2025年山东省济南九年级中考数学一轮复习 教材考点复习训练 ——二次函数的线段问题（二阶）

2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的线段问题（二阶）学生版 考法探究突破 考法一　单线段最值 1.（1）设函数表达式上动点坐标：设动点的横坐标，代入函数表达式得到动点的纵坐标. （2）表示竖直方向的线段长：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长. （3）表示水平方向的线段长：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长. （4）表示不与坐标轴平行的线段长（斜线段）：第一步：以所求线段长为一边构造直角三角形；第二步：找与其相似的直角三角形（一般情况下，二次函数与坐标轴交点构成的直角三角形与其相似）；第三步：利用三角函数或相似列等量关系求解. 考法二　线段和（差）最值（将军饮马） 2.两定点＋一动点（动点在直线上） （1）两定点A，B位于直线l异侧：如图1，连接AB，与直线l的交点即为P，此时PA＋PB的最小值为AB的长；如图2，作点B关于直线l的对称点B'，作直线AB'，与直线l的交点即为P，此时｜PA－PB｜的最大值为线段AB'的长. 　　　 （2）两定点A，B位于直线l同侧：如图3，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为P，此时PA＋PB的最小值为AB'的长；如图4，连接AB并延长，与直线l的交点即为P，此时｜PA－PB｜的最大值为线段AB的长. 　　　 3.一定点＋两动点（动点分别在两条直线上） （1）如图1，点P是定点，点A，B分别是直线l1，l2上的动点，作点P关于直线l1的对称点P'，作P'B⊥l2于点B，交直线l1于点A，此时PA＋AB的最小值为线段P'B的长. （2）如图2，点P是定点，点A，B分别是直线l1，l2上的动点，分别作点P关于两直线的对称点P'和P″，连接P'P″，与两直线交点即为点A，B，此时△PAB周长的最小值为线段P'P″的长. 　　　 4.两定点＋两动点（动点分别在两条直线上） （1）如图1，点P，Q是定点，点M，N分别是直线l1，l2上的动点，分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q'和P'，连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N，此时四边形PQMN周长的最小值为线段Q'P'＋QP的长. （2）如图2，点A，B分别是直线l1，l2上的定点，点M，N分别是直线l1，l2上的动点，作点A关于直线l2的对称点A'，作点B关于直线l1的对称点B'，连接A'B'交直线l2于点M，交直线l1于点N，此时AM＋MN＋NB的最小值为线段A'B'的长. 　　　 题型分类过关 类型一　单线段最值 1.（2024商河二模节选）如图，点A的坐标为（4，0），抛物线M1：y＝ax2＋bx（a≠0）过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为－6，tan∠OAB＝2. （1）求抛物线M1的表达式； （2）点C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作CD∥x轴交直线AB于点D，设点C的横坐标为h，当CD取最大值时，求h的值. 2.（2023长清一模节选）抛物线 L：y＝－x2＋bx＋c 经过点A（0，3），与它的对称轴直线x＝1交于点B. （1）求抛物线L的表达式； （2）E在直线AN上方的抛物线上，过点E作EH⊥AN，垂足为H，求EH的最大值. 类型二　线段和差最值（含周长最值） 3.（2024槐荫二模节选）如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋2x＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A（3，0），OA＝OC，P是第一象限内二次函数图象上一动点，过点P作PG⊥AB于点G，交AC于点H. （1）求二次函数的表达式. （2）求PH＋HC的最大值. 4.（2024平阴一模节选）已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C. （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值. 5.（2023槐荫一模节选）抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C. （1）求抛物线表达式； （2）如图，连接AC，点P在线段AC上，作直线PQ⊥x轴，与抛物线交于点Q.以线段PQ为边构造矩形PQMN，边MN在y轴上.当矩形PQMN周长最大时，求点P坐标. 类型三　线段比值 6.（2023商河二模节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA. （1）试求抛物线的表达式； （2）直线y＝kx＋1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标. 达标演练检测 1.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋4 与 x 轴交于 A（－1，0），B（点 A在点 B 左侧）两点，与y轴交于点 C，OB＝OC. （1）求 a，b 的值； （2）点 P 是第一象限抛物线上一动点，过点 P 分别作 PD∥x 轴，交抛物线于点 D，作 PE∥y 轴，交x轴于点 E，连接 ED 交直线 BC 于点 F，当 DF＝EF 时，求点 P 的坐标. 2.