2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——二次函数的实际应用

2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的实际应用 学生版 题型分类过关 类型一　面积问题 1.（2024槐荫二模）某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为20 m，设长方形靠墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　 　） A.y＝20x　　 B.y＝20－2x C.y＝　 D.y＝x（20－2x） 2.（2023外国语模考）用 16 m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形生物园的一边长为x m，则围成长方形生物园的面积为 S m2，选取 6 组数对（a，b）在坐标系中描点，则正确的是（　 　） A. B. C. D. 3.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米. （1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； （2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹. 类型二　抛物线型问题 4.一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m. （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长. 5.（2024天桥一模）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3 m，BC＝4 m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系. 请回答下列问题： （1）如图，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的表达式； 　 （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过点A恰好照射到点C，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长. 类型三　有关利润、方案、费用等的最值问题 6.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 50 60 70 … 月销量y（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 达标演练检测 1.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　 　） A.5　 B.10　 C.1　 D.2 2.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米. 3.为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p＝（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x＋10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元. （1）m＝ ，n＝ ； （2）求销售额W元与x之间的函数关系式； （3）在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有多少天？ 4.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长. 5.某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表. 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 【探究发现】x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述，直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）. 【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的探究发现解决下列问题. （1）若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m.若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围. 提分微专题2　平面直角坐标系中的面积问题 模型一　一条边在坐标轴上（或平行于坐标轴）的三角形的面积 当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时：通常将在坐标轴上的边或平行于坐标轴的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后使用三角形的面积公式直接求解. 与y轴垂直的线段的长：交点的横坐标相减（右减左，如AB的长为xB－xA）. S△ABC＝（xB－xA）·（yC－yA） 与x轴垂直的线段的长：交点的纵坐标相减（上减下，如AB的长为yA－yB）； S△ABC＝（yA－yB）·｜xC｜ 跟踪练习 1.如图，点A（m，4），B（－1，n）分别是反比例函数y＝（x＞0），y＝－（x＜0）的图象上一点，点C与点B关于x轴对称，则△ABC的面积为 . 2.如图，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）经过点A（1，0），B（－2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且DE∥y轴交x轴于点E，点F是第一象限内抛物线上一点，且点F到x轴的距离是点D到x轴的距离的倍，求△DEF的面积. 模型二　三条边都不在坐标轴上（或不平行于坐标轴）的三角形的面积 当三角形的三边均不与坐标轴平行时：一般采用以下方法将其转化为一边与坐标轴平行的两个三角形面积的和或差.斜线段的长可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解. （1）分割法 S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝（xC－xD）·（yB－yA） S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝（yB－yD）·（xC－xA） （2）补形法 S△ABC＝S△ACD－S△BCD＝（yD－ yC）（xC－xA）－ （yD－yC）（xC－xB）＝（yD－ yC）（xB－ xA） S△ABC＝S△ACD－S△ABD＝（yD－yA）（xC－xA）－（yD－yA）（xB－xA）＝（yD－yA）（xC－xB） （3）和差法 S△ABP＝S△AOP＋S△BOP－S△AOB ＝yAxP＋xByP－xByA. （4）转化法 S△ACB＝S△ABM＝S△ABN（l1∥l2∥l3）. 跟踪练习 3.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（4，3），B（－6，－2）两点，且点C的坐标为（0，5），则△ABC的面积为 . 4.如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若D是抛物线的顶点，则△BCD的面积为 . 5.如图，直线y＝－2x＋10分别与x轴，y轴交于A，B两点，C为OB的中点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，C两点，交直线AB于点D，连接AC，CD，求△ADC的面积. 提分微专题3　二次函数的最值 模型一　已知函数表达式，在全体实数范围内求最值 若自变量的取值范围是全体实数，则当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点，且当x＝－时，函数取得最小值，y最小值＝；当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点，即当x＝－时，函数取得最大值，y最大值＝. 跟踪练习 1.若二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－3，－1），则b，c的值分别是（　 　） A.b＝6，c＝10 B.b＝－6，c＝－10 C.b＝6，c＝－10 D.b＝－10，c＝6 模型二　对称轴确定，在自变量取值范围内的最值 1.如果对称轴在所给区间范围内，那么在对称轴处取得最值. 2.如果对称轴不在所给区间范围内，那么在所给区间内单调递增或单调递减，应该在区间端点处取得最值. 3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）任意一点到其对称轴的距离记为d，则有：d相等，y值相等；a＞0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a＜0时，d越大，y值越小，d越小，y值越大. 　 跟踪练习 2.（2024章丘一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点.已知二次函数y＝ax2＋6x－（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y＝ax2＋6x－5（a≠0）的最小值为－5，最大值为4，则m的取值范围是（　 　） A.1≤m≤3 B.3≤m≤5 C.3≤m≤6 D.m≥3 3.已知抛物线y＝x2＋bx－5经过点A（－1，0）. （1）求抛物线的对称轴； （2）当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7，求t的值. 4.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及点G的坐标； （2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 模型三　对称轴不确定，在自变量取值范围内的最值 求抛物线y＝ax2＋bx＋c的最值，自变量的取值范围为m≤x≤n（a＞0为例）. 当－＜m时，x＝m，y最小值为y1＝am2＋bm＋c；x＝n，y最大值为y2＝an2＋bn＋c 当－＞n时，x＝n，y最小值为y1＝an2＋bn＋c；x＝m，y最大值为y2＝am2＋bm＋c 当m≤－≤n，x＝－，y最小值为y1＝，开口向上时，自变量离对称轴的距离越远，函数值越大 跟踪练习 5.（2023历城三模）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n），（x0，m）（x0≠1）在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）上.若m＜n＜c，则x0的取值范围（　 　） A.x0＞2 B.1＜x0＜3 C.2＜x0＜3 D.＜x0＜3 6.已知函数f（x）＝x2－2ax＋5，当x≤2时，函数值随x的增大而减小，且对任意的1≤x1≤a＋1和1≤x2≤a＋1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足｜y1－y2｜≤4，则实数a的取值范围是（　 　） A.