几何九大模型2024-2025学年人教版数学八年级上册

人教数学八年级上册数学几何模型 一、8字模型 结论:①∠A+∠B=∠C+∠D;②AB+CD<AD+BC 斜8字型(蝴蝶型) 燕尾型 1、如图,已知D是 ABC的BC边的延长线上一点,DF⊥AB,交AB于点F,交AC于点E,∠A=56 ,∠D=30 ,则∠ACB的度数为_ 2、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_ 3、求:∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=_ 1题 2题 3题 2、 燕尾(飞镖)模型 结论:∠BDC=∠A+∠B+∠C 1、将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度数为_ 2、如图,是一块不规则的纸片,∠ABC=∠DEF=80 ,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为_ 3、如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 1题 2题 3题 3、 A字模型 结论:∠DBC+∠ECB=180 +∠A 1、在 ABC中,∠A=75 ,直线DE交AB于D,交AC于E,则∠BDE+∠CED=( ) A.180 B.215 C.235 D.255 2、在 ABC中,E、F分别是AB,AC上的点,则∠1+∠2=224 ,则∠A=( ) A.17 B.44 C.68 D.无法确定 1题 2题 4、 老鹰捉小鸡模型 结论:∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE,翼下两角之和等于上下两角之和 1、如图,把 ABC沿EF折叠,叠合后的图形如图所示,若∠A=60 ,∠1=95,则∠2的度数为( ) A.24 B.25 C.30 D.35 2、如图,将 ABC纸片沿DE 折叠,点A的对应点为A ,若∠B=60 ,∠C=80 ,则∠1+∠2 等于( ) A.40 B. 60 C.80 D.140 1题 2题 五、双角平分线模型结论: 双内角平分线 双外角平分线 内外角平分线 ∠D=90 +∠A ∠D=90 -∠A ∠D=∠A 1、 如图,在 ABC中,∠A=m ,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;∠A2016BC和∠A2016CD的平分线交于点A2017,求∠A2017的度数_。 2、如图1,在 ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,若∠A=82 ,则∠BEC= ;若∠A=a ,则∠BEC= 。 【探究】 (1)如图2,在 ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,若∠A=a ,则∠BEC= ; (2)如图3,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC和∠A有怎样的关系?请说明理由; (3)如图4,O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?请说明理由。 六、角平分线辅助线模型: 特征及做法 图示 结论 做法:往角两边做垂直 AP=BP,OA=OB, APO≌ BPO 特征:在平分线上的垂直 做法:延长 AOB为等腰三角形 做法:平行 OQP为等腰三角形 做法:截长补短 APO≌ BPO 1.如图,在 ABC中:∠ACB=2∠B,∠1=∠2,求证:AB=AC+CD 2.如图,AD是 ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG, ADG和 AED的面积分别为50和39,求 EDF的面积. 3.感知:如图1,AD平分∠BAC,∠B十∠C=180 ,∠B=90 ,易知:DB=DC. 探究:如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180 ,∠ABD<90 ,求证:DB=DC 应用:如图3,在四边形ABCD中,∠B=45 ,∠C=135 ,DB=DC=a;则AB一AC=_(用含a的代数式表示). 7、 一线三垂直模型(证明全等作为突破点) 1.如图,已知矩形中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,,且,,矩形的周长为32cm,求AE的长. 2.如图,在中,,,CF交AB于点E,,,若,,求CF的长. 3.在 ABC中, ,,直线 经过点,且于,于E. (1)当直线 绕点 旋转到图1的位置时,求证: ① ≌ ;② . (2)当直线 绕点 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. 八、“手拉手”全等模型 在直线ABC的同一侧作两个等边三角形 ABD和 BCE,连接AE与CD: 结论: (1) ABE≌ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AGB≌ DFB (5) EGB≌ CFB (6) BH平分∠AHC (7) GF∥AC 1、如果两个等边三角形 ABD和 BCE,连接AE与CD,证明: (1) ABE≌ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 2、如果两个等边三角形 ABD和 BCE,连接AE与CD,证明: (1) ABE≌ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 九、将军饮马中四大模型——最短路径问题 题型一 求两条线段和的最小值 题型二 求两条线段差的最大值 题型三 求三条线段和的最小值(双动点问题) 题型四 最值问题的实际应用 【知识梳理】 一 两定点在直线的异侧 问题1 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 连接AB,与直线l的交点P即为所求。 两点之间,线段最短,此时PA+PB的和最小。 二 两定点在直线的同侧 问题2:将军饮马 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C,连AC,与直线l的交点P即为所求。 化折为直; 两点之间,线段最短,此时PA+PB的和AC最小。 三 两动点一定点问题 问题3:两个动点 作法 图形 原理 点P在锐角∠AOB的内部,在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,使得PC+PD+CD和最小。 作P关于OA的对称点P1,作P关于OB的对称点P2,连接P1P2 。 两点之间,线段最短,此时PC+PD+CD的和最小。 四 造桥选址问题 问题4:造桥选址 作法 图形 原理 直线m∥n,在m,n上分别求点M、N,使MN⊥m,MN⊥n,且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1,连A1B,交n于点N,过N作NM⊥m于M。 两点之间,线段最短,此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。 【题型1:两定一动——作图】 1、(2023•海淀区一模)在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区,现要求在上选取一点P,向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中,使用电缆材料最少的是( ) A.B.C.D. 【题型2:造桥选址问题】 2、如图,和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径AMNB最短的是假定河的两岸是平行线,桥与河岸垂直)( ) 【题型3:两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 3、如图,是等边三角形,D,E分别是边的中点,连接,点P是上一动点,若,则的最小值是( ) A.2 B.4 C.8 D.16 4、如图,直线是中边的垂直平分线,点是直线上的一动点.若,,,则周长的最小值是( ) A.9 B.10 C.10.5 D.11 5、如图,MN是等边三角形ABC的一条对称轴,D为AC的中点,点P是直线MN上的一个动点,当PC+PD最小时,∠PCD的度数是( ) A.30 B.15 C.20 D.35 【题型4:两动一定-求周长/线段和最小值/角度】 6、如图,点P在∠AOB的内部,点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点,线段MN交OA,OB于点E,F。 (1) 若MN=20cm,求 PEF的周长; (2) 若∠AOB=35 ,求∠EPF的度数. 7、如图,四边形ABCD中,∠C=50 ,∠B=∠D=90 ,E、F分别是BC、DC上的点,当 AEF的周长最小时,求∠EAF的度数 答案解析 一、8字模型 1、∠ACD+∠D=∠A+∠AFE 即∠ACD+30=56+90 ,∠ACD=116 ,∠ACB=180-116=64 2、∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于两个中间三角形的内角和,即360 3、 二燕尾(飞镖)模型 1、 根据模型,∠1=对顶角=30 +45 +90 =165 2、 3、∠B+∠F=115 -∠A ∠C+∠E=115 -∠D ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠D+115 -∠A+115 -∠D=230 三A字模型 1、 选C ∠BDE+∠CED=180 +∠A=180+75=255 2、 选B ∠A=∠1+∠2-180=224-180=44 四老鹰捉小鸡模型 1、 选B 延长B’E,C’F交于M,∠1+∠2=∠M+∠A且∠M=∠A,∠2=60+60-95=25 2、 选C ∠1+∠2=∠A’+∠A=2∠A=2x(180 -60-80)=80 五、双角平分线模型结论: 1、 2、 六、角平分线辅助线模型: 1、证明:方法1:在AB上取AE=AC,连接DE,∵AE=AC,∠1=∠2,且AD=AD,∴ ACD≌ AED(SAS),∴ED=CD,∠AED=∠C=2∠B,又∵∠AED=∠B+∠BDE,∴∠B=∠BDE,∴EB=ED,即 BED为等腰三角形.∴BE=ED=CD,∴AB=AE+EB=AC 2、 3、 7、 一线三垂直模型 1、 2、 3、解:(1)证明:①∵AD⊥MN,BE⊥MN, ∴∠ADC=∠CEB=90 , ∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90 , ∴∠DAC=∠ECB, 在 ADC和 CEB中, ∠ADC=∠BEC, ∠DAC=∠ECB, AC=BC, ∴ ADC≌ CEB(AAS); ②∴ ADC≌ CEB ∴AD=CE,CD=BE, ∵DE=CD+CE, ∴DE=AD+BE; (2)不成立,理由如下, 由(1)可得,同理可证 ADC≌ CEB, ∴CD=BE,AD=CE, ∵DE=CE-CD, ∴DE=AD-BE. 八、手拉手模型 1、 2、 九、将军饮马模型 1.A 【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案. 【详解】解:甲、乙位于直线的两侧, 根据两点之间线段最短,连接甲、乙两点,与直线交于点,点即为所求;故选A. 【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理,解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧,在异侧连接两点即可,在同侧需做其中一点的对称点再连接. 2.B 【分析】根据两点之间线段最短、垂线段最短即可得. 【详解】解:由两点之间线段最短、垂线段最短可知,煤炭加工厂到两个村庄路径最短的是: . 故选:B. 【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短,熟练掌握两点之间线段最短、垂线段最短是解 3.C 【分析】连接,由对称性知,,则,当P、B、E三点共线时,最小,从而求得最小值. 【详解】解:连接,如图, 由对称性知,, ∴, 当P、B、E三点共线时,最小,最小值为线段的长. ∵是等边三角形,D,E分别是边的中点, ∴, 即的最小值为8; 故选:C. 4.A 【分析】根据垂直平分线的性质,所以周长. 【详解】∵直线m是中边的垂直平分线, ∴ ∴周长 ∵两点之间线段最短 ∴ ∴的周长 ∵, ∴周长最小为 故选:A 5.C 【分析】作点E关于AD对称的点M,连接CM,与AD交于点F,推出EF+CF最小时即为CM,再根据等边三角形的性质可得结果. 【详解】解:作点E关于AD对称的点M,连接CM,与AD交于点F, ∵ ABC是等边三角形,AD⊥BC, ∴M在AB上, ∴MF=EF, ∴EF+CF=MF+CF=CM, 即此时EF+CF最小,且为CM, ∵AE=2, ∴AM=2,即点M为AB中点, ∴∠ECF=30 , 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题,等边三角形的性质,等腰三角形的性质等知识点的应用,找到CM是解题的关键. 6.解:因为点M,N分别是点P关于直线OA,OB的对称点,所以ME=PE,NF=PF.所以PE+EF+PF=ME+EF+NF=MN=20 cm,即 PEF的周长是20 cm. 解:如图,设MP与OA相交于点R,PN与OB相交于点T. 由(1)知ME=PE,PF=NF,所以∠M=∠EPM,∠N=∠FPN. 所以∠PEF=2∠M,∠PFE=2∠N. 因为∠PRE=∠PTF=90 ,所以在四边形OTPR中,∠MPN+∠AOB=180 . 因为∠MPN+∠M+∠N=180 ,所以∠M+∠N=∠AOB=35 . 所以∠EPF=180 -(∠PEF+∠PFE)=180 -2(∠M+∠N)=180 -35 2=110 7.图,作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于E,交CD于F,则A′A″即为 AEF的周长的最小值.连接AC 因为∠ABC+∠BCA+∠BAC=180 ,∠ADC+∠DCA+∠DAC=180 ,∠ABC=90 ,∠ADC=90 ,∠BCA+∠DCA=50 , 所以∠BAC+∠DAC=130 ,即∠DAB=130 . 所以∠A′+∠A″=180 -∠DAB=50 . 因为∠A′=∠EAA′,∠FAD=∠A″, 所以∠EAA′+∠A″AF=50 . 所以∠EAF=130 -50 =80 ( — 1 — ) 学科网(北京)股份有限公司 $$