（2023历城二模节选）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A（－4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC. （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值. 　 3.如图，抛物线y＝－x2＋x＋4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，其对称轴与 x 轴交于点 E，点 P 是抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，连接 BC. （1）求直线 BC 的函数表达式. （2）若点F是直线 BC 上一点，求AF＋EF的最小值及此时点 F 的坐标. （3）过点 P 作直线 l⊥BC 交对称轴于点 G，是否存在点 P，使得直线 BC 垂直平分线段 PG？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的线段问题（二阶）教师版 考法探究突破 考法一　单线段最值 1.（1）设函数表达式上动点坐标：设动点的横坐标，代入函数表达式得到动点的纵坐标. （2）表示竖直方向的线段长：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长. （3）表示水平方向的线段长：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长. （4）表示不与坐标轴平行的线段长（斜线段）：第一步：以所求线段长为一边构造直角三角形；第二步：找与其相似的直角三角形（一般情况下，二次函数与坐标轴交点构成的直角三角形与其相似）；第三步：利用三角函数或相似列等量关系求解. 考法二　线段和（差）最值（将军饮马） 2.两定点＋一动点（动点在直线上） （1）两定点A，B位于直线l异侧：如图1，连接AB，与直线l的交点即为P，此时PA＋PB的最小值为AB的长；如图2，作点B关于直线l的对称点B'，作直线AB'，与直线l的交点即为P，此时｜PA－PB｜的最大值为线段AB'的长. 　　　 （2）两定点A，B位于直线l同侧：如图3，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为P，此时PA＋PB的最小值为AB'的长；如图4，连接AB并延长，与直线l的交点即为P，此时｜PA－PB｜的最大值为线段AB的长. 　　　 3.一定点＋两动点（动点分别在两条直线上） （1）如图1，点P是定点，点A，B分别是直线l1，l2上的动点，作点P关于直线l1的对称点P'，作P'B⊥l2于点B，交直线l1于点A，此时PA＋AB的最小值为线段P'B的长. （2）如图2，点P是定点，点A，B分别是直线l1，l2上的动点，分别作点P关于两直线的对称点P'和P″，连接P'P″，与两直线交点即为点A，B，此时△PAB周长的最小值为线段P'P″的长. 　　　 4.两定点＋两动点（动点分别在两条直线上） （1）如图1，点P，Q是定点，点M，N分别是直线l1，l2上的动点，分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q'和P'，连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N，此时四边形PQMN周长的最小值为线段Q'P'＋QP的长. （2）如图2，点A，B分别是直线l1，l2上的定点，点M，N分别是直线l1，l2上的动点，作点A关于直线l2的对称点A'，作点B关于直线l1的对称点B'，连接A'B'交直线l2于点M，交直线l1于点N，此时AM＋MN＋NB的最小值为线段A'B'的长. 　　　 题型分类过关 类型一　单线段最值 1.（2024商河二模节选）如图，点A的坐标为（4，0），抛物线M1：y＝ax2＋bx（a≠0）过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为－6，tan∠OAB＝2. （1）求抛物线M1的表达式； （2）点C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作CD∥x轴交直线AB于点D，设点C的横坐标为h，当CD取最大值时，求h的值. 解：（1）设AB交y轴于点M. ∵点A坐标为（4，0），∴OA＝4. ∵tan∠OAB＝＝2，∴OM＝2OA＝8， ∴点M的坐标为（0，－8）. 设AB的表达式为y＝kx＋b， ∴解得 ∴AB的表达式为y＝2x－8. ∵点B的纵坐标为－6， ∴把y＝－6代入y＝2x－8得x＝1， ∴点B的坐标为（1，－6）. ∵M1：y＝ax2＋bx（a≠0）过点A，B， ∴解得 ∴抛物线M1的表达式为y＝2x2－8x. （2）∵点C在抛物线y＝2x2－8x上，点C的横坐标为h， ∴C（h，2h2－8h）. ∵CD∥x轴，∴点D的纵坐标为2h2－8h.把y＝2h2－8h代入y＝2x－8，得x＝h2－4h＋4，∴点D（h2－4h＋4，2h2－8h），∴CD＝h－（h2－4h＋4）＝－h2＋5h－4＝－＋. ∵点C为直线AB下方的抛物线上一动点， ∴1≤h≤4，∴当h＝时，CD的最大值为. 2.（2023长清一模节选）抛物线 L：y＝－x2＋bx＋c 经过点A（0，3），与它的对称轴直线x＝1交于点B. （1）求抛物线L的表达式； （2）E在直线AN上方的抛物线上，过点E作EH⊥AN，垂足为H，求EH的最大值. 