精品解析：甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

兰州一中2024-2025-1学期12月月考试题 高一数学 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定集合中的元素，然后由交集定义计算． 【详解】由题意，又， ∴， 故选：A． 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， ，则， 所以零点所在区间为. 故选：C. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别与1，2比较即可得出的大小关系. 【详解】，，， 所以 故选：A. 4. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性列式即可求解. 【详解】为幂函数， 所以，即， 即，解得或， 又在上是增函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以. 故选：. 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，得， 解得或， 因为，且， 所以，所以，所以. 故选：. 6. 已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果. 【详解】根据函数的图象可知， 再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB， 且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确； 故选：C 7. 若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性，结合对数函数的定义域列式求解即得. 【详解】设，则函数由函数和复合而成， 而是减函数，则在上是增函数， 从而，所以， 由当时，恒成立， 所以当时，，解得， 综上，的取值范围为. 故选：. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二､多选题：本大题共3个题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. 是第三象限角 C. 若角的终边过点，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用象限角的意义判断B；利用三角函数定义求解判断C；求出扇形面积判断D. 【详解】对于A，角为锐角，取，则是锐角，A错误； 对于B，，则是第二象限角，B错误； 对于C，角的终边过点，则，C正确； 对于D，由圆心角为的扇形的弧长为，得该扇形所在圆半径为3，则该扇形面积为，D正确. 故选：CD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调增区间是 B. 函数与是同一函数 C. 函数，则函数的值域是 D. 已知函数的定义域为，则定义域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数性质以及复合函数的同增异减性质可判断A，根据定义域及解析式可判断B，根据值域的定义通过两方面可验证C，根据抽象函数定义域可判断D. 【详解】对于A， ， 是减函数， 在 是减函数. 根据复合函数同增异减的性质，在 时是增函数，故A正确； 对于B，函数与定义域相同，解析式相同，从而与是同一函数，故B正确； 对于C，一方面有，. 另一方面，对任意，都有. 所以的值域是，故C正确； 对于D，函数的定义域为，则要使有定义，需要，即，所以的定义域为，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数，实数，满足，则（ ） A. B. ，，使得 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误. 【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对． 由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对． 故选：CD． 第II卷（非选择题） 三､非选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案写在答题卡上.） 12. 已知，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式即可求解. 【详解】由， ∴. 故答案为：. 13. 已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由恒过定点得出的值，再根据“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】令，得，所以， 所以，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 若函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值，又有最小值，列式求解即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，， 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的值域为， 当时，由，得， 当时，由，得， 画出图象，如图所示： 由在区间上既有最大值，又有最小值， 得，，则， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）化简：. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据实数指数幂的运算法则化简即可； （2）根据对数的运算法则和性质化简求值； （3）利用诱导公式化简求值即可. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 16. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为是方程的两个根， 所以， ， 又， . 17. 已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）1（2） 【解析】 【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可 【详解】（1）时， ， 令可得，即． 的零点是． （2）令，显然，则． 有两个零点，且为单调函数， 方程在上有两解， ，解得：． 的取值范围是． 【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题 18. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： （1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； （2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：） 【答案】（1） （2）2.81小时 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，分段解不等式，求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 当时，设，将代入得， 解得，此时； 当时，设且，将､代入，得， 解得，此时. 综上可得. 【小问2详解】 当时，令，解得； 当时，令，即 而，故 药效时间， 所以药效时间约为小时. 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明； （2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围； （3）先判断出在上单调递增且，令，把问题转化为问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 定义域为， 因为为偶函数，所以， 即， 即，解得：， 此时，定义域为R， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以； 【小问2详解】 当时，， 不等式，即， 可化为：， 即对任意恒成立， 记，只需， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，解得：， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 当时，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 则可化为， 又因为在上单调递增，所以， 换底得：， 即， 令，则， 问题转化为在上有两不同实数根， 即有两不同实数根， 令， 分别作出图象如图所示： 故在上有两根，只需，解得：， 即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2024-2025-1学期12月月考试题 高一数学 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3个题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. 是第三象限角 C. 若角的终边过点，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调增区间是 B. 函数与是同一函数 C. 函数，则函数的值域是 D. 已知函数的定义域为，则定义域为 11. 已知函数，实数，满足，则（ ） A. B. ，，使得 C. D. 第II卷（非选择题） 三､非选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案写在答题卡上.） 12. 已知，则的值为__________. 13. 已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________. 14. 若函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）化简：. 16. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若有两个零点，求实数的取值范围． 18. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： （1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； （2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：） 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $