变，在比较大小时要注意分类讨论．但是∠1与∠2在变化时，也有不变的量，你发现了吗？ 答：∠1与∠2的和不变． 问题2：如果和是80°，如何分类讨论，比较两个角的大小？ 答：∠1＜40°时，∠1＜∠2；∠140°时，∠1∠2；∠1＞40°时，∠1＞∠2． 归纳：对于任意的∠α和∠β，下列三种关系有且只有一种成立：∠α＜∠β，∠α＝∠β，∠α＞∠β． 师生活动：学生独立思考，举手回答，交流讨论，代表归纳. 设计意图：从射线OC旋转的过程中直观感受两个角的变化规律，它的本质是∠1和∠2的和是定值，∠1和∠2两个变量的满足特定的函数关系，渗透函数的思想．同时当射线OC是∠AOB角平分线时两个角正好是相等关系，也是大小变化时的分界，进一步理解角平分线的概念．最后归纳总结出任意两个角的三种关系，从交流讨论中，学生积累经验． 三、应用举例 例3 尺规作图：如图，已知∠AOB，作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB. 操作：（2）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于点C，D． （2）作射线O′A′．以点O′为圆心，OC长为半径作弧PQ，交O′A′于点C′． （3）以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点D′． （4）过点O′，D′作射线O′B′，∠A′O′B′即为所求． 师生活动：学生独立思考，师生共同操作，归纳补充. 设计意图：通过活动2的知识迁移，经历观察、探索、交流过程，引导学生归纳“用直尺和圆规作一个角等于已知角”的操作步骤．阅读操作步骤，学生能画出相应图形．探索作法的过程，没有采用灌输的模式，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理．《标准（2022年版）》强调了学生的尺规作图能力，这一变化顺应学生的认知发展，因为我们的几何教学通常是经历“直观感知—操作证实—辨析认证—度量计算”过程，以往的几何教学侧重于辨析论证，并不重视感知和操作证实，所以尺规作图对于学生经历动手操作具有不可替代的直观性作用． 例4. 如图，∠AOD＝80°，OC是∠AOD内的一条射线，OB是∠AOC的平分线，∠AOB＝30°．求∠AOC和∠COD的度数. 解：因为OB是∠AOC的平分线，∠AOB＝30°， 所以∠AOC＝2∠AOB＝2×30°＝60°. 又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，∠AOD＝80°， 所以∠COD＝80°－60°＝20°. 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生共同完成. 设计意图：本题是计算题，在求角的度数的教学中，不仅要引导学生求得正确的结果，而且应要求学生能正确地表述求解的过程，如“因为OB是∠AOC的平分线，所以∠AOC＝2∠AOB等．通过例题，由易到难，由浅入深地逐步发展学生的演绎推理能力． 四、课堂练习 2.下列说法中正确的有（　　） ①过两点有且只有一条直线； ②连接两点的线段叫两点的距离； ③两点之间线段最短； ④若AB＝BC，则点B是AC的中点； ⑤把一个角分成两个角的射线叫角的平分线； ⑥直线l经过点A，那么点A在直线l上． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.如图所示，已知点O是直线CD上的一点，∠AOC＝30°，OB平分∠AOD，则∠BOD的度数是（　） A．75° B．65° C．55° D．45° 3.如图，O是直线AB上一点，过O作任意射线OM，OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，则∠COD的度数是（　　） A．80° B．90° C．200° D．不能确定 4.如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝130°． （1）求∠COE的度数是多少？ （2）如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数． 5.如图，若∠AOB＝x°，OC是∠AOB的平分线，OC2是∠AOC的平分线，OC2是∠AOC2的平分线…OCn是∠AOCn－2的平分线，则2023∠AOC2023与2024∠AOC2024的大小关系是（　　） A．2023∠AOC2023＝2024∠AOC2024 B．2023∠AOC2023＜2024∠AOC2024 C．2023∠AOC2023＞2024∠AOC2024 D．无法确定 答：1.过两点有且只有一条直线，①正确， 连接两点的线段的长度叫两点的距离，②错误， 两点之间，线段最短，③正确， 当B在直线AC外时，AB＝BC，则点B不是AC的中点，④错误， 从角的顶点出发，把一个角分成两相等的角的射线叫角的平分线，⑤错误， 直线l经过点A，那么点A在直线l上，⑥正确， 即正确的有3个， 故选：B； 2.因为∠AOC＝30°， 所以∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°， 因为OB平分∠AOD， 所以∠BOD∠AOD＝75°． 故选：A； 3.因为OC平分∠AOM，OD平分∠BOM， 所以∠MOC∠AOM，∠MOD∠BOM， 所以∠COD＝∠MOC+∠MOD ∠AOM∠BOM （∠AOM+∠BOM） 180° ＝90°． 故选：B； 4.（2）因为OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线， 所以∠COD∠AOD，∠DOE∠BOD， 所以∠COE＝∠COD+∠DOE ∠AOD∠BOD （∠AOD+∠BOD） ∠AOB ＝65°； （2）因为OC是∠AOD的平分线，∠COD＝20°， 所以∠AOD＝2∠COD＝2×20°＝40°， 因为∠AOB＝130°， 所以∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝130°－40°＝90°， 因为OE是∠BOD的平分线， 所以∠BOE∠BOD90°＝45°； 5.由题知，因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠AOC∠AOB， 同理可得，∠AOC2∠AOC∠AOB， ∠AOC2∠AOB，… 所以∠AO∁n∠AOB， 当n＝2023时，∠AOC2023∠AOB， 当n＝2024时，∠AOC2024∠AOB， 而， 即2023∠AOC2023＞2024∠AOC2024． 故选：C． 师生活动：学生独立完成，教师批阅. 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用. 五、课堂小结 2.比较两个角的大小，你有哪些方法？ 2.如何用直尺和圆规作一个角等于已知角？在这个过程中，你是如何探索作法步骤的？ 3.如何用符号语言判断和表达角的平分线？ 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 六、课后作业 2. 完成课本上的相关练习题. 2. 完成同步练习相关练习.   六、教学反思 1.在情境创设中，教师要引导引导学生从“形”的角度思考比较两个角大小的方法：①用叠合法进行比较(类比线段叠合比较长短的方法);②比较图中AB与A'B'的长短，这也是在为用直尺和圆规作一个角等于已知角做铺垫. 2.在活动2：探究比较两个角大小的方法中，可以与线段长短的比较类比，并引导学生感受其特点.度量法(从数的角度比较)：比较角的大小，可以先分别度量出每个角的度数，再比较角度的大小(角的大小关系与它们度数的大小关系是一致的).叠合法(从形的角度比较)：把两个角的顶点及一条边重合，它们的另一条边位于相重合的边的同一侧，观察另一条边的位置.与用“叠合法”比较线段的长短一样，用“叠合法”比较角的大小是一种重要的思想方法，它是运用图形的运动、变化研究图形性质的基础，在后续的教学中有较多的应用.教学时，用“叠合法”比较角的大小， 要引导学生用规范语句准确表述. 3.在例3中，已有活动2中，用叠合法比较两个角大小的过程，相当于作一个角等于已知角，让学生感受到用尺规作等角的必要性.其次，在教学时，需要引导学生直观地感受到，A、B之间的距离确定时，∠AOB的大小也随之确定，通过这样的思路尝试用直尺和圆规作一个角等于已知角. 4.在活动2中，通过折纸活动引入角平分线的概念时要引导学生通过操作、观察，用自己的语言加以表述，不要用教师的演示代替学生的实践. 5.角的平分线是“图形与几何”学习中经常要用到的一个重要概念.教学时，要注意如下几个方面： (2)与线段中点的定义相类似， 角平分线的定义可以进行两方面的判断和表述. (2)要将图形表示、符号表示与语言表达结合起来. 学科网（北京）股份有限公司 $$