精品解析：广东省江门市鹤山市第一中学2024-2025学年高一上学期第二阶段考试（12月）数学试题

鹤山一中2004-2005学年度第一学期第二阶段考试 高一数学试卷 2024.12 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 2. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列图象错误的是（ ） A. 的图象： B. 的图象： C. 的图象： D. 的图象： 8. 已知 ，且 ，给出下列结论： ①； ② ； ③； ④ . 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题，都有，则命题的否定:，使得 C. 已知集合满足，则所有满足条件的集合有4个 D. 设A，B是两个数集，若，则，使得 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. D. 若是第四象限角，则点在第四象限 11. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间上的值域为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则______. 13. 已知正数满足，则的最小值为________. 14. 已知扇形的圆心角为3，周长为30，则扇形的面积为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2） 16. 已知函数 （1）化简； （2）若，求､的值； （3）若，求的值. 17. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性； （3）解关于的不等式. 19. 如果对于函数的定义域内任意的，，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”． （1）判断函数，是否是“平缓函数”； （2）若函数是闭区间上的“平缓函数”，且，证明：对于任意的，，都有成立． （注：可参考绝对值的基本性质①，②） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2004-2005学年度第一学期第二阶段考试 高一数学试卷 2024.12 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定阴影部分为，再结合交集补集运算即可求解. 【详解】阴影部分为：, ， 所以. 故选：B 2. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可． 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递增， 又，， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为． 故选：B . 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为函数在上为减函数，所以，即， 所以. 故选：D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数及二次函数单调性求出复合函数的单调减区间. 【详解】由，得，解得， 即函数的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减，而函数是增函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 5. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域对称求出，再根据单调性和奇偶性可求不等式的解. 【详解】因为为偶函数，故即， 而在上单调递增且为偶函数，故在上为减函数， 而即为， 故，故或， 故选：C. 6. 已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围. 【详解】因为函数在上是单调增函数，且. 所以 解得 故选：D. 7. 已知函数，则下列图象错误的是（ ） A. 的图象： B. 的图象： C. 的图象： D. 的图象： 【答案】C 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再结合选项的函数和函数的图象变换分析判断即可 【详解】函数如图所示 所以A正确， 对于B，的图象是由的图象向右平移一个单位得到的，所以B正确， 对于C，当时，的图象与的图象相同，且的图象关于轴对称，所以C错误， 对于D，的图象是由的图象关于轴对称得到的，所以D正确， 故选：C 8. 已知 ，且 ，给出下列结论： ①； ② ； ③； ④ . 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由 ，且，将等式两边平方可得，可判断，即可判断①②③；继而利用求得，判断④，可得答案. 【详解】∵, ， 等式两边平方得 ， 解得，故②正确； ∵，， ∴，,故①正确，③错误； 由可知， ， 且 ， 解得，故④正确， 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题，都有，则命题的否定:，使得 C. 已知集合满足，则所有满足条件的集合有4个 D. 设A，B是两个数集，若，则，使得 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由充分、必要条件的概念结合不等式的性质以及举反例可判断A选项； 对B，由全称量词命题的否定是存在量词命题可判断B选项； 对C，由集合间的关系可判断C选项； 对D，由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项. 【详解】对于A，当时，能推出，而由不能推出，如，而，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确; 对于B，命题，均有，则的否定:，使得，故B不正确; 对于C，由，得集合可以为，共3个，故C不正确; 对于D，A，B是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则存在，故D正确. 故选：AD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. D. 若是第四象限角，则点在第四象限 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD：根据角所在象限确定三角函数值的正负即可；对于B：求出角的范围后再判断；对于C：判断弧度制所在象限即可判断. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：若是第二象限角，则， 所以，即是第一或第三象限角，故B正确； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：若是第四象限角，则， 所以点在第三象限，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦型函数的相关性质逐项求解判断即可. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，故A对； 对于B选项，由得， 所以，函数的单调递增区间为，故B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，故C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间上的值域为，故D错. 故选：AC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及单调性列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意：. 此时为偶函数.所以为所求. 故答案为： 13. 已知正数满足，则的最小值为________. 【答案】20 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】由题意得，，当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：20. 14. 已知扇形的圆心角为3，周长为30，则扇形的面积为__________. 【答案】54 【解析】 【分析】根据给定条件，求出扇形所在圆半径，再利用扇形面积公式计算即得. 【详解】设扇形所在圆半径为，则扇形弧长，于是，解得， 所以扇形的面积. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算法则及对数恒等式计算可得； 【详解】解：（1） ； . 16. 已知函数 （1）化简； （2）若，求､的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） 当为第三象限角时，； 当为第四象限角时，. （3） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系即可得出答案； （3）由已知求出，结合的范围，由诱导公式即可求出的值. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为，所以为第三象限角或第四象限角. 当为第三象限角时，； 当为第四象限角时，. 【小问3详解】 因为，所以. 因为，所以. 故. 因此. 17. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）令，先求出方程的根，然后分、、三种情况讨论不等式解的情况即可； （2）先考虑是否符合题意，再考虑时，二次函数开口向下，与轴有一个或者没有交点，从而得到方程组，解方程组即可. 【详解】令，， 整理有，解得或， 当，即时，不等式的解集为或， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或. （2）当时，解得， 若，原式化为，满足题意，若，原式化为，不合题意； 当时，由题意得，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围为：. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 由（1）可知当时，， 当时， 任取，且， 且，则 于是，所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，解不等式组即可； （2）将a，b的值代入中，l利用奇偶性求对称区间的解析式，利用定义证明的单调性即可； （3）根据的单调性和，可得，解不等式即可. 【小问1详解】 由题可知，函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得， 经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则在上单调递增， 所以，则， 则由可得：， 解得：， ∴不等式的解集为． 19. 如果对于函数的定义域内任意的，，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”． （1）判断函数，是否是“平缓函数”； （2）若函数是闭区间上的“平缓函数”，且，证明：对于任意的，，都有成立． （注：可参考绝对值的基本性质①，②） 【答案】（1）是；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）任意的，，计算，得到答案. （2）分为和两种情况，当时时， 得到答案. 【详解】（1）对于任意的，，有，即， 从而， 所以函数，是“平缓函数”． （2）当时，由已知，得； 当时，因为，，不妨设，所以． 因为， 所以 ． 所以对任意的，，都有成立． 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $