精品解析：内蒙古科左中旗民族职专·实验高级中学2025届高三上学期第三次月考数学试题

科左中旗民族职专·实验高中2024-2025学年度上学期 高三数学第三次月考考试试题 命题人：石婷婷 审题人：张立国 卷面分值：150分    考试时间：120分钟  一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，，所以. 故选：A. 2. 函数，且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，可排除A、B、C；当时，结合函数性质可得D选项符合要求. 【详解】当时，，故A、B、C错误； 当时，若，则， 且上单调递增，D选项不符合； 当时，在上单调递减， 若，则，D选项符合； 故函数，且的图象可能是D. 故选：D. 3. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可得到结果. 【详解】由得，， 故. 故选：A. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数公式计算即可得. 【详解】，则，解得. 故选：D. 5. 函数的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，再结合的图象性质可得结果. 【详解】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误 故选：A. 6. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可. 【详解】由题意可得： =. 故选：A. 7. 若，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C，从而得解. 【详解】因为，且， 对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，取，则，故D错误. 故选：C. 8. 下列比大小正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数根据函数单调性判断A,化简函数构造函数后应用函数单调性判断B,应用对数运算化简判断C,计算判断D. 【详解】对于A:设, 当在上单调递增， 所以,所以,A错误； 对于B:设， 当在上单调递增，当在上单调递减, 所以 , 所以, 当取所以,B选项错误； 对于C:因为，C错误； 对于D:因为,D选项正确. 故选：D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，不分选对得3分，选错或不选的0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 已知关于的不等式的解集为，则 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：可知：的两根为，且，利用韦达定理分析判断；对于C：换元，结合对勾函数单调性分析判断；对于D：根据一元二次方程结合充分、必要条件分析判断. 【详解】对于选项A：例如，但， 可知命题“，”是假命题，故A错误； 对于选项B：由题意可知：的两根为，且， 则，可得，所以，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为在内单调递增，且当时，， 所以函数的最小值为，故C错误； 对于选项D：若，则， 可知方程有2个不相等的实根，且， 所以方程有一正根和一负根，即充分性成立； 若方程有一正根和一负根，设为，则，即必要性成立； 综上所述：“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，故D正确； 故选：BD. 10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上的值域为，则的取值范围是 D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到范围的判断. 【详解】对于A，当时，， 又在上单调递增，所以，可得，故A正确； 对于B，当时，，若在上恰有3个零点， 则，所以，故B错误； 对于C，由题意得，即，故C正确； 对于D，由题意得，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由偶函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据，结合倍角公式可得选项C正确；当时，函数可化为，根据正弦型函数的性质可得选项D错误. 【详解】因为定义域为，，所以，为偶函数，选项A正确． 因为， 的最小正周期不为选项，B错误． ，选项C正确． ，，， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减，选项D错误． 故选：AC. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则在处切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，再根据导数的几何意义求出以及，最后利用点斜式求出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 当时，，， 所以在处切线方程的斜率，即切线方程为. 故答案为：. 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因. 故答案为： 14. 已知，满足，，则______. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】将两式平方相加，可得，平方相减，可得与的关系，结合和差化积公式把化成，可得的值. 【详解】因为， 所以，， 相加得， 即，所以， 相减得 ， 又， ， 所以， 所以， 所以， 解得. 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知，求值的问题，通常对已知的两式有如下处理方式： （1）两式平方相加，可得的值. （2）两式相乘，利用和差化积公式，结合（1）中的值，可求的值. （3）两式平方相减，结合和差化积公式，结合（1）中的值，可求的值. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合 求： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据集合的交集，并集，补集的定义，计算即可. 【小问1详解】 由题意， 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 【小问3详解】 因为，所以. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）讨论方程（）解的个数. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数的导函数与函数的单调性的关系可得函数单调区间； （2）由（1）得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值和极小值，由此讨论出在对应取值范围内方程解的个数. 【小问1详解】 的定义域为， ， 由，可得，由，可得或， ∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 由（1）可知函数在，上单调递增；函数在上单调递减， ∴在时函数取极大值：；在时函数取极小值：， 又∵，，∴， 可得函数的大致图象， ∴当时，有0个解； 当或时，有1个解； 当时，有3个解； 当时，有2个解 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求，再由正弦定理求出即可； （2）由二倍角的正、余弦公式及两角和的正弦公式得解. 【小问1详解】 在中，由，得． 由已知及余弦定理，得，所以． 由正弦定理，得． 所以的值为，的值为． 【小问2详解】 由（1）及，得， 所以，． 所以． 18. 如图，在直三棱柱中,，是中点. （1）求证：平面 （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证平面，即证平面内直线，连接交于点，连接，求证即可； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面对应的法向量，再结合二面角的余弦公式求解即可 【详解】（1）连接交于点，连接，如图所示， 由于四边形为正方形， 所以为中点， 又为中点， 所以， 又平面,平面，以平面. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量为， 则有所以 令则，所以是平面的一个法向量， 又平面,则是平面的一个法向量， ，又所求角为锐二面角的余弦值 所以所求余弦值为 【点睛】本题考查线面平行的判定定理的使用，二面角的向量法的使用，属于中档题 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的单调区间； （3）求的最大值以及取得最大值时的集合. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3）最大值为， 【解析】 【分析】（1）先化简函数的解析式，再利用正弦函数周期公式即可求得的最小正周期； （2）利用代入法即可求得在上的单调性； （3）先求得的最大值，再利用整体代入法即可求得取最大值时的集合. 【小问1详解】 ， 则的最小正周期为. 【小问2详解】 由，可得，， 由，得，则在单调递增； 由，得，则在单调递减， 故在上的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由，得， 则当，时，取得最大值， 故的最大值为，取得最大值时的集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 科左中旗民族职专·实验高中2024-2025学年度上学期 高三数学第三次月考考试试题 命题人：石婷婷 审题人：张立国 卷面分值：150分    考试时间：120分钟  一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 2. 函数，且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 函数的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列比大小正确的是（ ） A. B. C D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，不分选对得3分，选错或不选的0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 已知关于的不等式的解集为，则 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上的值域为，则的取值范围是 D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则在处切线方程为__________. 13. 若，则______． 14. 已知，满足，，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合 求： （1） （2） （3） 16 已知函数. （1）求函数单调区间； （2）讨论方程（）解的个数. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，． （1）求和值； （2）求的值． 18. 如图，在直三棱柱中,，是中点. （1）求证：平面 （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的单调区间； （3）求最大值以及取得最大值时的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$