2025年四川省中考数学第一轮复习讲义 第03讲 分式

板块一 数与式 第03讲 分式 中考考情概览：把握命题方向，总结命题角度。 地区试题剖析：精选地区真题，分类设置，清晰展现中考中的考查形式。 地区题型精选：选用优秀试题，巩固考点，复习效果。 命题点聚焦 命题点 考查频率 题型 分式的概念及有无意义的条件 ⭐ 题型1 分式的概念 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式值为0 分式的性质 ⭐ 分式的运算与化简求值 ⭐⭐⭐⭐⭐ 题型01 分式的运算 题型02 判断分式运算的错误步骤 题型03 分式的化简求值 题型04 分式运算的应用 题型05 分式的规律探究 题型06 与分式运算有关的新定义问题 试题解剖 命题点1 分式的概念及有无意义的条件 知识点一：分式的概念 概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 分式有关的条件： 要求 表示 分式有意义 分母≠0 分式无意义 分母=0 分式值为0 分子为0且分母不为0 A=0且B≠0 题型1 分式的概念 1．在下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 题型2 分式有无意义的条件 方法技巧 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 1．（2022•四川凉山中考真题） 分式有意义的条件是（ ） A. x＝－3 B. x≠－3 C. x≠3 D. x≠0 2．当取何值时，分式有意义（ ） A. B. C. D. 3．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，则ab的值为 ． 4．已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 题型3 分式值为0 1． 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2．当 时，分式的值为零． 3．分式的值为0，则 ． 命题点2 分式的性质 知识点二：分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 4.分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 5.分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 针对练习 1．若把分式中的和都扩大到原来的倍，且，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 2．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 3．已知（x，y，z均不为零），则 ． 命题点3 分式的运算与化简求值 知识点三 分式的运算 分式的乘除 1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 式子表示为：（bd≠0） 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 式子表示为：（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数） 分式的加减法 1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为： 2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为： 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： 分式混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。 【注意】分式的运算结果要化为最简分式或整式。 整数指数幂 （） （） （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。 题型01 分式的运算 方法技巧 相关公式：1）2) 3） 4）5）（n为正整数，b≠0） 混合运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2022•四川眉山中考真题） 化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 2．（2024•四川自贡中考真题） 计算：________． 3．（2023•四川自贡中考真题） 化简_______． 4．（2023•四川泸州中考真题） 化简：． 5．（2024•四川甘孜阿坝中考真题） 化简：． 题型02 判断分式运算的错误步骤 方法技巧 常见错误类型： 1）错在运算顺序颠倒，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 3）错在符号变化，例如： ，错误原因：去括号时没有注意前面的符号. 1．（2024•四川乐山中考真题） 先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． （1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 2．某学生在化简时出现了错误，其解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该学生的解答过程是从第 　 　步开始出现错误的； （2）请你写出此题的正确解答过程． 3．（2024·江苏连云港中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 题型03 分式的化简求值 方法技巧 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，． 2）若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. 3）若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 注意：分母不能为0哦！ 1．（2024•四川雅安中考真题）先化简，再求值：，其中． 2．（2023•四川广元中考真题） 先化简，再求值：，其中，． 3．（2022•四川凉山中考真题） 先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数． 4．（2023•四川广安中考真题） 先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 5．（2023•四川眉山中考真题） 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 6．（2022•四川雅安中考真题）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值． 7．（2023•四川攀枝花中考真题） 已知，求的值． 8．（2022•四川广元中考真题） 先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解． 题型04 分式运算的应用 1．打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 2．（2022•成都郫都区期中）（4分）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是 　 　． 3．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为 ． 题型05 分式的规律探究 1．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 2．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 3．对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 题型06 与分式运算有关的新定义问题 1．对于实数a、b，定义运算：①② 例如 ①依此定义方程的解为 ． 2．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 3．定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）； ①；②③④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________． (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 板块一 数与式 第03讲 分式 中考考情概览：把握命题方向，总结命题角度。 地区试题剖析：精选地区真题，分类设置，清晰展现中考中的考查形式。 地区题型精选：选用优秀试题，巩固考点，复习效果。 命题点聚焦 命题点 考查频率 题型 分式的概念及有无意义的条件 ⭐ 题型1 分式的概念 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式值为0 分式的性质 ⭐ 分式的运算与化简求值 ⭐⭐⭐⭐⭐ 题型01 分式的运算 题型02 判断分式运算的错误步骤 题型03 分式的化简求值 题型04 分式运算的应用 题型05 分式的规律探究 题型06 与分式运算有关的新定义问题 试题解剖 命题点1 分式的概念及有无意义的条件 知识点一：分式的概念 概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 分式有关的条件： 要求 表示 分式有意义 分母≠0 分式无意义 分母=0 分式值为0 分子为0且分母不为0 A=0且B≠0 题型1 分式的概念 1．在下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意知，，，是单项式，均为整式，故A、B、C不符合要求； 是分式，故D符合要求； 故选：D． 2．下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】A．是整式，不符合题意； B．是整式，不符合题意； C．是分式，符合题意； D．是整式，不符合题意； 故选：C． 3．下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】解：、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是分式，该选项符合题意； 、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是多项式，不是分式，该选项不合题意； 故选：． 题型2 分式有无意义的条件 方法技巧 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 1．（2022•四川凉山中考真题） 分式有意义的条件是（ ） A. x＝－3 B. x≠－3 C. x≠3 D. x≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：由分式的分母不能为0得：， 解得， 即分式有意义的条件是， 故选：B． 2．当取何值时，分式有意义（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式有意义时分母不能为0，由此可解． 【详解】解：分式有意义时，， 解得， 故选：D． 3．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，则ab的值为 ． 【答案】8 【解析】 【分析】由时，分式的值为0，可得，解得，由时，分式没有意义，可得，解得，然后代入求值即可． 解：∵时，分式的值为0， ∴，解得． ∵时，分式没有意义， ∴，解得． ∴． 4．已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为可得，求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 解：∵时，分式 无意义， ∴， ∴， ∵时，分式 的值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3 分式值为0 1． 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据题意得到并且，即可得到． 【详解】解：由题意得，并且， 解得， 解得， ∴． 故选：D 2．当 时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出的值． 解：由题意可得且， 解得． 故当时，分式的值为零． 故答案为：． 3．分式的值为0，则 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 命题点2 分式的性质 知识点二：分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 4.分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 5.分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 针对训练 1．若把分式中的和都扩大到原来的倍，且，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把分式中的换成，换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 解：∵分式中的和都扩大到原来的倍， ∴， 即分式的值缩小到原来的， 故选：C． 2．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质即可求解． 解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 3．已知（x，y，z均不为零），则 ． 【答案】/ 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据（x，y，z均不为零），可设，则，，将其代入所求分式计算即可． 解：（x，y，z均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：． 命题点3 分式的运算与化简求值 知识点三 分式的运算 分式的乘除 1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 式子表示为：（bd≠0） 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 式子表示为：（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数） 分式的加减法 1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为： 2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为： 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： 分式混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。 【注意】分式的运算结果要化为最简分式或整式。 整数指数幂 （） （） （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。 题型01 分式的运算 方法技巧 相关公式：1）2) 3） 4）5）（n为正整数，b≠0） 混合运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2022•四川眉山中考真题） 化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B 2．（2024•四川自贡中考真题） 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式同分母的减法运算，分母不变，分子直接相减，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：1． 3．（2023•四川自贡中考真题） 化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】将分子用平方差公式展开再化简即可． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 4．（2023•四川泸州中考真题） 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 5．（2024•四川甘孜阿坝中考真题） 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解． 【详解】解： ． 题型02 判断分式运算的错误步骤 方法技巧 常见错误类型： 1）错在运算顺序颠倒，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 3）错在符号变化，例如： ，错误原因：去括号时没有注意前面的符号. 1．（2024•四川乐山中考真题） 先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． （1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【答案】（1）③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底， 应为：； 【小问2详解】 解： 当时，原式 2．某学生在化简时出现了错误，其解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该学生的解答过程是从第 　 　步开始出现错误的； （2）请你写出此题的正确解答过程． 【答案】（1）二，（2）见解析 【解析】 解：（1）该生的解答过程是从第二步开始出现错误的， 答案：二； （2）正确解答过程如下： • • ． 3．（2024·江苏连云港中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键． 【详解】解：从第②步开始出现错误． 正确的解题过程为： 原式 ． 题型03 分式的化简求值 方法技巧 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，． 2）若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. 3）若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 注意：分母不能为0哦！ 1．（2024•四川雅安中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算分式的减法，再计算分式的除法进行化简，最后代入求出答案即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 2．（2023•四川广元中考真题） 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 3．（2022•四川凉山中考真题） 先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数． 【答案】，当时，式子的值为；当时，式子的值为． 【解析】 【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ， ， 又为满足的整数， 或， 当时，原式， 当时，原式， 综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为． 4．（2023•四川广安中考真题） 先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 【答案】，选择，式子的值为（或选择，式子的值为1） 【解析】 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ，， ，， ，且为整数， 选择代入得：原式， 选择代入得：原式． 5．（2023•四川眉山中考真题） 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴把代入得：原式． 6．（2022•四川雅安中考真题）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值． 【答案】 当时，分式的值为1． 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的加法运算，同步把除法转化为乘法运算，再约分可得化简后的结果，再结合分式有意义的条件可得 从而可得分式的值． 【详解】解（1+）÷ 且 当时，原式 7．（2023•四川攀枝花中考真题） 已知，求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】由可知，然后对分式进行化简，进而问题可求解． 【详解】解：由可知， ∴ ． 8．（2022•四川广元中考真题） 先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解． 【答案】，当x=2时，原分式的值为 【解析】 【分析】由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可． 【详解】解：原式=； 由可得该不等式组的解集为：， ∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2， 当x=-1，0，1时，分式无意义， ∴x=2， ∴把x=2代入得：原式=． 题型04 分式运算的应用 1．打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据小丽第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，列出代数式即可． 解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：（分钟）； 故选B 2．（2022•成都郫都区期中）（4分）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是 　 　． 【答案】． 【解析】 【分析】先用含a的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解． 【解答】解：由题意得： “丰收1号”的单位面积产量为：， “丰收2号”的单位面积产量为：， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝， ＝ ＝， 即高的单位面积产量比低的单位面积产量多， 故答案为：． 3．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为 ． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴ 设，则， ∵这四个长方形的面积都是， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：4． 题型05 分式的规律探究 1．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 2．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据定义求出至，可知从开始，的值每6个一循环，结合，可知，找出规律是解题的关键． 解：由题意知：， ， ， ， ， ， ， …… 以此类推，可知从开始，的值每6个一循环， ， ， 故答案为：． 3．对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 题型06 与分式运算有关的新定义问题 1．对于实数a、b，定义运算：①② 例如 ①依此定义方程的解为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得：或， 当时，，不符合题意， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 2．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1012 【解析】 【分析】根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． 【详解】解：， ，（不为0） ， ∴ 故答案为：1012． 3．定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）； ①；②③④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________． (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”， （1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断； （2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式； （3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值； 解决本题的关键是理解定义的内容并能运用． 【详解】（1）①，是和谐分式；②是整式，③，是和谐分式， ④，是和谐分式． 故答案为：①③④； （2） ， 故答案为：，； （3） ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数， ∴当时，分式运算的结果是整数． 学科网（北京）股份有限公司 $$