青海省西宁市2024年初中学业水平暨高中招生考试数学卷

西宁市城区2024年初中学业水平暨高中招生考试 (时间：120分钟满分：120分) 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 特合题目要求的) 1.我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”， 如收入100元记为+100元，那么支出60元记为 ( A.-60元 B.60元 C.-40元 D.40元 2.下列计算正确的是 抑 A.-52=25 B.(-5)3=-15 C.5-2=-25 D.5÷53=5 x十2<3， 3.不等式组 的解集为 -2x≤1 的 A.x≤- 1 B.-2x<1 C.x<1 D.无解 长 4.2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活 动在西宁植物园拉开序幕.在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本 次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了 统计，并绘制了如图1所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确 的是 ( 批 A.本次调查的样本容量是500 B.本次调查的学生成绩在70~80分之间的人数是10 杯 C.本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间 D.估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70 频数 原 (学生人数) 20 15 10 0 60708090100成绩/分 C 第4题图 第5题图 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数 y=色(k≠0，z<0)的图象上，对角线OB在r轴上.若菱形ABC0的面积是82，则k的值 x 为 () A.42 B.-4√2 C.2√瓦 D.-22 西宁市城区2024年初中学业水平壁 6.如图，小区物业规划在一个长60m,宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场， 阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路.如果阴影部分 的总面积是600m2,那么x满足的方程是 A.x2-41x+180=0 B.x2-41x+225=0 C.x2-41x+30=0 D.x2-41x-270=0 60 22 G 第6题图 第7班图 7.如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，AD=BE,且AD⊥BE,垂足为F,G为 DC的中点，连接DE,EG.下列结论错误的是 () A.△AFB≌△AFE B.∠ADB=∠ADE CFD=B亚 D.△CEG∽△CBE 8.点A(x1y1),B(x2y2)是抛物线y=ax2-4ax十1(a是常数，且a>0)上的两个点.下列结 论：①抛物线与y轴的交点是(0,1)；②抛物线的对称轴是直线x=一2；③当y1=y2=1时， AB=4;④当x>x2>2时，y1<y2;⑤当0≤x≤2时，y有最大值是1.其中正确结论的个 数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷（非选择题共96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9.a的相反数是 10.若长度分别为3,6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 (写出一个即可) 11.计算。2-b2a+6】 1 2.在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有0,2，片，W6,10,27,随机摸出 一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为直径CD延长线上一点，AB=BC,∠ADE=110°， 则∠DAB= D 第13题图 第15题图 14.已知方程x2+2x一1=0的两根分别为a和b,则4a2+8ab十4B2的值为 15,如图，在△ABC中，∠A=70°，BC=12,D是BC的中点，分别以B,C为圆心，BD长为半 径作弧，交AB于点E,交AC于点F,则图中阴影部分的面积是 暨高中招生考试第1页，共4页 16.在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(6.0).与y轴交于点B(0,6).点P 在y轴上，且满足∠PAB=15,则OP的长为 17.阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的例圈叫做纬线：②西宁市的纬度约为 北纬37°：③如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BCOA.以BC为直径的圆的周长 就是北纬37纬线的长度，根据以上信息，北纬37°纬线的长度约为 千米（参考 数据：r≈3，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.8). B 037 图1 图2 第17题图 第18题困 18.如图，正方形ABCD的边长为4，以AB边为底向外作等腰Rt△ABE,点P是对角线AC 上的一个动点，连接PB,PE,则PB+PE的最小值是 三、解答题（本大题共9小题，第19,20,21,22题每小题7分，第23,24题每小题8分，第25,26题 每小题10分，第27题12分，共76分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(7分)计算：2×⑧+(2024-x)°-|2-√51. 20.(7分)先化简，再求值：(3a-1)2-2a(4a一1)，其中a满足a2-4a+3=0. 西宁市城区2024年初中学业水平暨 21.(1分)解方程产2二21 22.(7分)2024年4月23日是第29个世界读书日，我市某社区开展了以“最美人间四月天，不 负韶华读书时”为主题的系列读书活动， (1)为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是 (填“全 面调查”或“抽样调查”). (2)该社区某校准备从A,B,C,D四名同学中选择两人作为“好书推荐官”，参加社区的好 书推荐活动.请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出A,B两名同 学恰好同时被选中的概率 !水平暨高中招生考试第2页，共4页 23.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在AC上，过点D作DE∥BC交 AB于点E,延长BC到点F,使CF=AD,连接CE,DF (1)求证：四边形DFCE是平行四边形. (2)若∠DCE=30°，AC=2,求FC的长. 24.(8分)西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配 套建设新能源汽车充电设施.某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌 汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位：kW·)与充电时间x(单 位：)之间的函数图象，其中折线ABC表示用快速充电器充电时y1与x的函数关系；线 段AD表示用普通充电器充电时y2与x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题： (1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10kW·h充到70kW·h需h (2)求y2关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围. (3)该品牌汽车电池电量从10kW·h充到100kW·h,快速充电器比普通充电器少用 y/(kW-h) 100 70 10a 1 2 h 3 3 西宁市城区2024年初中学业水平 25.(10分)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，连接(OA,OB,过点O作OC∥PA交 PB于点C,过点C作CD⊥AP,垂足为D. (1)求证：OC=AD. (2)若⊙O的半径是3，PA=9,求OC的长. 学业水平暨高中招生考试第3页，共4页 26.（10分)【感知特例】 (1)如图1，点A,B在直线1上，AC⊥l,DB⊥l,垂足分别为A,B,点P在线段AB上，且 PC⊥PD,垂足为P D B 图1 结论：AC·BD=AP·BP (请将下列证明过程补充完整) 证明：，AC⊥l,BD⊥L,PC⊥PD ∴∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°， .∠C+∠APC=90°， +∠APC=90°， ,(同角的余角相等) ∴.△APCn ,(两角分别相等的两个三角形相似) ∷ (相似三角形的对应边成比例) 即AC·BD=AP·BP 【建构模型】 (2)如图2，点A,B在直线l上，点P在线段AB上，且∠CAP=∠DBP=∠CPD. 结论AC·BD=AP·BP仍成立吗？请说明理由. 图2 【解决问题】 (3)如图3，在△ABC中，AC=BC=5,AB=8,点P和点D分别是 线段AB,BC上的动点，始终满足∠CPD=∠A.设AP长为 x(0<x<8),当x= 时，BD有最大值是 图3 西宁市城区2024年初中学业水平暨】 27.(12分)如图，二次函数的图象与x轴交于点A(一3,0)，与y轴交于点B,顶点C的坐标为 (-2,-1). (1)求二次函数的解析式 (2)判断△ABC的形状，并说明理由， (3)在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P,使S△P4B=2S△ABC？若存在，求出所有符 合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 罗 备用图 擗 网 咯 曹 平暨高中招生考试第4页，共4页 西宁市城区2024年初中学业水平暨 又：DEFC, 高中招生考试 ,四边形DFCE是平行四边形（一组对边平行且 1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.D8.C 相等的四边形是平行四边形). (4分)】 9.一a10.答案不唯一，如4 1h.62号8.125 (2)解：设AD=DE=FC=x, 14.1615.11w16.23或65 .DC=AC-AD=2-x, 17.3072018.2/1可 在Rt△DEC中，∠DCE=30°， 19.解：原式=4+1一(2-√3) (6分) =3+5. (7分) :EC=2DE=2z(在直角三角形中，如果一个锐角 20.解：原式=(9a-6a+1)-8a*+2a (4分) 等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半). =a2-4a+1 (5分) a'-4a+3=0, :DE+DC2=EC(均段定理)， .a1-4a=3, x2+(2-x）=(2x)2, 原或=a1-4a+1m-3+1▣-2， (7分) 21.解z气2x2一1 3 解得x1=5-1,x2=-3-1(含去)， FC=-1. (8分) 方红两边来2(x一1)，得 (2分) 2r=3-2(x-1), 24解：1宁 (2分) 将件-片 (4分) (2)设关于x的函数解新式为一：+b(10) (3分) 妆脸：当，-子时，2ú-00 (6分) 将A(0,10),E(2.70)代入解折式中，得 b=10, 5 (7分) (5分) 所以，原分式方往的解为工= 2k+b=70. 州4二 六函数解新式为y,=30r+10(0≤x≤3) (6分) 22.解：(1)抽样羽壶， (8分】 (2) 。个。 第一人 25.(1)证明：PA,PB是⊙0的初找，OA,0B是 ⊙0的半径， 由树状田可以看出，所有可能出现的站果共有12 六OA⊥PA,OB⊥PB,(国的初线垂直于过切点的 半径) #AB,AC.AD.BA,BC.BD.CA.CB.CD,DA, DB,DC,选些结采出现的可能壮相等，其中A,B两 ∴∠OAP=∠OBP=90 CD⊥AP, 名两学松好网时技选中的结采共有2种，即AB, ∠CDA=∠CDP=90 BA. (5分) OC∥PA, 所以，P(A,B两名同学拾好网时被选中)= :∠OCD+∠CDA=180,(两克线年行，同旁内 6 角互补) (7分) ∴∠0CD=90°， 23.(1)证明：∠ACB=90°，AC=BC， .∠OCD=∠CDA=∠OAD=90', ∠A=∠B=45(等边对等角). ·四边形OADC是矩形，（有三个角是立角的四边 DE∥BC, 形是矩形) OC=AD. ∠ADE=∠ACB=90',∠AED=∠B=45(两 (5分) 直线平行，同位角相等). (2)解：设OC=AD=x,PA=9, ∴，DP=PA-AD=9-x, ∴∠A=∠AED, ,OC∥PA, AD=DE(等角对等边). “∠BC0=∠P.(两直线平行，网位角相等) FCAD, :四边形OADC是矩形， .DE=FC. .OA=CD-3 又DEFC, .OB=CD3 在△OBC和△CDP中， '∠BCO=∠P, ∠OBC=∠CDP=90'， OB -CD, .△OBC≌△CDP(AAS), AB+AC=20,AB+AC-BC, △OBC≌△CDP(AAS), :△ABC是直角三角形.（句及定理逆定理） BC=DP9-x, (8分) 在Rt△OBC中，OB2+BC=OC,(均度定理) (3)存在，理由如下： 即3+(9-x)■x,解得x=5, y=(x+2)2-1=x+4x十3， .0Cm5. (10分) 设点P的坐标为(m,m十4m十3)， 26.解：(1)∠BPD∠C=∠BPD△BDP AC」 过点P作PH⊥AB,叠足为H;过点P作PO/∥y BP 抽交直线AB于点O, AP (4分) 设直线AB的解析式为y=k+b(k≠0)，#Λ(-3， (2)战立，理由如下， 0),B(0,3)代入. '∠C+∠CPA=I80'-∠CAP,∠CPA+ -3k+b=0, 使=1， ∠BPD=180°-∠CPD, 得 解得 b=3, b=3, 又∠CAP=∠CPD, ,克线AB的解析式为y=x+3, ∠C=∠BPD. .点Q的坐标为(mm十3). '∠CAP=∠DBP, :△APCn△BDP.(两角分剂和等的两个三解形 S△rAB=2S△ABC· 扣似) .AB.PH-2XTAB AC PH-2AC- 1 品-条k根三角彩的时盒进高比例，中AC, 22. BD=AP·BP. (8分) 在Rt△AOB中， ,9 ,0A-OB一3， (10分) ,∠AB0=∠BAO=45 27,解：(1)设二次西址解折式为y=a(x-h)2+k(a PQ∥3轴， ≠0) ∴.∠PQH=∠ABO=45° 将项，点C(-2,-1)代入解斯式得y=a(x十2)2-L. 在Rt△PQH中， ,二次函数的图原与x轴交于点A(一3,0)， sin45°= PH 0=a(-3+2)2-1,解得a=1, PQ' 二次函数解折式为y=(红+2)2-1. (4分) (2)△ABC是直角三角形，理由如下： ,.PQ 2=4, 抛物线y=(x十2)-1与y轴的交点，当x一0 2 时，y=3, PQ=m2+4m+3-(m+3)=m2+3m=4, .B(0,3). 解得m:=1,m2=一4， 过点C作CD⊥y轴于旅D, 当m=1时，m十4m+3=8, .D(0,-1) .P1(1,8), 过点A作AE⊥CD于点E, 当m=一4时，m十4m十3=3， E(-3,-1). 又A(-3,0),C(-2,-1), .P(-4,3), AB=0B+OA=3+3=18,AC2=AE+ ∴.所有特合条件的P点的坐标是(1,8)，（一4,3）. CE2=1*+1'=2,BC2=CD3+BD2▣22+= (12分) 20,