专题07 期中考压轴题汇编-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题07 期中考压轴题汇编 选择题压轴题 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在和中，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相较于F，连接OM，则下列结论中：①；②；③；④MO平分，正确的个数有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（    ） ① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤ A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 4．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（    ） A．2 B．2.5 C．4 D．5 5．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，点M，N分别是边上的点，且M，N两点满足，交于点P，过点P作交延长线于点Q，交于点F，与交于点E，若，则下列结论：①连接，则平分；②；③；④．成立的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 填空题压轴 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）①平分；②；③；④． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等；③∠BOC＝90°+∠A；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．⑤AD＝（AB+AC﹣BC）．其中正确的结论是 ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，已知为等边三角形，边长为6，点分别是边上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的2倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为 ．    4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在△ABC中，AB=AC，过△ABC的一个顶点，作一条直线把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC= °. 解答题压轴 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°． (1)在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，△为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P. （1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出的度数； （2）如图2，将△绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为，60<<90，依题意补全图形，并求出的度数；（用含的式子表示） （3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系.（直接写出结果） 3．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC （1）如图1，求C点坐标； （2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA=CQ； （3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标 4．（23-24八年级上·福建漳州·期中）在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE； （2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示） （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积． 5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）定义： 如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”． （1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”． ①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ DE； ②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为 ． （2）猜想论证： 在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．    6．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图（1），连接交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的值； (2)如图（2），当点，，共线时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点，求证：． 7．（23-24八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，连接．    (1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：． (2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：． (3)如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 期中考压轴题汇编 选择题压轴题 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在和中，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相较于F，连接OM，则下列结论中：①；②；③；④MO平分，正确的个数有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=30°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确； 由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ∴， 即， 在和中，， ， ，，①正确； ， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图所示： 则， 在和中，， ， ， 平分，④正确； ∵∠AOB=∠COD， ∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM=∠AOM， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM=∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO=∠BMO， 在△COM和△BOM中，， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB=OC， ∵OA=OB ∴OA=OC 与OA＞OC矛盾， ∴③错误； 正确的个数有3个； 故选择：. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形内角和定理可得；利用三角形的外角性质得到． 【分析】解：∵平分，，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，故正确； 在中，，故错误； 综上，正确，共个． 故选：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（    ） ① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤ A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确． 【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴， ∴，即， ∴， ∴AD=BE， ∴①正确， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴ ， ∴PQ∥AE②正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ，③正确， ∵AD=BE，AP=BQ， ∴ ， 即DP=QE， ∵ ， ∴∠DQE≠∠CDE， ∴DE≠DP，故④错误； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， ∴⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大． 4．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（    ） A．2 B．2.5 C．4 D．5 【答案】B 【分析】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，证明△BDG≌△BDC，即有BC=BG，CD=DG，进而有AG=BC-AB=2，根据GH⊥AC，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，此时GH达到最大，则△AGC的最大面积为：；根据CD=DG，可得，则△ACD的最大面积可求． 【详解】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，如图， ∵BD平分∠ABC，BD⊥CD， ∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°， ∵BD=BD， ∴△BDG≌△BDC， ∴BC=BG，CD=DG， ∵BC-AB=2， ∴AG=BC-AB=2， ∵在△AGC中，GH⊥AC， ∴△AGC的面积， ∵AC=5， ∴， ∵在△AGH中，GH⊥AH， ∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜边为AG， ∴GH＜AG， ∵AG=2， ∴GH＜2， 当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG， 此时GH达到最大， ∴则GH的最大值为2， ∴△AGC的最大面积为：， ∵CD=DG， ∴D点为CG中点， ∴， ∴△ACD的最大面积为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线AG、DG，并判断出当G点与H点重合时GH达到最大，是解答本题的关键． 5．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，点M，N分别是边上的点，且M，N两点满足，交于点P，过点P作交延长线于点Q，交于点F，与交于点E，若，则下列结论：①连接，则平分；②；③；④．成立的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 先证明可得，再证明可得，进而证明得到即可判定①；由可得，然后证明即可判定②；由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的性质即可判定③；先证明可得，再证明可得，然后证明可得，再说明，最后根据线段的和差及等量代换即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∴. ∵，, ∴，即②正确； ∴, ∵，， ∴, ∵, ∴, ∴，即平分，故①正确； ∵， ∴，， ∵，, ∴,即③正确； ∴ ∴， ∴, ∴， ∵，， ∴,即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 如图：连接 ∵,, ∴， ∴, ∵, ∴, ∴,即④正确． 故选D． 填空题压轴 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）①平分；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】①过点作于， ∵平分，平分，，，， ，， ， 点在的角平分线上，故①正确； ②∵，， ， ． 在和中，， ， ， 同理：， ， ， ，②正确； ③∵平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知， ，， ，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定，掌握定理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等；③∠BOC＝90°+∠A；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．⑤AD＝（AB+AC﹣BC）．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据角平分线定义可得∠EBO=∠OBC，结合BE//BC，可得①正确；根据题意可知O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，所以角A的角平分线也必过O点，由角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到②正确；根据三角形内角和变形得到∠ABC与∠ACB的和与∠A的关系，再根据角平分线定义即可得到③正确；过O作AB、BC边的垂线，根据角平分线性质得到OM、ON和OD相等，求出△AEO和△AFO的面积和，即可求出△AEF的面积即可得到④错误；根据②的结论可证三角形全等得到AM＝AD，BM＝BN，CD＝CN，即可得到AB+AC﹣BC等于2AD,变形即可得到⑤正确； 【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF， ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC， ∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF， 故①正确； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故③正确； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确． 可证△AMO≌△ADO，△BMO≌BNO，△CDO≌△CNO ∴AM＝AD，BM＝BN，CD＝CN， ∵AM+BM＝AB，AD+CD＝AC，BN+CN＝BC， ∴AD＝（AB+AC﹣BC）故⑤正确， 故答案为：①②③⑤． ． 【点睛】本题考查角平分线的定义和性质，等腰三角形的判定与性质，此题难度适中，解题的关键注意数形结合思想的应用． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，已知为等边三角形，边长为6，点分别是边上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的2倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：运动速度始终是点运动速度的2倍， 设，则，， 如图，在上截取，连接，，   ， 则，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， （SAS）， ，， ， 作射线，如图所示，   ， 在中，， 取的中点，连接， 则， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 是的角平分线， 即：点在的角平分线上运动， 如图所示，作于，此时，最小，    是的中点， ， 在中，， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，解决问题的关键是构造全等，找到的运动轨迹． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在△ABC中，AB=AC，过△ABC的一个顶点，作一条直线把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC= °. 【答案】36或90或108或 【分析】本题要利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论． 【详解】如图1， 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC，AD=CD=BD， 设∠B=x°， 则∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°， ∴∠CAD=∠C=x°， ∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴x+x+x+x=180， 解得x=45， 则顶角是90°； ②如图2， AB=AC=CD，BD=AD， 设∠C=x°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=x°， ∵BD=AD， ∴∠BAD=∠B=x°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC=2x°， ∴∠BAC=3x°， ∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°． ③如图3， 当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB=AC，BC=BD=AD， 设∠A=x°， ∵BD=AD， ∴∠ABD=∠A=x°， ∴∠CDB=∠ABD+∠A=2x°， ∵BC=BD， ∴∠C=∠CDB=2x°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x°， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180， x=36°， 则顶角是36°． ④如图4， 当∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合， AD=BD，BC=DC， ∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x， 则x+3x+3x=180°， x= ． 综上所述∠A=36°或90°或108°或° 故答案为36或90或108或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 解答题压轴 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°． (1)在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长． 【答案】(1)见解析 (2)PC＝ 【分析】（1）在CA上截取CF＝CB，然后分别以C、F为圆心，AB、AC为半径画弧，两弧的交点为D，从而得到满足条件的△DCF； （2）先利用全等三角形的性质得到DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，证明MN＝DF＝BC，再证明△PMN≌△PCB，所以PC＝PM，从而得到PC＝CF． 【详解】（1）解：如图，△DCF为所作； （2）解：如图2，∵△DCF≌△ABC， ∴DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°， ∴DFBC， 作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图， ∴NP＝NF，MP＝MF， ∴∠NPF＝∠NFP， ∴∠NDF＝∠NFD， ∴ND＝NF， ∴FH＝DH ∵FH＝MN， ∴MN＝FH＝DH＝2， ∴MN＝BC， ∵MNDF， ∴MNBC， ∴∠PMN＝∠PCB， 在△PMN和△PCB中， ， ∴△PMN≌△PCB（AAS）， ∴PC＝PM， 而PM＝MF， ∴PC＝CF＝． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，△为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P. （1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出的度数； （2）如图2，将△绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为，60<<90，依题意补全图形，并求出的度数；（用含的式子表示） （3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系.（直接写出结果） 【答案】（1）30°；（2）作图见解析，∠BDO=α-60°；（3）2PE=BP+PO． 【分析】（1）根据轴对称的性质和等边三角形的性质即可得出结论； （2）由轴对称的性质和等边三角形的性质得出∠BOD=300°﹣2α．在△BOD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论； （3）过A作AQ∥EP交DB的延长线于Q，连接AP．由（2）得：∠OBD=∠BDO=α﹣60°． 通过证明△AOP≌△ABQ，得到AP=AQ，OP=QB，∠OAP=∠BAQ，BP+OP=BP+QB=QP． 通过证明△AQP是等边三角形，得出AQ=PQ=AP=BP+OP，∠QAP=60°，即可得到∠PAE=30°，由30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到AP=2EP，从而得到结论． 【详解】（1）30°．理由如下： ∵A与D关于y轴对称，∴y轴是线段AD的垂直平分线，∴AO=DO，∠AOE=∠DOE． ∵△ABO是等边三角形，∴AB=BO=AO，∠AOB=60°，∴∠AOE=30°，∴∠DOE=30°，∴∠BOD=60°+30°+30°=120°． ∵BO=AO=DO，∴∠BDO=∠OBD=(180°﹣∠BOD)=30°． （2）正确画出图形． ∵∠AOE=∠DOE=α，∠AOB=60°，∴∠BOD=360°﹣2α﹣60°=300°﹣2α． ∵BO=BD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠BDO=(180°﹣∠BOD)=α﹣60°． （3）2PE=BP+PO．理由如下： 过A作AQ∥EP交DB的延长线于Q，连接AP．由（2）得：∠OBD=∠BDO=α﹣60°． ∵△ABO是等边三角形，∴AB=BO=AO，∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，∴∠ABQ=180°﹣60°﹣∠OBD=120°﹣（α﹣60°）=180°﹣α． ∵∠AOE=α，∴∠AOP=180°﹣α，∴∠AOP=∠ABQ． ∵AQ∥EP，∴∠Q=∠EPD． ∵∠APE=∠DPE，∴∠APO=∠Q． 在△AOP和△ABQ中，∵∠AOP=∠ABQ，∠APO=∠Q，AO=AB，∴△AOP≌△ABQ，∴AP=AQ，OP=QB，∠OAP=∠BAQ，∴BP+OP=BP+QB=QP． ∵∠BAO=∠BAP+∠OAP=60°，∴∠BAP+∠BAQ=∠PAQ=60°． ∵AQ=AP，∴△AQP是等边三角形，∴AQ=PQ=AP=BP+OP． ∵AQ∥EP，∴∠APE=∠QAP=60°． ∵∠AEP=90°，∴∠PAE=30°，∴AP=2EP，∴2EP=BP+OP． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及30°角所对直角边等于斜边的一半．证明△AQP是等边三角形是解题的关键．第（3）问难度比较大． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC （1）如图1，求C点坐标； （2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA=CQ； （3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标 【答案】（1）(1，-4)；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）作CH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C点坐标； （2）证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的性质得到PA=CQ； （3）根据C、P，Q三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP，得到P点坐标． 【详解】解：(1)作CH⊥y轴于H， 则∠BCH+∠CBH=90°， 因为， 所以.∠ABO+∠CBH=90°， 所以∠ABO=∠BCH， 在△ABO和△BCH中， :BH=OA=3，CH=OB=1， :OH=OB+BH=4， 所以C点的坐标为（1，-4）； (2)因为∠PBQ=∠ABC=90°， 在△PBA和△QBC中， :.PA=CQ； (3) 是等腰直角三角形， :所以∠BQP=45°， 当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°， 由（2)可知，； 所以∠BPA=∠BQC=135°， 所以∠OPB=45°， 所以.OP=OB=1， 所以P点坐标为（1，0) ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期中）在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE； （2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示） （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积． 【答案】（1）见解析；（2）∠DEC =60°＋α；（3）2 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论． （2）证明∠ECD＝60°，∠CDE＝∠CAE＝60°−α，可得结论． （3）证明BC＝CD，AF＝DF，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：如图2中，设AE交CD于O． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝180°−∠ABC＝120°， ∴∠ACE＝120°， ∴∠DCE＝∠ACE−∠ACB＝60°， ∵∠AOC＝∠DOE，∠ACO＝∠DEO＝60°， ∴∠EDC＝∠CAO＝60°−α， ∴∠DEC＝180°−∠EDC−∠ECD＝180°−（60°−α）−60°＝60°＋α； （3）解：如图3中， ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠B＝∠ADE＝60°，AC＝BC， ∵ED⊥BD， ∴∠EDB＝90°， ∴∠ADB＝90°−60°＝30°， ∴∠BAD＝180°−∠B−∠ADB＝90°， ∵∠ACB＝∠CAD＋∠CDA＝60°， ∴∠CDA＝∠CAD＝30°， ∴CA＝CD， ∴CB＝CD， ∴S△ACD＝S△ABC＝4， ∵EA＝ED，CA＝CD， ∴CE垂直平分线段AD， ∴AF＝DF， ∴S△ACF＝S△ACD＝2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）定义： 如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”． （1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”． ①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ DE； ②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为 ． （2）猜想论证： 在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．    【答案】（1）①AM＝DE ；② 3；（2）AM＝DE． 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得AM=BM=CM=12BC，由全等三角形性质可得BC=DE，即可求解； ②由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （2）过点A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性质可得∠DAN=∠DAE，ND=DE，由全等三角形的性质可得ND=AM，则可得结论． 【详解】（1）①∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝90°； ∴∠EAD=90° ∵AB=AC，∠BAC＝90° ∴△ABC为等腰直角三角形 ∵AM⊥BC ∴AM=BC 在△ABC与△AED中， ∵ ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴BC=ED ∴AM＝DE． ② ∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°； ∴∠EAD=60° ∵AD=AE ∴△AED为等边三角形 即：ED=AE=6 ∴AB=AC=AE=6 ∵∠BAC＝120°，AB=AC，AM⊥BC ∴∠ABM=30° ∴AM＝AB=3． （2）猜想：结论AM＝DE． 理由如下：如图，过点A作AN⊥ED于N    ∵AE＝AD，AN⊥ED ∴∠DAN＝∠DAE，ND＝ED 同理可得：∠CAM＝∠CAB， ∵∠DAE+∠CAB＝180°， ∴∠DAN+∠CAM＝90°， ∵∠CAM+∠C＝90° ∴∠DAN＝∠C， ∵AM⊥BC ∴∠AMC＝∠AND＝90° 在△AND与△AMC中， ∴△AND≌△AMC（AAS）， ∴ND＝AM ∴AM＝DE 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，运用“顶补等腰三角形”的定义解决问题是本题的关键． 6．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图（1），连接交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的值； (2)如图（2），当点，，共线时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点，求证：． 【答案】(1)①见解析；②； (2)见解析． 【分析】（1）①先由等边三角形的性质得，，从而求出的度数，再根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求解即可； ②先根据等腰三角形三线合一得出，设，从而求出，，得到，即可得到结论； （2）过点作于点，先证明，得，再证明，得出，即得出结论． 【详解】（1）①设， ，为中线， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ②过点作于点， ， ， 设， ， ， ， 是的中点， ，， ，，为中线， ，， ， ， ； （2）过点作于点， ， 点，，共线，， ． ，是中线， ，，， 在和中 ， ， ， 为等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质是解题的关键． 7．（23-24八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，连接．    (1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：． (2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：． (3)如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，， 【分析】（1）欲证明已经有一边，一角相等，只要证明即可． （2）如图②中，过分别作于点，作于点，由，推出．因为，，推出平分，由此即可证明． （3）结论：当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，，分两种情况讨论，连接，证明，推出即可． 【详解】（1）证明：如图①中，    即， ， ． 在与中， ， ， （2）证明：过分别作于点，作于点，如图②．    由（1）中结论，得， 在与中， ， ， ． ，， 平分， ， ， ． （3）结论：当点在线段上时，． 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段上时，理由如下：连接，如图：    ，，为的中点， ，，， ， 即， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 当点在线段的延长线上时，理由如下：连接，如图：    ，，为的中点， ，，， ， 即， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$