2025年四川省九年级中考数学第一轮复习讲练（37题） 第02讲 整式与因式分解（讲练）

板块一 数与式 第02讲 整式与因式分解 中考考情概览：把握命题方向，总结命题角度。 地区真题剖析：精选地区真题，分类设置，清晰展现中考中的考查形式。 地区题型特训：选用近三年的中考真题，巩固考点，复习效果。 命题点聚焦 命题点 考查频率 整式的相关概念 ⭐ 整式的运算（化简） ⭐⭐⭐⭐⭐ 因式分解 ⭐⭐⭐⭐ 整式图像规律探索 ⭐⭐ 知识清单 知识点一 代数式 概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。 代数式的分类： 列代数式方法 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲。 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 知识点二 单项式 单项式的概念：由数字和字母相乘组成的式子叫做单项式。单独的一个数或字母也是单项式。 单项式的系数的概念：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数； 单项式的次数的概念：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。 知识点三 多项式 多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。 多项式的项数的概念：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项 多项式的次数的概念：多项式里中次数最高项的次数叫多项式的次数； 知识点四 整式的加减 同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。 【注意】 1）判断同类项时，几个单项式中所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可。 2）同类项与系数、字母的排列顺序无关。 合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。 去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。 整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项. 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。 知识点三 幂的运算 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数） 逆用公式：（m,n都是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数). 2）逆用公式： 【扩展】 (m，n，p均为正整数) 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。 逆用公式： 【扩展】 (n为正整数) 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。 （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n） 零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。a0＝1（a≠0） 负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数， 即（a≠0，n是正整数）. 知识点四 整式乘除 单项式×单项式 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式×多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 多项式×多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 知识点五 乘法公式 1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。) 2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 单项式÷单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式÷单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【解题思路】 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。 整式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。 知识点六 因式分解（难点） 概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 【注意事项】 1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2）因式分解必须是恒等变形； 3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 因式分解的常用方法： 方法一：提公因式法 1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。 4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 方法二：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 真题解剖 命题点1 整式的相关概念 1．（2022•四川攀枝花中考真题） 下列各式不是单项式的为（ ） A. 3 B. a C. D. 2．（2024•四川广元中考真题） 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 命题点2 整式的运算（化简） 3．（2022•四川成都中考真题） 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4．（2022•四川广元中考真题） 下列运算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 3y•2x2y＝6x2y2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 5．（2023•四川内江中考真题） 已知a、b是方程的两根，则___________． 6．（2022•四川雅安中考真题） 已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 7．（2024•四川成都中考真题） 若，为实数，且，则的值为______． 8．（2024•四川甘孜阿坝中考真题） 已知，那么的值是__________． 9．（2022•四川南充中考真题） 先化简，再求值：，其中． 10．（2023•四川遂宁中考真题） 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 命题点3 因式分解 11．（2022•四川凉山中考真题） 分解因式：=______． 12．（2023•四川眉山中考真题）分解因式： ____________． 13．（2022•四川内江中考真题） 分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____． 命题点4 整式图像规律探索 14．（2024•四川内江中考真题） 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 15．（2023•四川达州中考真题） 如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ） A. B. C. D. 16．（2024•四川眉山中考真题） 已知（且），，则的值为______． 17．（2024•四川广安中考真题） 已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______． 18．（2023•四川广元中考真题） 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 _____． 中考真题练 19．（2024•四川广安中考真题） 下列对代数式的意义表述正确的是（ ） A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商 20．（2024•四川内江中考真题） 下列单项式中，的同类项是（ ） A. B. C. D. 21．（2023•四川攀枝花中考真题） 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ① ② ③ ④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22．（2022•四川遂宁中考真题） 已知m为方程的根，那么的值为（ ） A. B. 0 C. 2022 D. 4044 23．（2024•四川德阳中考真题） 将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A. B. C. D. 24．（2023•四川内江中考真题） 对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A. 199 B. 200 C. 201 D. 202 25．（2024•四川雅安中考真题） 如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示______． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 26．（2022•四川泸州中考真题） 若，则_________． 27．（2022•四川乐山中考真题） 已知，则______． 28．（2023•四川广安中考真题） 定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________． 29．（2023•四川宜宾中考真题）分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 30．（2024•四川广元中考真题） 分解因式：___________________________________． 31．（2024•四川凉山中考真题） 已知，且，则______． 32．（2024•四川德阳中考真题） 数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是______（填上一个数字即可）． 33．（2023•四川成都中考真题） 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________． 34．（2023•四川广安中考真题） 在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为___________． 35．（2023•四川凉山中考真题） 先化简，再求值：，其中，． 36．（2024•四川南充中考真题） 先化简，再求值：，其中． 37．（2024•四川凉山中考真题） 阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 板块一 数与式 第02讲 整式与因式分解 中考考情概览：把握命题方向，总结命题角度。 地区真题剖析：精选地区真题，分类设置，清晰展现中考中的考查形式。 地区题型特训：选用近三年的中考真题，巩固考点，复习效果。 命题点聚焦 命题点 考查频率 整式的相关概念 ⭐ 整式的运算（化简） ⭐⭐⭐⭐⭐ 因式分解 ⭐⭐⭐⭐ 整式图像规律探索 ⭐⭐ 知识清单 知识点一 代数式 概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。 代数式的分类： 列代数式方法 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲。 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 知识点二 单项式 单项式的概念：由数字和字母相乘组成的式子叫做单项式。单独的一个数或字母也是单项式。 单项式的系数的概念：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数； 单项式的次数的概念：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。 知识点三 多项式 多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。 多项式的项数的概念：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项 多项式的次数的概念：多项式里中次数最高项的次数叫多项式的次数； 知识点四 整式的加减 同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。 【注意】 1）判断同类项时，几个单项式中所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可。 2）同类项与系数、字母的排列顺序无关。 合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。 去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。 整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项. 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。 知识点三 幂的运算 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数） 逆用公式：（m,n都是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数). 2）逆用公式： 【扩展】 (m，n，p均为正整数) 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。 逆用公式： 【扩展】 (n为正整数) 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。 （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n） 零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。a0＝1（a≠0） 负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数， 即（a≠0，n是正整数）. 知识点四 整式乘除 单项式×单项式 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式×多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 多项式×多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 知识点五 乘法公式 1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。) 2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 单项式÷单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式÷单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【解题思路】 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。 整式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。 知识点六 因式分解（难点） 概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 【注意事项】 1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2）因式分解必须是恒等变形； 3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 因式分解的常用方法： 方法一：提公因式法 1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。 4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 方法二：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 真题解剖 命题点1 整式的相关概念 1．（2022•四川攀枝花中考真题） 下列各式不是单项式的为（ ） A. 3 B. a C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意； B、a是单项式，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项符合题意； D、是单项式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024•四川广元中考真题） 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 命题点2 整式的运算（化简） 3．（2022•四川成都中考真题） 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意； B.，故该选项错误，不符合题意； C.，故该选项错误，不符合题意； D.，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（2022•四川广元中考真题） 下列运算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 3y•2x2y＝6x2y2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A、x2与x不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、（﹣3x）2=9x2原计算错误，该选项不符合题意； C、3y•2x2y=6x2y2正确，该选项符合题意； D、（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 5．（2023•四川内江中考真题） 已知a、b是方程的两根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 6．（2022•四川雅安中考真题） 已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即可． 【详解】解：把代入ax+by＝3可得： ， 2a+4b﹣5 ． 故答案为：1 7．（2024•四川成都中考真题） 若，为实数，且，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 8．（2024•四川甘孜阿坝中考真题） 已知，那么的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】把所求代数式进行适当变形，然后整体代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 9．（2022•四川南充中考真题） 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式= =； 当x=时， 原式= =3+1- =-． 10．（2023•四川遂宁中考真题） 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）10； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 命题点3 因式分解 11．（2022•四川凉山中考真题） 分解因式：=______． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 【解析】 【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1）， 故答案为a（b+1）（b﹣1）． 12．（2023•四川眉山中考真题）分解因式： ____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a后，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为： 13．（2022•四川内江中考真题） 分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____． 【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可． 【详解】解：a4﹣3a2﹣4 ＝（a2+1）（a2﹣4） ＝（a2+1）（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）． 命题点4 整式图像规律探索 14．（2024•四川内江中考真题） 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 15．（2023•四川达州中考真题） 如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，得到，，得出半径，再计算弧长即可． 【详解】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径， ，，，， ，，，， ， ，， 故的半径为， 的弧长． 故选A 16．（2024•四川眉山中考真题） 已知（且），，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ……， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 17．（2024•四川广安中考真题） 已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N， ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 18．（2023•四川广元中考真题） 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据前六行的规律写出第7，8行的规律进而即可求解． 【详解】解：根据规律可得第七行的规律为 第八行的规律为 ∴根据规律第八行从左到右第三个数为， 故答案为：． 中考真题练 19．（2024•四川广安中考真题） 下列对代数式的意义表述正确的是（ ） A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可． 【详解】解：代数式的意义可以是与x的积． 故选C． 20.（2024•四川内江中考真题） 下列单项式中，的同类项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 21．（2023•四川攀枝花中考真题） 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ① ② ③ ④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 22．（2022•四川遂宁中考真题） 已知m为方程的根，那么的值为（ ） A. B. 0 C. 2022 D. 4044 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意有，即有，据此即可作答． 【详解】∵m为的根， ∴，且m≠0， ∴， 则有原式=， 故选：B． 23．（2024•四川德阳中考真题） 将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 24．（2023•四川内江中考真题） 对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A. 199 B. 200 C. 201 D. 202 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算，可以推出结果． 【详解】解： … ，，， 故选：C． 25．（2024•四川雅安中考真题） 如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示______． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， 故答案：； 26．（2022•四川泸州中考真题） 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27（2022•四川乐山中考真题） 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：， ， 即， ， ， 故答案为：． 28（2023•四川广安中考真题） 定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 29．（2023•四川宜宾中考真题）分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 【答案】x（x﹣3）2 【解析】 【详解】解：x3﹣6x2+9x =x（x2﹣6x+9） =x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 30．（2024•四川广元中考真题） 分解因式：___________________________________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用完全平方式展开，然后合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】． 故答案为：． 31．（2024•四川凉山中考真题） 已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 32．（2024•四川德阳中考真题） 数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是______（填上一个数字即可）． 【答案】1##8 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8． 【详解】解： 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入． 位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8． 故答案为：1（或8）． 33．（2023•四川成都中考真题） 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为 当，，则第2个智慧优数为 当，，则第3个智慧优数为， 当，，则第4个智慧优数为， 当，，则第5个智慧优数为 当，，则第6个智慧优数为 当，，则第7个智慧优数为 …… 时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个， 列表如下， 观察表格可知当时，时，智慧数为， 时，智慧数为， ，时，智慧数为， ，时，智慧数为， 第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第21个智慧优数，第22个智慧优数，第23个智慧优数为 故答案为：，． 34．（2023•四川广安中考真题） 在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，即可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点， ， ， 当时，，即， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即点的纵坐标为， 同理可得：点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 归纳类推得：点的纵坐标为（为正整数）， 则点的纵坐标为， 故答案为：． 35．（2023•四川凉山中考真题） 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 36．（2024•四川南充中考真题） 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 37．（2024•四川凉山中考真题） 阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36；120； （2）不能 （3）一共能摆放20排． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【小问1详解】 解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； 【小问2详解】 解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； 【小问3详解】 解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 学科网（北京）股份有限公司 $$