－1≤a≤3　　 B.－1≤a≤2　　 C.2≤a≤3　　 D.2≤a≤4 提分微专题4　二次函数与直线、线段的交点问题 模型一　抛物线与x轴的交点问题 1.求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数，自变量的取值范围为全体实数（以a＞0为例）. 一个交点：b2－4ac＝0； 两个交点：b2－4ac＞0； 没有交点：b2－4ac＜0. 2.求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数，自变量的取值范围为m≤x≤n（以a＞0为例）. 一个交点：y1＝am2＋bm＋c≥0，y2＝an2＋bn＋c≤0（等号不同时成立）； 两个交点：y1＝am2＋bm＋c≥0，y2＝an2＋bn＋c≥0，＜0. 　 跟踪练习 1.（2023历下四校联考一模）若二次函数y＝ax2－2x＋5的图象在直线x＝2的右侧与x轴有且只有一个交点，则a的取值范围是（　 　） A.a＜－　　 B.a＝ C.a＜－或a＝　　 D.－＜a＜0或a＝ 2.（2024平阴二模）经过A（2－3b，m），B（4b＋c－1，m）两点的抛物线y＝－x2＋bx－b2＋2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（　 　） A.10　　 B.12 C.13　　 D.15 模型二　二次函数表达式确定的交点问题 1.与确定直线的交点个数：联立两个函数表达式，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断. 2.与确定线段的交点个数：当线段一端固定另一端运动时，将已知动点的横坐标代入抛物线的表达式中，所得函数值与动点的纵坐标进行比较，判断抛物线与线段交点的个数；也可能将已知动点的纵坐标代入函数表达式，解得x的值，然后与动点的横坐标进行比较，从而判断抛物线与线段的交点个数. 情况一：如图，线段CD（CD≥AB）与抛物线无交点，则线段CD在点A所在与x轴平行的直线上方或线段CD在点B所在与x轴平行的直线下方； 情况二：如图，线段CD与抛物线有一个交点，则点C在AB之间（点C可以与点B重合）或点D在AB之间（点D可以与点A重合）； 情况三：如图，线段CD与抛物线有两个交点，点C在点A所在与x轴平行的直线上方（点C可以与点A重合），点D在点B所在与x轴平行的直线下方（点D可以与点B重合）. 跟踪练习 3.已知抛物线y＝－x2－x＋2交x轴的负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移5个单位长度得到点N，若线段MN与该抛物线只有一个公共点，求点M的横坐标xM的取值范围. 模型三　二次函数表达式不确定的交点问题 解题思路： （1）求出对称轴和特殊点坐标； （2）先找出图象不变的量，再根据开口方向分类讨论； （3）画简图：找到临界位置，列等式求解，最后定范围. 跟踪练习 4.（2023市中二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋3（m为常数）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与拋物线交于另一点B，点M（m＋2，3），N（0，m＋3），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点，则m的取值范围是（　 　） A.0＜m≤2或m＜－2　　 B.0＜m≤2或m≤－2　　 C.0≤m≤2或m≤－2　　 D.0＜m≤2或m＜－2 5.（2024高新二模）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，定义函数y＝是它的相关函数.若一次函数y＝x＋1与二次函数y＝x2－4x＋c的相关函数的图象恰好有两个公共点，则c的值可能是（　 　） A.－1　　 B.0 C. D.2 2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的实际应用 教师版 题型分类过关 类型一　面积问题 1.（2024槐荫二模）某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为20 m，设长方形靠墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　D　） A.y＝20x　　 B.y＝20－2x C.y＝　 D.y＝x（20－2x） 2.（2023外国语模考）用 16 m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形生物园的一边长为x m，则围成长方形生物园的面积为 S m2，选取 6 组数对（a，b）在坐标系中描点，则正确的是（　B　） A. B. C. D. 3.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米. （1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； （2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹. 解：（1）设矩形花园的长为x米，面积为y平方米，则宽为米. 由题意可得y＝x·＝－x2＋40x＝－（x－60）2＋1 200， ∴当x＝60时，y有最大值是1 200， 此时宽为＝20. ∴当长为60米，宽为20米时，花园有最大面积，且最大面积为1 200 平方米. （2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为（1 200－a）平方米. 由题意可得25×2a＋15×2×（1 200－a）≤50 000， 解得a≤700， ∴牡丹最多种植700平方米， 700×2＝1 400（株）. 答：最多可以购买1 400株牡丹. 类型二　抛物线型问题 4.一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m. （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长. 解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x－h）2＋k， 由题意，h＝1，且该二次函数图象过点（0，10）和（3，7）， ∴解得 ∴y关于x的函数表达式为y＝－（x－1）2＋11. （2）令y＝0，则－（x－1）2＋11＝0， 解得x1＝＋1，x2＝－＋1（舍去）， ∴OB＝＋1. 5.（2024天桥一模）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3 m，BC＝4 m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系. 请回答下列问题： （1）如图，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的表达式； 　 （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过点A恰好照射到点C，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长. 解：（1）∵抛物线AED的顶点E（0，4）， 设抛物线的表达式为y＝ax2＋4， ∵四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线， ∴AD＝BC＝4 m，OB＝2 m， ∵AB＝3 m， ∴点A（－2，3），代入y＝ax2＋4，得3＝4a＋4， ∴a＝－，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4. （2）∵四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，FL＝NR＝0.75 m， ∴MN＝FG＝FL＝NR＝0.75 m， 延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABFH均为矩形， ∴FH＝AB＝3 m，FN＝HJ， ∴HL＝HF＋FL＝3.75 m， ∵y＝－x2＋4， 当y＝3.75时，3.75＝－x2＋4，解得x＝±1， ∴H（－1，0），J（1，0），∴FN＝HJ＝2 m， ∴GM＝FN－FG－MN＝0.5 m. （3）∵BC＝4 m，OE垂直平分BC，∴OB＝OC＝2 m， ∴B（－2，0），C（2，0）， 设直线AC的表达式为y＝kx＋b， 则解得 ∴y＝－x＋， ∵太阳光为平行光， ∴设过点K平行于AC的光线的表达式为y＝－x＋m， 由题意，得y＝－x＋m与抛物线相切， 联立整理，得x2－3x＋4m－16＝0， 则Δ＝（－3）2－4（4m－16）＝0，解得m＝， ∴y＝－x＋，当y＝0时，x＝，∴K， ∵B（－2，0），∴BK＝2＋＝（m）. 类型三　有关利润、方案、费用等的最值问题 6.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 50 60 70 … 月销量y（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），将（50，90），（60，80）代入得， 解得 ∴y＝－x＋140（40≤x≤80）. （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 解：（2）设每月出售这种护眼灯所获利润为w元， 依题意可得 w＝（x－40）（－x＋140）＝－（x－90）2＋2 500. ∵－1＜0， ∴当x＝80时，w取最大值，最大值为2 400元. 答：当销售单价定为80元时，所获的利润最大，最大月利润为2 400元. 达标演练检测 1.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　D　） A.5　 B.10　 C.1　 D.2 2.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降　　米，水面宽8米. 3.为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p＝（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x＋10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元. （1）m＝　－2　，n＝　60　； （2）求销售额W元与x之间的函数关系式； （3）在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有多少天？ 解：（2）由题意，得 当1≤x＜20时，W＝pq＝（－2x＋60）（x＋10）＝－2x2＋40x＋600 当20≤x≤30时，W＝30q＝30（x＋10）＝30x＋300. 综上所述，W＝ （3）由（2）得当1≤x＜20时， W＝－2x2＋40x＋600＝－2（x－10）2＋800. ∵－2＜0，∴当x＝10时，W有最大值，最大值为800. 当20≤x≤30时，W＝30x＋300. 当30x＋300＞1 000时，解得x＞23. 又∵x为整数，∴当20≤x≤30时，W随x的增大而增大， ∴第24至30天，销售额超过1 000元，共7天. 4.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长. 解：（1）由题意得顶点P的坐标为（50，2），点A的坐标为（0，17）， 设缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝a（x－50）2＋2， 把（0，17）代入得17＝a（0－50）2＋2，解得a＝， ∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝（x－50）2＋2. （2）∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索L2所在抛物线的函数表达式为y＝（x＋50）2＋2. ∵EF＝2.6 m， ∴把y＝2.6代入得，2.6＝（x＋50）2＋2， 解得x1＝－40，x2＝－60， ∴FO＝40 m或FO＝60 m， ∵FO＜OD，OD＝50 m，∴FO的长为40 m. 5.某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表. 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 【探究发现】x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述，直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）. 【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的探究发现解决下列问题. （1）若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m.若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围. 解：（1）依题意，得－t2＋12t＝0， 解得t1＝0（舍），t2＝24，当t＝24时，x＝120. 答：飞机落到安全线时，飞行的水平距离为120 m. （2）设发射平台相对于安全线的高度为n m， 飞机相对于安全线的飞行高度y'＝－t2＋12t＋n. ∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26. 在y'＝－t2＋12t＋n中， 当t＝25，y'＝0时，n＝12.5 当t＝26，y'＝0时，n＝26.∴12.5＜n＜26. 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m. 提分微专题2　平面直角坐标系中的面积问题 模型一　一条边在坐标轴上（或平行于坐标轴）的三角形的面积 当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时：通常将在坐标轴上的边或平行于坐标轴的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后使用三角形的面积公式直接求解. 与y轴垂直的线段的长：交点的横坐标相减（右减左，如AB的长为xB－xA）. S△ABC＝（xB－xA）·（yC－yA） 与x轴垂直的线段的长：交点的纵坐标相减（上减下，如AB的长为yA－yB）； S△ABC＝（yA－yB）·｜xC｜ 跟踪练习 1.如图，点A（m，4），B（－1，n）分别是反比例函数y＝（x＞0），y＝－（x＜0）的图象上一点，点C与点B关于x轴对称，则△ABC的面积为　4　. 2.如图，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）经过点A（1，0），B（－2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且DE∥y轴交x轴于点E，点F是第一象限内抛物线上一点，且点F到x轴的距离是点D到x轴的距离的倍，求△DEF的面积. 解：∵抛物线y＝ax2＋bx－2经过点A（1，0），B（－2，0）， ∴解得 ∴y＝x2＋x－2＝－， ∴点D的坐标为. ∵DE∥y轴，∴DE＝. ∵点F到x轴的距离是点D到x轴距离的倍，且点F在第一象限抛物线上， ∴yF＝DE＝×＝4. ∵点F在抛物线上， ∴将yF＝4代入y＝x2＋x－2，得4＝x2＋x－2， 解得x＝－3（舍去）或x＝2， ∴S△DEF＝DE·（xF－xE）＝××＝. 模型二　三条边都不在坐标轴上（或不平行于坐标轴）的三角形的面积 当三角形的三边均不与坐标轴平行时：一般采用以下方法将其转化为一边与坐标轴平行的两个三角形面积的和或差.斜线段的长可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解. （1）分割法 S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝（xC－xD）·（yB－yA） S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝（yB－yD）·（xC－xA） （2）补形法 S△ABC＝S△ACD－S△BCD＝（yD－ yC）（xC－xA）－ （yD－yC）（xC－xB）＝（yD－ yC）（xB－ xA） S△ABC＝S△ACD－S△ABD＝（yD－yA）（xC－xA）－（yD－yA）（xB－xA）＝（yD－yA）（xC－xB） （3）和差法 S△ABP＝S△AOP＋S△BOP－S△AOB ＝yAxP＋xByP－xByA. （4）转化法 S△ACB＝S△ABM＝S△ABN（l1∥l2∥l3）. 跟踪练习 3.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（4，3），B（－6，－2）两点，且点C的坐标为（0，5），则△ABC的面积为　20　. 4.如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若D是抛物线的顶点，则△BCD的面积为　15　. 5.如图，直线y＝－2x＋10分别与x轴，y轴交于A，B两点，C为OB的中点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，C两点，交直线AB于点D，连接AC，CD，求△ADC的面积. 解：∵直线y＝－2x＋10分别与x轴，y轴交于A，B两点，即当x＝0时，y＝10，当y＝0时，x＝5， ∴A（5，0），B（0，10）， ∵C为OB的中点，∴C（0，5）， 将A（5，0），C（0，5）代入抛物线y＝x2＋bx＋c中， 得解得 ∴抛物线表达式为y＝x2－6x＋5， 联立解得或 ∴D（－1，12）， ∴S△ACD＝（yB－yC）·（xA－xD）＝×5×6＝15. 提分微专题3　二次函数的最值 模型一　已知函数表达式，在全体实数范围内求最值 若自变量的取值范围是全体实数，则当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点，且当x＝－时，函数取得最小值，y最小值＝；当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点，即当x＝－时，函数取得最大值，y最大值＝. 跟踪练习 1.若二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－3，－1），则b，c的值分别是（　B　） A.b＝6，c＝10 B.b＝－6，c＝－10 C.b＝6，c＝－10 D.b＝－10，c＝6 模型二　对称轴确定，在自变量取值范围内的最值 1.如果对称轴在所给区间范围内，那么在对称轴处取得最值. 2.如果对称轴不在所给区间范围内，那么在所给区间内单调递增或单调递减，应该在区间端点处取得最值. 3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）任意一点到其对称轴的距离记为d，则有：d相等，y值相等；a＞0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a＜0时，d越大，y值越小，d越小，y值越大. 　 跟踪练习 2.（2024章丘一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点.已知二次函数y＝ax2＋6x－（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y＝ax2＋6x－5（a≠0）的最小值为－5，最大值为4，则m的取值范围是（　C　） A.1≤m≤3 B.3≤m≤5 C.3≤m≤6 D.m≥3 3.已知抛物线y＝x2＋bx－5经过点A（－1，0）. （1）求抛物线的对称轴； （2）当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7，求t的值. 解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx－5经过点A（－1，0）， ∴（－1）2－b－5＝0，解得b＝－4， ∴抛物线的表达式为y＝x2－4x－5， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝2. （2）将x＝2代入抛物线y＝x2－4x－5中，得y＝22－4×2－5＝－9， ∵当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7， ∴t与t＋1在对称轴同侧， ①当t＜t＋1＜2时，即t＜1， 抛物线在t＋1处取得最小值，将x＝t＋1，代入y＝x2－4x－5中，得7＝（t＋1）2－4（t＋1）－5，解得t＝5（舍）或t＝－3. ②当2＜t＜t＋1时，t＞2， ∴在t处取得最小值，代入y＝x2－4x－5中，得7＝t2－4t－5，解得t＝6或t＝－2（舍）. 综上所述，t的值为－3或6. 4.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及点G的坐标； （2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 解：（1）∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与y轴正半轴交于点B，∴点B的坐标为（0，c），c＞0. ∵OA＝OB，且点A在x轴正半轴上， ∴点A的坐标为（c，0）. ∵抛物线y＝－x2＋2x＋c经过点A，∴－c2＋2c＋c＝0.解得c1＝0（舍去），c2＝3， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4， ∴抛物线顶点G的坐标为（1，4）. （2）由（1）知抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1. ∵点M，N是抛物线上的两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， ∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6， ∴点M的纵坐标为－5，点N的纵坐标为－21. ∴当点M的坐标为（－2，－5）时，点N的坐标为（6，－21），∴－21≤yQ≤4. 当点M的坐标为（4，－5）时，点N的坐标为（6，－21）， ∴－21≤yQ≤－5. 综上所述，点Q的纵坐标yQ的取值范围是－21≤yQ≤4或－21≤yQ≤－5. 模型三　对称轴不确定，在自变量取值范围内的最值 求抛物线y＝ax2＋bx＋c的最值，自变量的取值范围为m≤x≤n（a＞0为例）. 当－＜m时，x＝m，y最小值为y1＝am2＋bm＋c；x＝n，y最大值为y2＝an2＋bn＋c 当－＞n时，x＝n，y最小值为y1＝an2＋bn＋c；x＝m，y最大值为y2＝am2＋bm＋c 当m≤－≤n，x＝－，y最小值为y1＝，开口向上时，自变量离对称轴的距离越远，函数值越大 跟踪练习 5.（2023历城三模）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n），（x0，m）（x0≠1）在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）上.若m＜n＜c，则x0的取值范围（　C　） A.x0＞2 B.1＜x0＜3 C.2＜x0＜3 D.＜x0＜3 6.已知函数f（x）＝x2－2ax＋5，当x≤2时，函数值随x的增大而减小，且对任意的1≤x1≤a＋1和1≤x2≤a＋1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足｜y1－y2｜≤4，则实数a的取值范围是（　C　） A.－1≤a≤3　　 B.－1≤a≤2　　 C.2≤a≤3　　 D.2≤a≤4 提分微专题4　二次函数与直线、线段的交点问题 模型一　抛物线与x轴的交点问题 1.求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数，自变量的取值范围为全体实数（以a＞0为例）. 一个交点：b2－4ac＝0； 两个交点：b2－4ac＞0； 没有交点：b2－4ac＜0. 2.求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数，自变量的取值范围为m≤x≤n（以a＞0为例）. 一个交点：y1＝am2＋bm＋c≥0，y2＝an2＋bn＋c≤0（等号不同时成立）； 两个交点：y1＝am2＋bm＋c≥0，y2＝an2＋bn＋c≥0，＜0. 　 跟踪练习 1.（2023历下四校联考一模）若二次函数y＝ax2－2x＋5的图象在直线x＝2的右侧与x轴有且只有一个交点，则a的取值范围是（　D　） A.a＜－　　 B.a＝ C.a＜－或a＝　　 D.－＜a＜0或a＝ 2.（2024平阴二模）经过A（2－3b，m），B（4b＋c－1，m）两点的抛物线y＝－x2＋bx－b2＋2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（　B　） A.10　　 B.12 C.13　　 D.15 模型二　二次函数表达式确定的交点问题 1.与确定直线的交点个数：联立两个函数表达式，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断. 2.与确定线段的交点个数：当线段一端固定另一端运动时，将已知动点的横坐标代入抛物线的表达式中，所得函数值与动点的纵坐标进行比较，判断抛物线与线段交点的个数；也可能将已知动点的纵坐标代入函数表达式，解得x的值，然后与动点的横坐标进行比较，从而判断抛物线与线段的交点个数. 情况一：如图，线段CD（CD≥AB）与抛物线无交点，则线段CD在点A所在与x轴平行的直线上方或线段CD在点B所在与x轴平行的直线下方； 情况二：如图，线段CD与抛物线有一个交点，则点C在AB之间（点C可以与点B重合）或点D在AB之间（点D可以与点A重合）； 情况三：如图，线段CD与抛物线有两个交点，点C在点A所在与x轴平行的直线上方（点C可以与点A重合），点D在点B所在与x轴平行的直线下方（点D可以与点B重合）. 跟踪练习 3.已知抛物线y＝－x2－x＋2交x轴的负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移5个单位长度得到点N，若线段MN与该抛物线只有一个公共点，求点M的横坐标xM的取值范围. 解：当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝－2或x＝1， ∴A（－2，0），B（0，2），设直线AB的表达式为y＝kx＋b（k≠0），将A（－2，0），B（0，2）代入， 得解得 ∴直线AB的表达式为y＝x＋2. 如图，当直线MN经过抛物线顶点时，线段MN与抛物线只有一个交点，令x＋2＝，解得x＝， ∴若线段MN与该抛物线只有一个公共点时，此时xM＝. 当点M与点B重合时，线段MN与该抛物线恰有两个交点，此时xM＝0；当点M与点A重合时，线段MN与该抛物线恰有一个交点，此时xM＝－2， ∴点M的横坐标xM的取值范围为－2≤xM＜0或xM＝. 模型三　二次函数表达式不确定的交点问题 解题思路： （1）求出对称轴和特殊点坐标； （2）先找出图象不变的量，再根据开口方向分类讨论； （3）画简图：找到临界位置，列等式求解，最后定范围. 跟踪练习 4.（2023市中二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋3（m为常数）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与拋物线交于另一点B，点M（m＋2，3），N（0，m＋3），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点，则m的取值范围是（　B　） A.0＜m≤2或m＜－2　　 B.0＜m≤2或m≤－2　　 C.0≤m≤2或m≤－2　　 D.0＜m≤2或m＜－2 5.（2024高新二模）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，定义函数y＝是它的相关函数.若一次函数y＝x＋1与二次函数y＝x2－4x＋c的相关函数的图象恰好有两个公共点，则c的值可能是（　D　） A.－1　　 B.0 C. 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