精品解析：湖南省长郡十八校2024-2025学年高一上学期12月检测数学试题

2024年秋季高一检测卷 数学 （考试范围：必修一第一章至第五章第1节《任意角和弧度制》 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（ ）. A. B. C. D. 4. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 1.25 D. 1.3125 7. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知命题，则命题成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 若函数，则与是同一个函数 B. 是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 的值域为 11. 已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的定义域是，则______． 13. 在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度（单位：）和所携带的燃料的质量（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式近似满足（为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，约等于，则常数的值为______． 14. 已知函数关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知，且． （1）证明：； （2）求的最小值． 17. 已知函数为奇函数．（e为自然对数的底数，） （1）求的值及函数的值域； （2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； （3）求不等式的解集． 18. 已知函数． （1）当时，若函数恰有两个不同的零点，求实数的值； （2）当时，若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （3）当时，若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季高一检测卷 数学 （考试范围：必修一第一章至第五章第1节《任意角和弧度制》 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的概念求出答案. 【详解】. 故选：B 2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 3. 在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，即可求解. 【详解】由题意，角和的终边关于y轴对称， 则. 故选：D. 4. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B 6. 已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 1.25 D. 1.3125 【答案】D 【解析】 【分析】由零点存在性定理和，得到方程的一个近似根为1.3125. 【详解】由于在R上为连续函数， ，， 且， 而，均不合要求， 故方程的一个近似根为1.3125，D正确 故选：D 7. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数、在上均为增函数， 所以，，， 因为指数函数在上为减函数，则，即， 因此，. 故选：D. 8. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的值域得到故，，，变形后利用基本不等式求出最小值. 【详解】二次函数的值域为， 故，，故， 所以， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为10. 故选：C 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知命题，则命题成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质得到不等式，求出，命题成立的一个充分条件是的子集，得到答案. 【详解】，当时，，满足要求， 当时，需满足，解得， 综上，，命题成立的一个充分条件是的子集， 故，，均满足要求. 故选：ACD 10. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 若函数，则与是同一个函数 B. 是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 的值域为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用函数相等的概念可判断A选项；利用函数奇偶性的概念可判断B选项；利用函数对称性可判断C选项；利用对数函数的值域可判断D选项. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以函数的定义域为， 所以这两个函数的定义域不相同，A错； 对于B选项，因为函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数不是奇函数，B错； 对于C选项，因为， 所以函数的图象关于点对称，C对； 对于D选项，因为当时，， 则，此时，， 当时，，则，， 此时， 综上所述，函数的值域为，D对. 故选：CD. 11. 已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，进而赋值得到；B选项，令得，，B正确；C选项，令，，由定义法得到在上单调递增，C错误；D选项，变形得到，在BC基础上，得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，中，令得， 解得， 令得，解得，A正确； B选项，中，令得， ，故的图象关于轴对称，B正确； C选项，中，令，其中， 则， 因为当时，，且，所以， 所以，， 所以在上单调递增，C错误； D选项，因为，所以， 故， 即， 由BC选项知，在上单调递增，又为偶函数， ，且， 两边平方得， 解得，且， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：ABD 【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的定义域是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 13. 在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度（单位：）和所携带的燃料的质量（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式近似满足（为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，约等于，则常数的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故答案为：3 14. 已知函数关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的性质并作出图象，令，把问题转化为方程有两个不等实根，再确定根所取值情况，结合一元二次方程根的分布求解. 【详解】函数的定义域为，当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在坐标系内作出函数的图象， 令，方程有四个相异的实数根， 则方程有两个不等实根， 函数的图象与直线的图象一共有4个交点， 由图象知，或或， 由，得，解得； 由，得，无解； 由，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 16. 已知，且． （1）证明：； （2）求的最小值． 【答案】（1）证明：已知，且， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，证毕； （2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论； （2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为 17. 已知函数为奇函数．（e为自然对数的底数，） （1）求的值及函数的值域； （2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）证明：设， 则. 因为，所以，于是，，， 所以. 所以即. 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求出，再求出函数值域. （2）利用函数单调性的定义，结合指数函数单调性推理证明. （3）利用函数奇偶性和单调性，把不等式转化为代数不等式，再借助一元二次不等式求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为，所以. 所以 因为，所以，所以. 所以， 因为，所以，即. 所以函数的值域为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由. 因为函数为奇函数，且在上单调递增. 所以 所以. 即所求不等式的解集为： 18. 已知函数． （1）当时，若函数恰有两个不同的零点，求实数的值； （2）当时，若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （3）当时，若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出，分，，，，，等情况，结合函数图象，求出零点个数，得到； （2）根据函数的对称轴和特殊点函数值，得到当，即时，在R上单调递增； （3）分和两种情况，结合函数单调性，得到当时，关于的方程有3个不等实根，即，所以，设，故只需，求出，求出实数的取值范围是. 【小问1详解】 时，， 当时，的对称轴为， 当时，的对称轴为， 当时，， 此时函数图象如下： 其中令，解得或0，满足要求， 令，解得，满足要求，0舍去， 故此时有3个零点，不合要求，舍去； 当时， 故， 令得，满足要求， 令，解得或0（舍去）， 满足恰有两个不同的零点； 当时，， 令，解得或0（舍去）， 令，解得，满足要求， 满足恰有两个不同的零点； 当时，， 画出函数图象，如下： 令，解得或，满足要求， 令得或0（舍去），满足要求， 此时有3个不同的零点，不合题意； 当时，， 画出函数图象，如下： 令，解得或0（舍去）， 令得或0，满足要求， 此时有3个不同的零点，不合题意； 当时，，画出函数图象，如下： 其中令，解得或0（舍去）， 令，解得或0， 故此时有3个零点，不合要求，舍去； 综上，恰有两个不同的零点，则； 【小问2详解】 时，， 当时，的对称轴为， 当时，的对称轴为， 并且， 故当，即时，在R上单调递增； 【小问3详解】 当时，， 的解即为方程的解， 当时，在R上单调递增； 故关于的方程不可能有三个不等的实根， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，关于的方程有3个不等实根， 即， 因为，所以， 设，故只需， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 故若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根， 实数的取值范围是. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $