精品解析：北京市八一学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷

北京市八一学校2025届高三年级12月月考 2024.12.04 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，且，那么的值可以是 A. B. C. D. 2. 下列函数中，定义域为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在上单调递减 5. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知与是非零向量，且，则是与垂直的（ ） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件． 7. 已知直线与圆有公共点,则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 9. 已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11. 已知，其中为虚数单位，，则_________． 12. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，则_________；_________． 13. 已知正方形的边长为2，以为圆心的圆与直线相切．若点是圆上的动点，则的最大值是_________． 14. 已知，且双曲线与椭圆有共同的焦点，则双曲线的离心率为__________． 15. 给定曲线为曲线，点为曲线上任一点，给出下列结论： ①； ②点在圆的内部； ③曲线关于原点对称，也关于直线对称； ④曲线至少经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确命题的序号为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 17. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？并说明理由（参考数据：） 19. 已知函数． （1）设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； （2）证明：当时，． 20. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为. （1）求椭圆的方程; （2）设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围. 21. 设数列：．已知，定义数表，其中 （1）若，写出； （2）若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”； （3）若数列与中的1共有个，求证：数表中1的个数不大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校2025届高三年级12月月考 2024.12.04 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，且，那么的值可以是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为,故集合B能取遍一切小于等于1的实数，则m>1,故选D 2. 下列函数中，定义域为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的定义域及奇偶性判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，为偶函数； 对于B，函数的定义域为，为奇函数； 对于C，函数的定义域为，为非奇非偶函数； 对于D，函数的定义域为， 因为为奇函数，所以函数为奇函数. 故选：D. 3. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件计算出的值，再根据渐近线方程为可求结果. 【详解】因为的一个焦点是，所以，所以， 所以渐近线方程为，即为， 故选：B. 4. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式计算可得，可判断A正确，由对称轴方程可得B正确，令代入验证可得C正确，再由余弦函数单调性可判断D错误. 【详解】由可得， 对于A，因此的最小正周期为，可得A正确； 对于B，易知的对称轴方程为，解得， 当时，可得，即的图象关于直线对称，即B正确； 对于C，易知， 令，即，当时可得， 因此的一个零点为，即C正确； 对于D，当时，， 结合余弦函数单调性可得函数在上单调递减，在上单调递增，即D错误. 故选：D 5. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心，则， 化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号， 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题. 6. 已知与是非零向量，且，则是与垂直的（ ） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件． 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件证明必要性和充分性即可. 【详解】因为与是非零向量，且，当时， ， 所以与垂直，故充分性成立， 若与垂直， 则 因为与是非零向量，且， 所以， 所以必要性成立， 故若与是非零向量，则是与垂直的充要条件， 故选：C. 7. 已知直线与圆有公共点,则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切． 即为． 由，解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题． 8. 直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线有且仅有一个公共点. 综上可得，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题. 9. 已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得，结合图形即可得结果. 【详解】题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 则， 所以的最小值即为点到直线的距离为. 故选：D. 10. 已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的半径，从而可得，因为为锐角，所以要使的面积最大，只要取得最大值即可，此时，解出的面积，即可得解. 【详解】由题意得：，所以圆心，半径， 由两圆相交于、两点可知：， 所以的面积， 因为是半径为的圆，所以， 当时，， 又， 此时由，解得，，故可以取最大值， 所以当时，最大，且是锐角， 根据函数的单调性可知：当时，最大， 在中由余弦定理可得：， 所以，所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找的最大值，从而确定面积的的最大值. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11. 已知，其中为虚数单位，，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及复数相等的条件解方程可得. 【详解】由可得， 即，可得， 解得. 故答案为：1 12. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，则_________；_________． 【答案】 ①. ②. 63 【解析】 【分析】利用等比数列中的项可求得公比，可求得通项公式，代入等比数列前项和公式可得. 【详解】设等比数列的公比为， 根据题意由可得，解得或（舍）； 所以可得， 由等比数列前项和公式可得. 故答案为：；63. 13. 已知正方形的边长为2，以为圆心的圆与直线相切．