第六章 第2节　与圆有关的位置关系　核心考点通关 -2025年九年级中考数学一轮教材梳理（陕西）

第2节　与圆有关的位置关系 (6年6考,8分) 　　中考每年必考内容,题型为解答题.主要考查与切线性质有关的证明与计算,如今与其他知识点结合,综合考查.比如相似三角形,全等三角形,锐角三角函数,勾股定理,四边形等. 【回归教材·过基础】 【知识体系】 【知识清单】 知识点1与圆有关的位置关系　轮考 点与圆的位置关系(设圆 的半径为r,平面内任一 点到圆心的距离为d) 直线与圆的位置关系(设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d) 位置关系 相离 相切 相交 d与r的关系 d④ r  d⑤ r  d⑥ r  示意图 公共点的个数 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个公共点 知识点2切线　常考 切线的性质:圆的切线⑦ 于过切点的半径(或直径)  切线的判定 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长⑧ ,这一点和圆心的连线⑨ 两条切线的夹角.如图,过☉O外一点P可引两条切线PA,PB,则PA=⑩ ,PO平分∠APB  知识点3三角形的内心　轮考 【真题精粹·重变式】 考向1与切线性质有关的证明与计算　6年6考 1.(2022·陕西24题8分)如图,AB是☉O的直径,AM是☉O的切线,AC,CD是☉O的弦,且CD⊥AB,垂足为E,连接BD并延长,交AM于点P. (1)求证:∠CAB=∠APB. (2)若☉O的半径r=5,AC=8,求线段PD的长. 2.(2024·陕西24题8分)如图,直线l与☉O相切于点A,AB是☉O的直径,点C,D在直线l上,且位于点A两侧,连接BC,BD,分别与☉O交于点E,F,连接EF,AF. (1)求证:∠BAF=∠CDB. (2)若☉O的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长. 考向2与切线判定有关的证明与计算 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的外接圆,点D在☉O上,且=,过点D作CB的垂线,与CB的延长线相交于点E,并与AB的延长线相交于点F. (1)求证:DF是☉O的切线. (2)若☉O的半径R=5,AC=8,求DF的长. 4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠BAD=∠C,点D在BC边上,以AD为直径的☉O交AB于点E,交AC于点F. (1)求证:BC是☉O的切线. (2)已知AB=6,AC=8,求AF的长. 【核心突破·拓思维】 题型1切线的性质及其应用 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AC于点E,连接AD. (1)求证:AE=DE. (2)若AB=10,BD=6,求AC的长. 1.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,D为BC的中点,连接AD与☉O交于点E,连接CE并延长,与☉O交于点F,且CF经过圆心O. (1)求证:E为CF的中点. (2)若AD=6,求☉O的半径. 如图,四边形ABDC内接于☉O,AD平分∠BAC,延长AC交☉O的切线DE于点E. (1)求证:BC∥DE. (2)连接DC,若cos∠BAD=,DC=10,求点C到DE的距离. 2.如图,在△AOB中,☉O与AB相切于点D,延长AO交☉O于点C,连接CD,过点A作AF⊥BO,交BO的延长线于点H,交☉O于点F,∠B=∠C. 求证:(1)AF∥CD. (2)AH2=OH·BH. 