第一章 直角三角形的边角关系 知识清单+易错强化训练-【中考123】2024-2025学年九年级下册数学全程导练（北师大版）

第一章 第一章知识清单 一、直角三角形的性质 3.锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记 1.直角三角形的两个锐角① 作tanA,即 2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 tan A= ∠A的对边-a 边的② ∠A的邻边-b 4.锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角 3.直角三角形斜边上的中线等于③ 函数 4.勾股定理： 四、锐角三角函数的增减性 在平面上一个直角三角形中，两个直角边边长 当角度在0°~90°之间变化时， 的平方加起来等于斜边长的平方，如果设直角 1.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或 三角形的两条直角边长分别是a和b,斜边长 减小) 为c,则④ 2.余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或 二、直角三角形的判定 增大) 1.判定方法1： 3.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或 有一个角为⑤ 的三角形是直角三 减小). 角形 五、解直角三角形 2.判定方法2： 1.解直角三角形的概念 若a2+b2=c2,则以a,b,c为边的三角形是以 在直角三角形中，除直角外，一共有五个 c为⑥ 的直角三角形 元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中 3.判定方法3： 除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过 一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的 程，叫做解直角三角形 ⑦ ,则这个三角形是直角三角形 2.解直角三角形的理论依据 三、锐角三角函数的定义 (1)锐角间的关系：直角三角形的两个锐角 如图，在△ABC中，∠C=90 互余； B (2)边之间的关系：勾股定理： 斜边 (3)边角间的关系：锐角三角函数 a∠A的对边 ∠B的邻边 3.一些基本概念 (1)当从低处观测高处的目标时，视线与水平 ∠A的邻边 线所成的锐角称为⑧ ;当从高处 ∠B的对边 观测低处的目标时，视线与水平线所成的 1.锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记 锐角称为⑨ 作sinA,即 (2)坡面与水平面的夹角叫做坡角：坡面的铅 inA=∠A的对边=a 直高度与水平宽度的比叫做坡度或坡比； 斜边 (3)从指北方向顺时针转到目标方向的水平 2.锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记 角叫做① :指北或指南方向线与 作cosA,即 目标方向线所成的小于90°的水平角叫做 cosA=∠A的邻边=b 斜边 方向角.例如“北偏东30”等. 见此图标组抖青/微信扫码领取你的考场冲刺攻酷！ 21 0中春123 龟全程写练了数学·北师版·九年级下册 第一章易错强化训练 易错点1混淆斜边和直角边 易错点3混淆特殊角的三角函数值 1.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对 4.sin30°的值是 边.若a2+b2=c2,则下列结论正确的是 ( A 马 c A.c·sinA=a B.b·cosB=c 5.sin30°+cos30°+tan60°= C.c·tanA=b D.c·tanB=b 6.计算：sin230°+sin260°+1-21-(3.14-π)° 易错点2忽略直角三角形的条件 +2c0s45°. 2.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个 角，则sin∠AOB的值是( 号 B② D③ 3 2题图 3.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a, b,c,且a:b:c=3:4:5,求证：sinA+sinB=了 易错点4测量物体的高度时漏掉测量工具的 高度 错误证法：设a=3k,b=4k,c=5k(k>0), 7.李明带领小组成员做测量电线杆高度的活动， 则血4=8费号血8=名数=号 =。=5k=5 如图，在离电线杆21m的点D处，用高1.2m 所以sinA+sinB= 3.47 的测倾器CD测得电线杆顶端A的仰角α= 5+5=5 30°，求电线杆AB的高.（结果保留根号) 正确证法： Ta..... D 7题图 ⊙.22 见此图标组并音/微信扫码领取你的考场冲刺攻路！数学·北师版·九年级下册·参考答案 11.解：分两种情况： 7.解：过点C作CE⊥AB于点E, 如答图①，当∠ABC为钝角时 CE =DB =21 m,CD BE =1.2 m. 由题可知AD=25,BD=2,CD=5, 在Rt△ACE中，a=30°，CE=21m, .AC=CD+AD=5+25, AE=CE·tan30°=73m, AB=AE+BE=(75+1.2)m 六Sae=28DAC=5+25 第一章中考模拟单元测 如答图②，当∠C为钝角时. 1.A2.B3.B4.A 同理可得SAc=24C,m=2,5-5. 1652g 8.5⑧9.25或5 3 10 10 解析：廷长AD至，点E,使AD=DE,连接CE,故△ABD≌ △ECD,可知△AEC是等腰三角形.过，点A作AF⊥EC,过点 C D作DHLEC由架-器桌出的长度又由于∠RD 11题答图① 11题答图② =∠DEC,进而求出∠BAD的正切值 12.解：分两种情况： 11.6 如答图①，当∠BAC为锐角时， 12.解：如答图，过点A作AE⊥MN于点E,过点C作CF⊥MN于 在△ABC中，AB的垂直平分线DE与AC所在直线交于 点F 点EAE=BE,AD=BD=24B, 设ME=x,在Rt△AME中，∠MAE=45°， ÷AE=ME=x,.在Rt△MCF中，MF=x+0.2, AD 3 DE=tan LAED=子 cp6-5+a2 设AD=3x,DE=4x,由勾股定理，得9x2+16x2=52, .BD=AE+CF,∴.30=x+√3(x+0.2), 解得x=1,.AD=3,AC=AB=6, 解得x=11.0,即AE=11.0, ..BE+CE=AE+CE=AC=6; ∴，MN=11.0+1,7=12.7s13(m) 如答图②，当∠BAC为钝角时， 同理可得BE+CE=16. 45o 30 C N D 12题客图 13.解：(1)如答图，过点A作AH⊥MN于点H. 12题答图① 12题答图② ∠QMB=30°，∠QMA=60°， 第一章知识清单 .∠NMA=∠QMA-∠QMB=30°. ①互余②一半③斜边的一半 在R△AMH中， ④a2+b2=c2⑤90°⑥斜边⑦一半 ∠AHM=90°，∠AMH=30°，AM=80海里， ⑧仰角⑨俯角0方位角 第一章易错强化训练 A=之AM=40海里， 1.A2.B ·点A到航线MN的距离为40海里. (2)在Rt△AMH中， 3.证明：设a=3k,b=4k,c=5k(k>0). ∠AHM=90°，∠AMH=30°，∴∠HAM=60°. a2+b=(3k)2+(4k)2=252=c2, 'LMAB=15°，∴∠HAB=∠HAM-∠MAB=45. △ABC是以c为斜边的直角三角形，即∠C=90°， ∠AHB=90°，.BH=AH=40海里. 则simA=a=3k-3 c=5=5' 由(1)知MH=3AH=403海里， 8inB=6=4k_4 .MB=(405-40)海里. c=5k=5, 北 M 东 4.A 5分9 Q 6.解：原式=2+2. 13题答图 ·8