若点是圆上的动点，则的最大值是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，用坐标表示向量的数量积，由在圆上可求得最大值． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，， 易知圆的半径为，圆方程为， 设，则， 则， 设，则，代入圆方程并整理得， 此方程有实数解，所以，解得， 所以的最大值是2， 所以的最大值是8． 故答案为：8． 14. 已知，且双曲线与椭圆有共同的焦点，则双曲线的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线与椭圆性质计算可得，，可得双曲线的离心率. 【详解】根据题意设焦点坐标为， 由双曲线与椭圆方程可得，解得，即； 因此离心率为. 故答案为： 15. 给定曲线为曲线，点为曲线上任一点，给出下列结论： ①； ②点在圆的内部； ③曲线关于原点对称，也关于直线对称； ④曲线至少经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确命题的序号为___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】将利用基本不等式变形可得①正确；计算可得可得可判断②错误；利用表达式将与等进行替换可得对称性成立，再由赋值法可得曲线至少经过4个整点. 【详解】对于①，由满足可得， 即可得，解得，即①正确； 对于②，由可得，解得； 所以，因此点不在圆的内部，即②错误； 对于③，将替换成，替换成，依然满足，所以曲线关于原点对称， 同理可得将互换，方程不变，所以曲线关于对称， 将替换成，替换成，依然满足，所以曲线关于对称，即③正确； 对于④，令，则可得，解得或，即过两个整数点； 同理令，则可得，解得或，即又过两个整数点； 再由对称性可知曲线还过点，可得④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：在求解对称性问题时往往根据方程形式将表达式中的进行对称替换，若满足方程则对称性成立，否则不成立. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的余弦公式计算并由辅助角公式计算可得，求得最小正周期； （2）求得在上的最大值可得恒成立，即可得实数的取值范围． 【小问1详解】 函数 ， 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 对恒成立，所以， 由于，所以， 当时，即时，， 即时， 故实数的取值范围为． 17. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 选条件①：三角形不存在，不满足题意； 若选条件②：边上高线的长为． 若选条件③：三角形有两解，不符合题意． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理计算可得，即可得; （2）若选条件①：由正弦定理可得，与已知矛盾，满足所选条件的三角形不存在；若选条件②：由余弦定理计算可得，满足题意，再由三角形面积计算可得边上高线的长；若选条件③：根据正弦定理可得，即或，有两解，不符合题意． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又，则， 所以，则， 又，解得； 【小问2详解】 若选条件①：， 由正弦定理知，可得， 又，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意； 若选条件②：， 由余弦定理可得，， 即得（负值舍去），所以满足条件的三角形唯一， 设边上的高为， 由三角形等面积法可知， 即，解得， 故边上高线的长为． 若选条件③：， 由正弦定理可得，即， 所以， 又，解得或，有两解，不符合题意． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？并说明理由（参考数据：） 【答案】（1） （2）存在，理由如下： 设，则， 令，可得， 当时，，当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且， 所以时，， 若切线相互垂直，则存在，且， 存在满足题意，例如. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）令，利用导数判断其单调性和值域，结合直线垂直分析判断即可. 【小问1详解】 因为的导数为，则， 可得曲线在点处的切线斜率为1， 所以切线的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； （2）证明：当时，． 【答案】（1），有两个零点 （2）证明如下： 当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 【解析】 【分析】（1）根据极值点定义代入计算可得，得出相应单调性以及零点存在定理可得结论； （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【小问1详解】 的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 【小问2详解】 略 20. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为. （1）求椭圆的方程; （2）设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出方程组求出，，由此能求出椭圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，的方程为，，点B在椭圆内，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意，得：又因为 解得，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 此时为椭圆的上下顶点，且， 因为点总在以线段为直径的圆内，且， 所以； 当直线的斜率存在时，设的方程为. 由方程组得， 因为直线与椭圆有两个公共点，即，得； 设，则. 设的中点，则， 所以.所以， ， 因为点D总在以线段EF为直径的圆内，所以对于恒成立， 所以， 化简，得，整理得， 而（当且仅当时等号成立）所以， 由，得，综上，的取值范围是. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21. 设数列：．已知，定义数表，其中 （1）若，写出； （2）若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”； （3）若数列与中的1共有个，求证：数表中1的个数不大于． 【答案】（1） （2） 证明： 充分性： 若，由于 令，由此数列． 由于． 从而有，即充分性成立； 必要性： 若． 由于是不同的数列， （1）设，对任意的正整数， ①若，可得， 所以． ②若，可得， 所以． 同理可证时，有成立． （2）设，对任意的正整数， 若，可得， 所以有，则是相同的数列，不符合要求． 若，可得， 所以有，则是相同的数列，不符合要求． 同理可证时，是相同的数列，不符合要求． 综上，数表满足“”的充分必要条件为“”； （3） 证明： 由于数列中的1共有个，设中1的个数为， 因此中0的个数为，中1的个数为，中0的个数为， 若，则数表的第行为数列， 若，则数表的第行为数列； 所以数表中1的个数为； 因此，数表中1的个数不大于. 【解析】 【分析】（1）根据运算规则直接代入计算可得； （2）由可知若时数列，即可得充分性成立，再进行必要性证明可得结； （3）由运算法则可设中1的个数为，可得中0的个数以及中1的个数和0的个数，再由基本不等式计算可得结论. 【小问1详解】 将代入计算可得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解运算法则之后对中1的个数和0的个数与中1的个数和0的个数进行统一处理，得出表达式再由基本不等式可得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $