第27章 圆 知识清单-【中考123】2024-2025学年九年级下册数学全程导练（华东师大版）

第27章 第27章知识清单 一、圆的有关概念 点P在⊙0内d<r;点P在⊙0上曰d=r: 在一个平面内，线段OA绕着 点P在⊙0外曰d>r 固定的一个端点0旋转一周，另 2.过三点的圆 一个端点A随之旋转所形成的图 不在同一条直线上的三个点确定一个圆， 形叫做① 固定的端点 四、直线和圆的位置关系 O叫做圆心，线段OA叫做半径 直线和圆有三种位置关系，具体如下： 与圆有关的概念包括直径、弦、弧、半圆等。 (1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线 二、圆的有关性质 和圆相交，这时直线叫做圆的⑥ 1.圆的对称性： 公共点叫做交点， (1)圆的轴对称性：圆是② 图形，它 (2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线 的任意一条直径所在的直线都是它的对 和圆相切，这时直线叫做圆的⑦) 称轴。 (3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和 (2)圆的中心对称性：圆是以③ 为对 圆相离。 称中心的中心对称图形 如果⊙0的半径为r,圆心O到直线1的距 2.垂径定理及其推论 离为d,那么： 垂径定理：垂直于弦的直径④ 这条 直线1与⊙0相交→d<r;直线1与⊙0相切 弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 台d=r;直线l与⊙0相离→d>r. 推论1： 五、切线的性质、判定及有关计算 平分弦（⑤ )的直径垂直于这条弦， 1.切线的判定定理： 并且平分这条弦所对的两条弧 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直 3.弧、弦、圆心角之间的关系 线是圆的切线 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 2.切线的性质定理： (2)弧、弦、圆心角之间的关系定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 3.切线长定理： 相等，所对的弦相等。 过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的两个圆 长相等。 心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么 六、三角形的内切圆、内心及内切圆半径 它们所对应的其余各组量都分别相等 1.定义：和三角形的各边都相切的圆叫做这个三 4.圆周角定理及其推论 角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切 (1)圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相 角形 交的角叫做圆周角 2.三角形的内心： (2)圆周角定理： (1)定义：三角形的内切圆的圆心叫做 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 ⑧ 角相等，都等于该弧所对的圆心角的一 (2)实质：三角形的内心是三角形三条⑨ 半：相等的圆周角所对的弧相等. 的交点， 推论1：90的圆周角所对的弦是直径， (3)性质： 推论2：圆内接四边形的对角互补. ①三角形的内心到三边的距离都 三、点和圆的位置关系 0 1.设⊙O的半径是r,点P到圆心0的距离是d, ②三角形的内心与一个顶点的连线平分 那么： 相应内角， 见此图标图组林音/微信扫码领取你的考场冲刺攻略！ 69 0中春123 龟呈程写练了数学·华师版·九年级下册 如图，当点I是△ABC的内心时，BI平2.正n边形的有关计算 分∠ABC,AE=AF,BD=BF,CD=CE. 设正n边形的半径为R(已知)，则： (1)正n边形的每个内角=（n-2)·180 (2)中心角&，=360° n 0 七、三角形的外接圆、外心及外接圆半径 (3)边长a,=2R·in1809 n 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 a B (4)边心距r。=R·cos 180° 外接圆.三角形外接圆的圆心是三角形三条边 的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的 (5)周长C,=na,=2nR·sin1809 外心. n 实质：三角形的外心是三边① 的交点， (6)面积S,=n.1 20=2 n·rn 性质：三角形的外心到三个顶点的距离② .180°180° 位置：锐角三角形的外心在三角形的B =nR2.sin- n 钝角三角形的外心在三角形的④ 十二、求不规则图形（阴影部分）的面积 直角三角形的外心是斜边的⑤ ； 不规则图形通常由三角形、四边形、弓形、扇 直角三角形外接圆半径等于斜边的 形、圆、圆弧等基本图形组合而成，在求不规则图 6 形（阴影部分）的面积时，要注意观察和分析图 八、圆内接四边形 形，会分解和组合图形.现介绍几种常用的方法. 圆内接四边形的对角互补，任一外角等于 1.转化法 它的内对角。 通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规 九、弧长公式、扇形面积公式 则的图形转化成与之面积相等的规则图形，再 1.弧长公式：n°的圆心角所对的弧长1= 利用规则图形的面积公式，计算出不规则图形 ① 的面积 2扇形面积公式：Sa影360aR=R, n 2.和差法 有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规 其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半 则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的， 径，1是扇形的弧长 再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从 十、圆锥的有关计算 而达到化繁为简的目的 S圆维熊=T,S圆维全=S圆锥鹅十S底 3.重叠法 其中1是圆锥的母线长，r是圆锥底面圆的半径 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求 十一、正多边形和圆 面积的规则图形的重叠部分的方法，这类题中 1.正多边形的定义及其有关概念 的阴影一般是由几个图形叠加而成.要准确认 各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多 清其结构，理顺图形间的大小关系 边形 4.补形法 正多边形的一些基本概念： 将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的 中心一正多边形外接圆（或内切圆）的 面积求出原不规则图形的面积 圆心 5.拼接法 半径一正多边形的外接圆的半径 6.代数法 边心距- 一正多边形的内切圆的半径， 将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知 数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面 中心角一正多边形每一边所对的外接圆中 积的方法 的圆心角， ⊙70 见此图标围抖音/微信扫码领取你的考场冲刺攻路！2.(1)证明：如答图.连结0D, 11.证明：(1)在△ABC中，，BC=9,AC=12,AB=15 易证△AOE≌△DOE, .BC2+AC=225.AB2=225. .∠OAE=∠0DE=90°， .BC2+AC=AB,.△ABC是直角三角形 即OD⊥DE (2)连结OD,DE⊥DB,∠BDE=90°， 0D是⊙0的半径， ∴BE是⊙0的直径 2题答图 .ED是⊙O的切线 :BD平分∠ABC,∠ABD=∠DBC (2)解：在△OAE中，∠OAE=90°，OA=3,AE=4, OB=OD,∠OBD=∠ODB, 由勾股定理，得0E=5. ∴.∠ODB=∠DBC..OD∥BC ,∠ACB=90°.，∠AD0=90 ,AB是直径.∴，∠ADB=90°，即AD⊥BC OD是半径，∴AC是⊙0的切线. :OA=OD.AE=DE,.OE垂直平分AD 第27章中考模拟单元测 .OE⊥AD.OE∥BC, 1.B2.B3.A4.B .BC=20E=2×5=10,即BC的长度是10. 5.C解析：连结OP、OC,根据切线的性质求出∠APO、∠POB. 3.(1)解：CD=83. 根据园周角定理求出∠POC、∠BOC即可. (2)证明：，PE是⊙0的切线，∴.∠PE0=90° 6.D7.C ∴.∠PEF-90-∠AEO,∠PFE=∠AFB=9Y-∠A OE=OA,∠A=∠AEO,∠PEF=∠PFE, 81或69.6万m10.150°1.135012号 ∴.PE=PF 13.(1)证明：如答图，连结0C 4.(1)证明：如答图，连结0C :直线CD切⊙0于点C.∴.OC⊥CD 易证△OAP≌△OCP .CD⊥AD,.OC∥AD,..∠1=∠3. ,0A=0C,.∠2=∠3， ∴.∠OCP=∠OAP. ∴，∠1=∠2，，AC平分∠BAD :PA是⊙O的切线 (2)解：连结OE,CE,如答图 .∠0AP=90°， ∴.∠0CP=90°， ∠1=∠2.CE=BC 4题答图 即OC⊥PC. E是AC的中点，AE=C正，CE=BC=E. OC为半径，∴PC是半圆0的切线 .∠AOE=∠EOC=∠B0C=60°， (2)解：由题意知0B=0C=5,∠F=30°， ,△AOE和△COE都是等边三角形. ∴.OF=20C=10.∴，BF=0F-0B=5. .∠0CE=60°. 第27章知识清单 在Rt△CDE中，∠DCE=90°-60°=30°， 一，①圆 CD=3DE =3. 二，1.②轴对称③圆心 ∠EA0=60°，.∠1=∠2=30°. 2.④平分⑤不是直径 AC=2CD=25. 四、⑥糊线⑦切线 六，⑧三角形的内心⑨内角平分线0相等 七，①垂直平分线2相等3内部 外部5中点0一半 九，n 180 第27章易错强化训练 13题答图 1.2W5cm或4√5m2.53.30°或150 第28章样本与总体 4.C5.C6.D7.B8.C 28.1抽样调查的意义 1.C 9.解：∠A=40°. 2.抽样调查 10.解：连结OD,OE,OF,则OD=OE=OF 3.C :⊙O是△ABC的内切圆， 4.60 ∴，AD=AF,BD=BE,CE=CF 5.D6.D7.A8.C9.B10.B11.B12.D ∠C=90°，四边形OECF为矩形 13,解：(1)抽样调查.(2)抽样调查.(3)普查 OE=OF,四边形OECF为正方形， 14.解：(1)这样选择样本合适，此样本分布均匀、具有代表性. 即OE=OF=EC=CF (2)不合适，因为这样选取的样本比较特殊，不具 又.·∠C=90°，AC=10,BC=24 代表性. .AB=26,..OE+OF=AC+BC-AB=8, (3)不合适，应分年级随机抽取.有不同的年龄层次，比 ∴.⊙0的半径为4 较有代表性 ·21·