解：（1）由题意，得解得则抛物线L的表达式为y＝－x2＋2x＋3. （2）过点E作ET∥y轴交AN于点T，由抛物线的表达式知，点N（3，0），则ON＝OA＝3，则∠OAN＝45°. 由点A，N的坐标得，直线AN的表达式为y＝－x＋3.∵ET∥y轴，∴∠HTE＝∠OAN＝45°，又∵EH⊥AN，∴EH＝ET.设点E（x，－x2＋2x＋3），则点T（x，－x＋3）， 则ET＝（－x2＋2x＋3）－（－x＋3）＝－（x－）2＋≤，即ET的最大值为，故EH的最大值为. 类型二　线段和差最值（含周长最值） 3.（2024槐荫二模节选）如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋2x＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A（3，0），OA＝OC，P是第一象限内二次函数图象上一动点，过点P作PG⊥AB于点G，交AC于点H. （1）求二次函数的表达式. （2）求PH＋HC的最大值. 解：（1）∵A（3，0），∴OA＝3. ∵OA＝OC，∴OC＝3，∴C（0，3）. 把A（3，0），C（0，3）代入y＝ax2＋2x＋c，得解得 ∴二次函数表达式为y＝－x2＋2x＋3. （2）如图，过点C作CT⊥PG于点T.设直线AC的表达式为y＝kx＋b， 把A（3，0），C（0，3）代入得解得∴直线AC的表达式为y＝－x＋3.设点P（m，－m2＋2m＋3）（0＜x＜3），则点H（m，－m＋3），∴PH＝－m2＋2m＋3－（－m＋3）＝－m2＋3m.∵OA＝OC，∠COA＝90°，∴∠OCA＝45°.∵PG⊥AB，∴PG⊥y轴，∴CP⊥y轴，∴∠TCH＝45°，∴△CTH为等腰直角三角形，∴CH＝m，∴PH＋CH＝－m2＋3m＋m＝－m2＋（3＋）m＝－＋.∵－1＜0，∴PH＋CH的最大值为. 4.（2024平阴一模节选）已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C. （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值. 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0）， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－5x＋4. （2）∵y＝x2－5x＋4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝.∵△PAC的周长等于PA＋PC＋AC，AC为定长， ∴当PA＋PC的值最小时，△PAC的周长最小.∵A，B关于对称轴对称，∴PA＋PC＝PB＋PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA＋PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点.设直线BC的表达式为y＝mx＋n，则解得 ∴y＝－x＋4.当x＝时，y＝－＋4＝，∴P. ∵A（1，0），C（0，4），∴PA＝＝，PC＝＝，∴＝. 5.（2023槐荫一模节选）抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C. （1）求抛物线表达式； （2）如图，连接AC，点P在线段AC上，作直线PQ⊥x轴，与抛物线交于点Q.以线段PQ为边构造矩形PQMN，边MN在y轴上.当矩形PQMN周长最大时，求点P坐标. 解：（1）将点A（3，0），B（－1，0）代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3. （2）∵抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3， ∴点C的坐标为（0，3）. 设直线AC的表达式为y＝kx＋b. 将A（3，0），C（0，3）代入直线表达式，得解得∴直线AC的表达式为y＝－x＋3. 设P（a，－a＋3），则Q（a，－a2＋2a＋3）， 则矩形PQMN的周长为2（PQ＋PN）＝2（－a2＋3a＋a）＝－2（a2－4a）＝－2（a－2）2＋8， ∴当a＝2时，矩形PQMN的周长取最大值， ∴P（2，1）. 类型三　线段比值 6.（2023商河二模节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA. （1）试求抛物线的表达式； （2）直线y＝kx＋1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标. 解：（1）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－2，0），B（4，0）两点，设y＝a（x＋2）（x－4）.∵OC＝2OA，OA＝2，∴OC＝2OA＝4，∴C（0，4），代入抛物线的表达式得到a＝－，∴y＝－（x＋2）（x－4）或y＝－x2＋x＋4或y＝－（x－1）2＋. （2）如图，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F.∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP， ∴m＝＝.∵直线y＝kx＋1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的表达式为y＝－x＋4.设P（n，－n2＋n＋4），则F（n，－n＋4），∴PF＝－n2＋n＋4－（－n＋4）＝－（n－2）2＋2， ∴m＝＝－（n－2）2＋.∵－＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）. 达标演练检测 1.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋4 与 x 轴交于 A（－1，0），B（点 A在点 B 左侧）两点，与y轴交于点 C，OB＝OC. （1）求 a，b 的值； 解：令x＝0，得y＝4， ∴点C（0，4）. ∵OB＝OC， ∴点B（4，0）. 将点A（－1，0），B（4，0）的坐标代入y＝ax2＋bx＋4中， 得 解得 （2）点 P 是第一象限抛物线上一动点，过点 P 分别作 PD∥x 轴，交抛物线于点 D，作 PE∥y 轴，交x轴于点 E，连接 ED 交直线 BC 于点 F，当 DF＝EF 时，求点 P 的坐标. 解：由（1）可知抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋4， ∵y＝－x2＋3x＋4＝－＋， ∴抛物线的对称轴为直线x＝. 设点P（m，－m2＋3m＋4）， 则点D（3－m，－m2＋3m＋4），点E（m，0）， ∵DF＝EF，∴点F是DE的中点， ∴点F的坐标为， 即. 设直线BC的表达式为y＝kx＋n（k≠0）， 将点B（4，0），C（0，4）代入y＝kx＋n中， 得解得 ∴直线BC的表达式为y＝－x＋4. ∵点F在直线BC上，当x＝时，y＝， ∴＝，解得m＝或m＝，此时－m2＋3m＋4＝5， ∴点P的坐标为或. 2.（2023历城二模节选）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A（－4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC. （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值. 　 解：（1）将A（－4，0）和B（1，0）代入y＝ax2＋bx＋2，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋2. （2）由（1）中抛物线的表达式可知，点C的坐标为（0，2）.∵A（－4，0），C（0，2），∴直线AC的表达式为y＝x＋2，AC＝＝2.设M，则N，∴MN＝－m2－m＋2－＝－m2－2m.∵MQ∥x轴，MN∥y轴，∴∠MQN＝∠CAO，∠NMQ＝∠AOC＝90°，∴△QMN∽△AOC，∴＝＝，即＝＝，∴MQ＝2MN，NQ＝MN，∴C△MNQ＝MN＋MQ＋NQ＝MN＋2MN＋MN＝（3＋）MN＝（3＋）×（－m2－2m）＝－（m＋2）2＋6＋2.∵－＜0，∴当m＝－2 时，△MNQ的周长最大，最大值为6＋2. 3.如图，抛物线y＝－x2＋x＋4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，其对称轴与 x 轴交于点 E，点 P 是抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，连接 BC. （1）求直线 BC 的函数表达式. （2）若点F是直线 BC 上一点，求AF＋EF的最小值及此时点 F 的坐标. （3）过点 P 作直线 l⊥BC 交对称轴于点 G，是否存在点 P，使得直线 BC 垂直平分线段 PG？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）令y＝0，得0＝－x2＋x＋4，解得x1＝－2，x2＝4，∴A（－2，0），B（4，0）.令x＝0，得y＝4，∴C（0，4）.设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，将B，C两点的坐标分别代入，得解得∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋4. （2）如图1，作点A关于直线BC的对称点A'，连接AA'交BC于点M，过点A'作A'D⊥x轴于点D，则A'F＝AF，点M是AA'的中点.∴当A'，F，E三点共线时，AF＋FE＝A'F＋FE的值最小，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴E（1，0）.将x＝1代入y＝－x＋4得y＝3，∴M（1，3）.∵ME∥A'D，∴＝＝＝.∴A'D＝2ME＝6，AD＝2AE＝6，∴OD＝AD－AO＝4，∴A'（4，6），∴A'E＝＝3，∴AF＋EF的最小值为3.设直线A'E的函数表达式为y＝k'x＋b'（k'≠0），将点A'，E的坐标分别代入，得解得∴直线A'E的函数表达式为y＝2x－2. ∵点F为直线BC和直线A'E的交点， ∴联立解得 ∴AF＋EF的最小值为3，此时点F的坐标为（2，2）. 　　 （3）存在，如图2，连接BP，BG，过点P作PI∥x轴，过点B作BI⊥PI于点I，设直线l与BC交于点N.∵直线BC为线段PG的垂直平分线，∴BG＝BP，∠NBP＝∠NBG，∵∠OBC＝45°，PI∥x轴，BI⊥PI，∴∠NBI＝90°－∠OBC＝45°，∴∠NBG＋∠GBE＝∠NBP＋∠PBI，∴∠GBE＝∠PBI.∵∠GEB＝∠I＝90°，BG＝BP，∴△GBE≌△PBI（AAS），∴BE＝BI，∵B（4，0），E（1，0），∴BI＝BE＝3，∴点P的坐标为（m，3）.∵点P在抛物线上，∴3＝－m2＋m＋4，解得m1＝1－，m2＝1＋，∴点P的坐标为（1－，3）或（1＋，3）. 学科网（北京）股份有限公司 $$