题型2切线的判定及其应用 如图,在△ABC中,∠A=45°,以AB为直径的☉O经过AC的中点D,E为☉O上的一点,连接DE,BE,DE与AB交于点F. (1)求证:BC为☉O的切线. (2)若F为OA的中点,☉O的半径为2,求BE的长. 3.如图,AB为☉O的直径,☉O过AC的中点D,DE⊥BC于点E. (1)求证:DE为☉O的切线. (2)若DE=2,tan C=,求☉O的直径. 　　(1)切线性质的运用口诀:“见切点,连半径,得垂直,得等腰”.在运用切线的性质时,当连接半径之后,会得到垂直条件,进而会出现直角三角形,同时圆的半径均为等线段,则会出现等腰三角形.利用等腰三角形和直角三角形的性质,可完成等角转换. 　　(2)切线的判定:判定直线是不是圆的切线时,从以下两个维度入手. ①连半径,证垂直.通过连接半径,得到等线段,寻找等腰三角形进行等角转换(互余导角),以此来证明垂直; ②作垂直,证半径.通过作垂直,寻找全等三角形,利用全等三角形的性质来证明所作垂线段为半径. 参考答案 回归教材·过基础 知识清单 ①>　②=　③<　④>　⑤=　⑥<　⑦垂直　⑧相等　⑨平分　⑩PB　与三角形各边相切的圆　三角形内切圆的圆心　各边　三条角平分线 真题精粹·重变式 1.解析:(1)证明:∵AM是☉O的切线,∴∠BAM=90°. ∵CD⊥AB,∴∠CEA=90°,∴AM∥CD, ∴∠CDB=∠APB. ∵∠CAB=∠CDB,∴∠CAB=∠APB. (2)如图,连接AD. ∵AB为☉O的直径, ∴∠CDB+∠ADC=90°. ∵CD⊥AB, ∴∠CAB+∠C=90°. ∵∠CDB=∠CAB, ∴∠ADC=∠C, ∴AD=AC=8. ∵AB=10, ∴BD==6. ∵∠ADB=∠PAB,∠ABD=∠PBA, ∴△ADB∽△PAB, ∴=, ∴PB===, ∴PD=-6=. 2.解析:(1)证明:∵直线l与☉O相切于点A,AB是☉O的直径, ∴AB⊥CD,∴∠BAC=∠BAD=90°. ∵AB是☉O的直径, ∴∠AFB=90°. ∵∠BAF+∠ABD=90°,∠CDB+∠ABD=90°, ∴∠BAF=∠CDB. (2)在Rt△ABD中, ∵AB=2r=12,AD=9, ∴BD==15. 在Rt△ABC中, ∵AB=12,AC=12, ∴BC==12. ∵∠ABF=∠DBA,∠AFB=∠BAD, ∴△BAF∽△BDA, ∴BF∶BA=BA∶BD,即BF∶12=12∶15, 解得BF=. ∵∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB, ∴∠BEF=∠CDB. ∵∠EBF=∠DBC, ∴△BEF∽△BDC, ∴EF∶DC=BF∶BC,即EF∶21=∶12, 解得EF=,即EF的长为. 3.解析:(1)证明:如图,连接DO并延长,与AC相交于点P. ∵=, ∴DP⊥AC, ∴∠DPC=90°. ∵DE⊥BC, ∴∠CED=90°. ∵∠C=90°, ∴∠ODF=90°, ∴DF是☉O的切线. (2)∵∠C=90°, ∴AB=2R=10. 在Rt△ABC中,BC==6. ∵∠DPC+∠C=180°, ∴PD∥CE, ∴∠CBA=∠DOF. ∵∠C=∠ODF, ∴△ABC∽△FOD, ∴=,即=, ∴DF=. 4.解析:(1)证明:∵∠BAC=90°, ∴∠DAC+∠BAD=90°. ∵∠BAD=∠C,∴∠DAC+∠C=90°, ∴∠ADC=90°. 又∵AD是☉O的直径, ∴BC是☉O的切线. (2)如图,连接DF. 在Rt△ABC中, AB=6,AC=8, ∴BC==10. ∵S△ABC=AB·AC=BC·AD, ∴×6×8=×10×AD, 解得AD=. ∵AD是☉O的直径, ∴∠AFD=90°, ∴∠AFD=∠ADC. 又∵∠DAF=∠CAD, ∴△ADF∽△ACD, ∴=,即=,∴AF=. 核心突破·拓思维 例1　解析:(1)证明:如图,连接OD. ∵∠BAC=90°,DE是☉O的切线, ∴∠OAD+∠DAE=90°,OD⊥DE, ∴∠ODE=90°,即∠ODA+∠ADE=90°. ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠DAE=∠ADE, ∴AE=DE. (2)∵AB是☉O的直径, ∴AD⊥BC,∠B+∠BAD=90°. ∵AB=10,BD=6, ∴AD==8. 在△ABC和△DBA中, ∵∠BAC=∠BDA=90°,∠CBA=∠ABD, ∴△ABC∽△DBA, ∴=,即=, ∴AC=. 变式设问　1.解析: (1)证明:如图,连接BF. ∵在☉O中,∠A=∠F,∠F=∠OBF, ∴∠A=∠OBF, ∴AD∥BF. ∵D为BC的中点, ∴E为CF的中点. (2)设☉O的半径为r,由(1)可知,EF=CE=2r, ∴OC=OE+EC=3r. ∵BC为☉O的切线,∴∠ABC=90°. 在Rt△OBC中,OC=3r,OB=r, ∴BC==2r, ∴BD=CD=BC=r. 在Rt△ABD中,AB=2r,AD=6,且AD2=AB2+BD2, ∴62=4r2+2r2,解得r=. ∴☉O的半径为. 例2　解析:(1)证明:如图,过点D作DH⊥BC于点H. ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD, ∴=, ∴BD=CD. ∵DH⊥BC, ∴DH是BC的中垂线, ∴DH必经过圆心点O. ∵DE是☉O的切线, ∴DH⊥DE, ∴BC∥DE. (2)如图,过点C作CG⊥DE于点G. 由(1)知BC∥DE, ∴∠BCD=∠CDE. ∵=, ∴∠BAD=∠BCD, ∴∠CDE=∠BAD. ∵DC=10,cos∠BAD=, ∴在Rt△CDG中,cos∠CDE===, ∴DG=6, ∴CG===8,即点C到DE的距离为8. 变式设问　2.证明:(1)如图,连接OD. ∵☉O与AB相切于点D, ∴OD⊥AB, ∴∠BDO=90°, ∴∠B+∠BOD=90°. ∵∠B=∠C, ∴∠C+∠BOD=90°. ∵OC=OD, ∴∠ODC=∠C, ∴∠ODC+∠BOD=90°, ∴∠DMO=180°-(∠ODC+∠BOD)=90°, ∴DC⊥BH. ∵AF⊥BH,∴DC∥AF. (2)∵DC∥AF, ∴∠OAH=∠C. ∵∠B=∠C, ∴∠OAH=∠B. ∵∠AHO=∠BHA, ∴△AHO∽△BHA, ∴AH∶BH=OH∶AH, ∴AH2=OH·BH. 例3　解析:(1)证明:如图,连接OD. ∵OA=OD,∠A=45°, ∴∠ADO=∠A=45°, ∴∠AOD=90°. ∵D是AC的中点, ∴AD=CD. 又∵OA=OB, ∴OD∥BC, ∴∠ABC=∠AOD=90°, ∴BC是☉O的切线. (2)由(1)可得∠AOD=90°. ∵☉O的半径为2,F为OA的中点, ∴OF=1,BF=3,AD==2, ∴DF===. ∵=, ∴∠E=∠A. ∵∠AFD=∠EFB, ∴△AFD∽△EFB, ∴=,即=, 解得BE=. 变式设问　3.解析:(1)证明:如图,连接OD. ∵D为AC的中点,O为AB的中点, ∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥BC. ∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°, ∴∠ODE=∠DEC=90°, ∴OD⊥DE于点D, ∴DE为☉O的切线. (2)如图,连接DB. ∵AB为☉O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴DB⊥AC, ∴∠CDB=90°. ∵D为AC的中点, ∴AB=BC. 在Rt△DEC中, ∵DE=2,tan C=,∴EC==4, 由勾股定理得DC=2, 在Rt△DCB中,BD=DC·tan C=, 由勾股定理得BC=5, ∴AB=BC=5,∴☉O的直径为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$