2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——特殊三角形

2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——特殊三角形 学生版 知识清单梳理 知识点一　等腰三角形 1.等腰三角形：有 相等的三角形是等腰三角形. 2.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两条腰相等，两个底角 ，简称等边对等角. （2）等腰三角形 、 及 互相重合，简称“三线合一”. （3）等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴，对称轴是顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高线）所在的直线. 【温馨提示】当已知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角，分情况进行讨论；当已知等腰三角形的两边时，除了确定哪条边作为腰或底外，一定不要忽略三角形的三边关系. 3.等腰三角形的判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形. （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边. 知识点二　等边三角形 4.等边三角形：三条边均相等的三角形是等边三角形. 5.等边三角形的性质 （1）具有等腰三角形的所有性质. （2）等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且每个角都等于 . （3）等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴，对称轴是每一个角的平分线（或每一条边上的中线或每一条边上的高线）所在的直线. 6.等边三角形的判定 （1） 都相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形. 知识点三　直角三角形 7.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余. （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 . （3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的 . （4）直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 . （5）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则 . 8.直角三角形的判定 （1）有一个角是 的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形. （4）如果三角形一边上的 等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 知识点四　等腰直角三角形 9.等腰直角三角形的性质 （1）具有直角三角形的所有性质. （2）两直角边相等. （3）两锐角相等且都等于 . 10.等腰直角三角形的判定 （1）顶角为 的等腰三角形是等腰直角三角形. （2）有两个角为 的三角形是等腰直角三角形. （3）有一个角为45°的 三角形是等腰直角三角形. （4） 相等的直角三角形是等腰直角三角形. 高频考点过关 考点一　等腰三角形的判定与性质 1.已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　 　） A. B.2 C.3 D. 2.如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 . 考点二　等边三角形的判定与性质 3.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为 cm. 考点三　直角三角形的判定与性质 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（　 　） A.2个　　 B.3个 C.4个　　 D.5个 5.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　 　） A.4 B.8 C.12　 D.16 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，若AC＝2，则CD的长为（　 　） A.1 B. C.2－2　 D.2＋2 达标演练检测 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（　 　） A.70°　 B.100°　 C.110° D.140° 2.在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是（　 　） A.4 m　　 B.6 m C.10 m　 D.12 m 3.△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）2＋＋｜c－3｜＝0，则△ABC是（　 　） A.等腰三角形 B.直角三角形　　 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（　 　） A.　 B. C.　 D. 5.若三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，则这个三角形是 三角形. 6.如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，点E为AC的中点.若 AC＝8，CD＝5，则DE＝ . 7.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c.若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 . 8.如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：CD＝CE. 2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——特殊三角形 教师版 知识清单梳理 知识点一　等腰三角形 1.等腰三角形：有　两边　相等的三角形是等腰三角形. 2.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两条腰相等，两个底角　相等　，简称等边对等角. （2）等腰三角形　顶角的平分线　、　底边上的中线　及　底边上的高线　互相重合，简称“三线合一”. （3）等腰三角形是轴对称图形，有　1　条对称轴，对称轴是顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高线）所在的直线. 【温馨提示】当已知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角，分情况进行讨论；当已知等腰三角形的两边时，除了确定哪条边作为腰或底外，一定不要忽略三角形的三边关系. 3.等腰三角形的判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形. （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边. 知识点二　等边三角形 4.等边三角形：三条边均相等的三角形是等边三角形. 5.等边三角形的性质 （1）具有等腰三角形的所有性质. （2）等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且每个角都等于　60°　. （3）等边三角形是轴对称图形，有　3　条对称轴，对称轴是每一个角的平分线（或每一条边上的中线或每一条边上的高线）所在的直线. 6.等边三角形的判定 （1）　三条边　都相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角等于　60°　的等腰三角形是等边三角形. 知识点三　直角三角形 7.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余. （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的　一半　. （3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的　一半　. （4）直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于　30°　. （5）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则　a2＋b2＝c2　. 8.直角三角形的判定 （1）有一个角是　90°（或直角）　的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足　a2＋b2＝c2　，那么这个三角形是直角三角形. （4）如果三角形一边上的　中线　等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 知识点四　等腰直角三角形 9.等腰直角三角形的性质 （1）具有直角三角形的所有性质. （2）两直角边相等. （3）两锐角相等且都等于　45°　. 10.等腰直角三角形的判定 （1）顶角为　90°（或直角）　的等腰三角形是等腰直角三角形. （2）有两个角为　45°　的三角形是等腰直角三角形. （3）有一个角为45°的　直角　三角形是等腰直角三角形. （4）　两直角边　相等的直角三角形是等腰直角三角形. 高频考点过关 考点一　等腰三角形的判定与性质 1.已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　C　） A. B.2 C.3 D. 2.如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为　100°　. 考点二　等边三角形的判定与性质 3.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为　2　cm. 考点三　直角三角形的判定与性质 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（　C　） A.2个　　 B.3个 C.4个　　 D.5个 5.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　B　） A.4 B.8 C.12　 D.16 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，若AC＝2，则CD的长为（　C　） A.1 B. C.2－2　 D.2＋2 达标演练检测 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（　C　） A.70°　 B.100°　 C.110° D.140° 2.在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是（　B　） A.4 m　　 B.6 m C.10 m　 D.12 m 3.△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）2＋＋｜c－3｜＝0，则△ABC是（　D　） A.等腰三角形 B.直角三角形　　 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（　C　） A.　 B. C.　 D. 5.若三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，则这个三角形是　直角　三角形. 6.如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，点E为AC的中点.若 AC＝8，CD＝5，则DE＝　3　. 7.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c.若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为　96　. 8.如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：CD＝CE. 证明： 如图，∵BD为等边三角形ABC的中线， ∴BD⊥AC，∠1＝60°， ∴∠3＝30°. ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠3＝30°. ∵∠2＋∠E＝∠1＝60°， ∴∠E＝∠2＝30°，∴CD＝CE. 学科网（北京）股份有限公司 $$