精品解析：山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期12月月考 高三数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题半上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确集合、，再求. 【详解】由，故； 由，故. 所以. 故选：D 2. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 3. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，进行大小比较，从而得出相应答案． 【详解】根据指数函数的单调性可得：，即， ，即， 由于，根据对数函数的单调性可得：，即， 所以， 故答案选B． 【点睛】本题主要考查学生对于对手函数的单调性及其应用这一知识点的掌握程度，指数函数以及对数函数的单调性，取决于底数与1的大小． 4. 若向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直及数量积的运算律计算可得. 【详解】由已知有，故. 所以，故. 故选：A. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据函数值的符号，可排除C. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D 6. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ） A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图1和图2面积相等，可用表示，判断A的真假；把、用表示出来，判断B的真假；把、用表示出来，判断C的真假；把、用表示出来，判断D的真假. 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：采用数形结合，分别表示出相应线段，结合图形中线段的长度关系，逐一分析各选项，即可得到答案. 7. 设无穷等差数列的公差为，其前项和为．若，则“有最小值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】若有最小值，则单调递增，故， 但时，若，此时数列为常数列，没有最小值， 因此“有最小值”“”， ∴“有最小值”是“”的充分不必要条件 故选：A． 8. 设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此求得，即得，作，垂足为，连接，是二面角的平面角，，从而可得，即得，再由体积公式可得结论． 【详解】∵PA，PB，PC两两垂直，所以可以把三棱锥补成一个长方体，如图，是该长方体同一顶点处的三条棱， 长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径， 由得， 所以， 作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，同理， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由得，而， 又， 所以，所以， ， 故选：C． 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，先得到的范围，再用作商法比较大小；CD选项，先得到，再用作商法比较大小. 【详解】A选项，，， 故，A错误， B选项，，，故，B正确； C选项，，且，故，C错误； D选项，，且，故，D正确. 故选：BD 10. 已知函数的图象经过点，将的部分图象沿轴折成直二面角（如图所示），若，则（ ） A. B. C. 将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象 D. 函数的单调递减区间为 【答案】AB 【解析】 【分析】由解析式得周期，结合图象可得，借助向量加法与数量积的运算表达，A项，由已知可待定系数A；B项，代入坐标，结合函数轴附近函数单调性求得；C项由三角函数平移可求得解析式；D项利用二倍角公式化简解析式，再利用整体代入法求单调区间即可得解. 【详解】如图，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， 由题意可知平面平面，平面平面， 又平面，则平面， 平面，则， 则，， 由， 则的周期， A项，由图象可知， 所以 ， 由，解得； B项，由A项可知，， 则， 因为图象经过点，即，， ，或， 由函数图象可知， 则，所以，故B正确； C项，由AB可知，， 即将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象， ，故C错误； D项，， 由，解得， 故函数的单调递减区间为，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用面面垂直的性质定理，结合空间向量运算的性质进行判断求解. 11. 定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，.则下列结论正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：根据，的大小关系判断；B：先计算出的值，代入于，可求；C：通过转化可得，由此计算并判断；D：根据条件计算出，的值，结合条件③可判断出的值. 【详解】因为，所以； 因为，所以，所以. 再由，令得：； 由，令得：. 所以. 由上可知：A错误，B正确； 因为， 所以，故C成立； 因为， ， 因为当时，，且， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：抽象函数表达式的确定一般需要通过“迭代”的思想，逐步计算出所求函数的表达式；求抽象函数的函数值时可直接采用赋值法.本题中的D项，一方面需要借助赋值法确定出函数值，另一方面要结合③的定义去分析. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用这个等式来求解与正切函数相关的比值。解题的关键在于将已知条件利用三角恒等变换转化为所求表达式的形式. 【详解】由得： ， 所以 化简得到： ， 所以； 所以. 故答案为：. 13. 已知直线，若直线在两个坐标轴上的截距相等，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分与两种情况讨论，当时求出直线在坐标轴上的截距，即可得到方程，解得即可. 【详解】当，即时，直线，直线在两个坐标轴上的截距均为，符合题意； 当，即且时， 对于直线，令，解得，令，解得， 依题意可得，即，解得； 综上可得或. 故答案为：或 14. 若直线是曲线的切线，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，对照条件求得，，则，构造函数，利用求导求得其最小值即可. 【详解】由求导得：，设切点为，则，①， 切线方程为，即， 由题意，② ， 将①代入②可得：， 于是，. 设，， 则， 因为，则，由，解得， 故当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 故当时，函数取得最小值， 即，从而的最小值是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查导数的几何意义和导数在函数的最值上的应用，属于难题.对于已知函数的切线方程求参问题，一般先设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，对照系数求得参数；对于求函数的最值问题，一般通过求导判断函数的单调性即得最值. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式计算可得答案； （2）利用平方关系、两角和的正弦展开式化简得出，再结合平方关系可得答案. 【小问1详解】 ，∴， 可得，即，， 而为锐角三角形，，∴； 【小问2详解】 因为为锐角三角形，，所以， 解法一：因为，由正弦定理得，所以， 得， ∴，∴， 由且为锐角三角形， 可得． 解法二：因为，由余弦定理得，所以， 所以， 所以. 16. 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点. （1）用表示图1中的面积： （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，可推得，再在中，由勾股定理得，解得解得解得，，再结合面积公式，即可求解． （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 又因为为较长边，所以，即. 设，则 因为，， 所以，所以， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以， 所以的面积（单位：） 【小问2详解】 设一枚徽章的镀金费用为元，则 , 由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立， , 所以当时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为元. 17. 已知函数. （1）求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线； （2）请在以下两个函数：①；②中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值. 【答案】（1） 对函数，，由， ，所以函数在处的切线方程为：即. 对函数，，由， ，所以函数在处的切线方程为：即. 所以直线既是曲线的切线，也是曲线的切线. （2）选②：是函数的最大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，证明是函数与的公切线. （2）求导，分析函数的单调性，求函数的最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若选①，则，根据指数函数与二次函数的增长速度，可知当时，，所以函数无最大值. 若选②，则， . 由；由或. 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极大值为. 又当时，，所以. 所以是函数的最大值. 18. 在四棱锥中，，，，. （1）如图1，在侧面内能否作一条线段，使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由； （2）如图2，若平面，证明：平面； （3）在（2）的条件下，E为棱上的点，二面角的大小为，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） 不能，理由如下： 假设在侧面内存在直线与平行，可得与侧面平行. 依据线面平行性质定理，可得与平行，这与已知条件矛盾. （2） 在底面中，， 所以，又，， 由余弦定理得，所以，得 因为平面平面，所以． 又，平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）利用反证法，结合线面平行的性质定理，可得答案； （2）根据线面垂直判定定理，结合佘弦定理与勾股定理，可得答案； （3）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角与线线角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作直线垂直平面， 以为原点，分别为x，y轴正方向，为轴，向上为正方向建立空间直角坐标系. 则， 因为为棱上的点，设， 取， 设平面的法向量为，则， 令得，则平面BDE的一个法向量为， 因为平面，所以为平面的法向量， 因为二面角的大小为， 所以，得. 则， 设直线BE与PC所成角为， 则， 所以异面直线BE与PC所成角的余弦值为. 19. 已知无穷数列中，，记. （1）若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值； （2）若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； （3）设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列. 【答案】（1），，， （2） 不妨设的周期为（）， 记，， 则当时，是常数. 记，使得当时，是常数，结论正确. （3） 先证充分性：因为是公差为（为非负整数）的等差数列，则. 所以，， 所以（）. 再证必要性：因为，所以， 因为，，所以， 于是有：，，因此. 故数列是公差为的等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据定义可直接求出的值. （2）令（周期），结合新定义，即可证明结论. （3）根据定义分别证明充分性和必要性，为非负整数，是公差为的等差数列，，，易证出充分性，证明必要性先结合反证法证明数列不是递减，再证明是等差数列. 【小问1详解】 因为，，所以； ，，所以； ，，所以； ，，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：此题考查数列相关的新定义问题，涉及求值和证明，证明一个条件是另一个条件的充要条件时一定要考虑完充分性和必要性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期12月月考 高三数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题半上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ） A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 7. 设无穷等差数列的公差为，其前项和为．若，则“有最小值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象经过点，将的部分图象沿轴折成直二面角（如图所示），若，则（ ） A. B. C. 将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象 D. 函数的单调递减区间为 11. 定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，.则下列结论正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. C. D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________. 13. 已知直线，若直线在两个坐标轴上的截距相等，则实数的值为__________. 14. 若直线是曲线的切线，则的最小值是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点. （1）用表示图1中的面积： （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 17. 已知函数. （1）求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线； （2）请在以下两个函数：①；②中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值. 18. 在四棱锥中，，，，. （1）如图1，在侧面内能否作一条线段，使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由； （2）如图2，若平面，证明：平面； （3）在（2）的条件下，E为棱上的点，二面角的大小为，求异面直线与所成角的余弦值. 19. 已知无穷数列中，，记. （1）若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值； （2）若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； （3）设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $