精品解析：广东省揭阳市惠来县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中质量监测九年级数学 说明：1. 全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、学校、班 级、姓名、考场号、考场座号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5. 考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡按时交回． 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 5. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A. 14 B. C. 15 D. 8. 中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（ ） A. B. C. D. 9. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D. 从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 10. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则____． 12. 某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为____（精确到）． 投篮次数 投中次数 13. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________． 14. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 15. 如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为____________． 三、解答题（一）（本大题3小题，共24分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若方程有两个实数根，且，求m的值． 18. 如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． （1）求的值； （2）若，求的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，共28分） 19. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 （1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 20. 如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？ 五、解答题（三）（本大题2小题，共23分） 22. 如图1，在矩形中，，M，N，P，Q分别从A，B，C，D出发，沿方向在矩形的边上同时运动，运动速度分别是，，当其中一个点到达所在运动边的另一个端点时，四个点同时停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，点M，Q重合； （2）当以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值或范围； （3）如题图2，连接，交于点E，交于点F，当t为何值时，． 23. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明____________，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系_____________； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中质量监测九年级数学 说明：1. 全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、学校、班 级、姓名、考场号、考场座号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5. 考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡按时交回． 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解决问题的关键．根据两内项之积等于两外项之积，逐一验证各选项是否与原等式一致即可． 【详解】A、 由得，即，与原式不符，错误； B、 由得，即，与原式完全一致，正确； C、 由得，与原式矛盾，错误； D、 由得，即，同样与原式不符，错误． 故选：B． 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入中即可解答，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入得， ∴， 故选：D． 3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况， ∴两次都摸到白球的概率是：． 故答案为：C． 【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键． 4. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 5. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 6. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，，， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根， ∴直角三角形的两条直角边的长分别为和， ∴此直角三角形的面积为， 故选：． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A. 14 B. C. 15 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，得出菱形的面积54，勾股定理算出，最后结合等面积法列式计算，即可作答．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 在中， ∵ ， ∴， 故选：D． 8. 中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每年盈利的年增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每年盈利的年增长率为， 由题意得：， 故选：． 9. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D. 从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值在的即符合题意； 【详解】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 10. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例的性质可设其比例值为k，用k表示出未知字母的值，代入所求代数式化简即可． 【详解】解：设， 则， ∴， 故答案为：． 12. 某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为____（精确到）． 投篮次数 投中次数 【答案】 【解析】 【分析】根据大量反复试验下投篮的投中率估计投中的概率即可． 【详解】根据表格发现，随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在附近， ∴投中的概率约为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量反复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 13. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答：①当k＝0时得x＝；②当k≠0时根据Δ≥0且k≠0，求得k的取值范围． 【详解】解：①当k＝0时，−3x+1＝0，解得x＝； ②当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴Δ＝（−3）2−4×k×1≥0，解得； 由①②得，k的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，能够分k＝0和k≠0两种情况进行讨论是解决问题的关键． 14. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 15. 如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设交于E，连接，证明得到，，解得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：设交于E，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，共24分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握一元二次方程的不同解法，正确计算； （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， ∵ ∴ 无论m取任何实数，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系得， ∵， ， 解得， 即的值为． 18. 如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，共28分） 19. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 （1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1）0.251，0.25 （2）3 （3） 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）设袋子中白球的个数为，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案； （3）先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：表中数据：， 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； 【小问2详解】 解：设袋子中白球的个数为， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 估算袋中白球的个数为3； 【小问3详解】 解：画树状图得： 共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 20. 如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再证明，得，则，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后由全等三角形的性质得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？ 【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个售价应定为50元 （3）当售价为60元时，经销商能获得最大利润，最大利润为9000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份及12月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． （3）设利润为w，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔每个售价为元， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 因要尽可能让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 【小问3详解】 设该品牌头盔每个售价为y元，月利润为w元， 则 ， ∴当售价为60元时，最大利润为9000元． 五、解答题（三）（本大题2小题，共23分） 22. 如图1，在矩形中，，M，N，P，Q分别从A，B，C，D出发，沿方向在矩形的边上同时运动，运动速度分别是，，当其中一个点到达所在运动边的另一个端点时，四个点同时停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，点M，Q重合； （2）当以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值或范围； （3）如题图2，连接，交于点E，交于点F，当t为何值时，． 【答案】（1） （2）且； （3） 【解析】 【分析】（1），两点重合，即，联立方程解答即可； （2）分别表示出，利用平行四边形的性质即可求解； （3）根据（2）的结论，以及矩形的性质证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点M，Q在上相向运动， ∴M，Q重合即． 由题意得 解得，．（不合题意，舍去） 当时，M，Q重合； 【小问2详解】 解：∵当点到达A点时，， 解得：或（舍去）； ∴ ①当相遇前，依题意当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， ， 即恒成立， ②当相遇后，即 此时恒成立， ∴且； 【小问3详解】 解：当时，由（2）得． ∴， ∴，， ∴，， 即，． ∴ 由，得，．（不合题意，舍去） 当时， 同理可得（不合题意，舍去），．（不合题意，舍去）． 综上，当时， 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并分类讨论是解题的关键． 23. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明____________，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系_____________； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 【答案】（1），，； （2），理由如下； 如图2，取的中点T，连接， ∵四边形为的菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边 三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，同理①，求解作答即可． 【详解】（1）解：，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）略 （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B，与线段交于点F时，如图，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； 当点P靠近点B，与延长线交于点F时， 同理：； ②当点P靠近点D时，与线段交于点F时，如图， 同理①，可得，， ∵， ∴； 当点P靠近点D，与延长线交于点F时， 同理：； 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $