6.3.2 垂直 教案-2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学 上册

第六章 平面图形的初步认识 6.3《相交线》 第2课时 垂直   一、教学目标 1. 通过操作进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，会用符号表示两条直线互相垂直； 2. 会用三角板、量角器、方格纸画垂线，并在操作活动中探索垂线的基本性质，发展几何直观和推理能力.学情分析   二、学习目标 1. 掌握垂直的有关概念及垂线的基本事实，会过一点画已知直线的垂线； 2. 了解几何语言的三种表达形式：文字语言、图形语言、符号语言，并能相互转化.   三、教学重点 会使用工具按要求画垂线，探索、了解垂线的性质.   四、教学难点 画垂线的方法及垂线性质的应用.   五、教学过程 一、情境导入 1.图中这些的“线”位置有什么共同之处？ 2.教室内哪些线互相垂直？ 在实际生活中，有很多两条线垂直的实例，你能举例说明吗？ 答：1.学生观察发现，这些图片中，都含有两条直线互相垂直． 2.开放式．只要言之有理，都要鼓励． 师生活动：先教师展示，学生倾听，然后师生互动交流． 设计意图：让学生从熟悉的生活背景出发，体会到数学就在身边，激发学习兴趣. 2、 新知探究 如图，转动细木条b，∠1和∠2的大小关系如何变化? 答： 在图中，当∠1=∠2时， 因为∠1+∠2=180°，所以∠1=∠2=90°. 师生活动：老师演示：绕着交点旋转，直至互相垂直（垂直是相交的特殊情形），学生汇报． 设计意图：用相交线旋转过程中产生“垂直”的方式，让学生了解到垂直是相交的一种特殊的情形，培养“从一般到特殊”的认识规律． 1.垂直的概念 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线(perpendicular line)，它们的交点叫作垂足(foot of a perpendicular). 特别说明： 1.是直线而不是射线或线段. 2.只要有一个角是直角. 3.两直线相互之间的位置关系 当两条直线互相垂直时，通常在图上一个交角处标上“┒”，表明该角为直角. 师生活动：教师结合图形解释定义，学生结合图形理解定义． 设计意图：提高学生的理解能力、归纳概括能力. 2.垂直的表示方法 记作：AB⊥CD 记作：a⊥b 读作：AB垂直于CD. 读作：a垂直于b. 定义具有双重性 几何描述： (1)已知两条直线互相垂直你能得到什么结论？ 因为AB⊥CD，所以∠COB=90°. (2)如何判断两条直线互相垂直？ 因为∠COB=90°，所以AB⊥CD. 师生活动：老师引导学生回答并板演． 设计意图：提高学生的理解能力、归纳能力及几何语言表达能力，建立“符号”感. 3.垂直的性质 尝试：问题1.能画已知直线AB的垂线多少条？ 提问：这时能画出多少条满足条件的垂线？ 小结：平面内有 无数 条直线与已知直线垂直！ 师生活动：学生回忆垂线的画法并操作，老师巡视后纠正并板演（注意：垂线是直线，直角符号不能漏）． 设计意图：围绕画已知直线的垂线，在学生的思考与活动中不断生成新问题，使学生在思维的跌宕起伏中获得体验、激发思考、理解知识、发展思维和能力． 问题2.已知直线a与直线a外的一点P，根据下图提供的方法，过点P画直线a的垂线，这样的垂线能画几条? 过一点作已知直线的垂线步骤. 答：这样的垂线只能画1条. 问题3.如图，过直线a上的一点Q，画直线a的垂线，这样的垂线能画几条? 答：这样的垂线只能画1条. 思考：通过前面的画图，你有什么发现？ 通过实践，人们总结出如下基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： （1）“在同一平面内”是前提；“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 师生活动：互相交流且简单描述一下，上述结论用三角尺的作法过程和“有且只有”的含义． 设计意图：体会分类思想． 问题4.过一点作线段、射线的垂线应怎么画呢？ 答： 注意:①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线； ②画线段(或射线)的垂线时，有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线. 师生活动：学生完成，教师巡视，课件动画展示． 设计意图：培养转化能力，提高应用能力． 活动：1.在图中，用三角板检验图中AB与BC是否互相垂直. 经检验AB⟂ BC 3. 观察上图中，你能发现在方格纸中画垂线的方法吗?运用你发现的方法，在图中过点Q画PQ的垂线，并用三角板检验. ①利用方格纸中的直线画垂线； ②利用格点(长方形的对角线)画垂线. 师生活动：小组形式汇报． 设计意图：培养学生的识图能力，能够在网格图中把已知线段看成某长方形的对角线，利用旋转90°解决问题. 三、应用举例： 例1 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，在图中，分别过点A、D画BC的垂线，垂足为E、F. 答： 师生活动：学生独立完成，学生代表板书． 设计意图：通过练习巩固画线段的垂线的关键步骤. 例2 如图，O是直线AB上的一点，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC，OD和OE有怎样的位置关系?请说明理由. 答：解：OD⟂OE，理由如下: 因为OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC， 所以∠1=∠2，∠3=∠4. 所以∠1+∠4=∠2+∠3. 又因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 所以∠2+∠3=90°，即∠DOE=90°， 所以OD⟂OE. 讨论：在例2中，当OC⟂AB时，可以得到哪些结论? 答：分析： ①位置关系：仍有OD⟂OE ②角的大小：∠1=∠2=∠3=∠4=45°， ∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°， ∠AOE=∠BOD=135°， ③对称性：整个图形是轴对称图形. 师生活动：师生互动，交流讨论。 设计意图：引导学生用数量关系去刻画位置关系，让学生借助图形分析问题，判断出正确的结果，形成解决问题的思路，使学生能正确地表述推理的过程. 四、课堂练习 1.如图，已知直线AB、CD和AB上一点M，过点M分别画直线AB、CD的垂线 . 2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE=55°，求∠BOD的度数. 3.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC等于多少度？为什么？ 答：1. 2.解：因为OE⟂AB， 所以∠BOE=90°. 因为∠BOE+∠COE+∠AOC=180°， 所以∠AOC=180°−∠BOE−∠COE =180°−90°−55° =35°. 因为∠AOC与∠BOD是对顶角 所以∠BOD =∠AOC=35°. 答：∠BOD 的度数是35°. 3.答：∠AOB+∠DOC=180° 理由：因为∠AOC=∠BOD=90° ∠AOB=∠AOC+∠BOC， ∠BOD=∠BOC+∠DOC 所以∠AOB+∠DOC =∠AOC+∠BOC+∠DOC =∠AOC+∠BOD =90°+90° =180°. 师生活动：学生独立完成，教师批阅. 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用. 五、课堂小结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 六、课后作业 1. 完成课本上的相关练习题.   六、教学反思 1.通过动手操作，理解垂直的定义，垂直的画法，以及相关的性质. 2.在教学过程中，让学生经历从具体到抽象的归纳、概括过程而理解概念的本质，并建立相关概念的联系. 3.鼓励提问：鼓励学生提出生活中的数学问题，培养他们的观察力和思考力，同时也能激发他们解决问题的欲望. 4.联系生活实际：在解决问题时，引导学生将所学知识与生活实际相联系，帮助他们建立数学知识与实际问题之间的桥梁. 此外，学生对数学学习的兴趣、自信心以及合作交流的意识与能力也都得到了明显的增强.活跃课堂学习气氛.垂直这一基础又重要的数学模型在今后的学习中有着广泛的应用，通过本节课的学习，学生从感性认识逐渐上升到理性认识的阶段. 学科网（北京）股份有限公司 $$