上海市东昌中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

东昌中学高二月考数学试卷 2024.12 一.填空题 1.用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图OABC如图， 若在直观图中BC=4cm,则AB= cm 2.若球0、O,表面积之比丛=9 则它们的半径之比 S249 R 3.过点(3,2)倾斜角为的直线方程是 中，∠BAC=,BC=5,AC=4,则△ABC绕AB旋转一周 体积为 5.已知△ABC在平面上，平面a外一点P满足PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点P在平 面aL上的投影点O是△ABC的 (请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个) 6.函数f)= ,x∈(1，+oo)的值域是 x+1 7.己知直线1过点P(3,4),且与以A(-1,0),B(2,1)为端点的线段AB有公共点，则直线1 的斜率k的取值范围是 若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程是y=2x-3,则f(2)+f'(2)= 8 9.设@>0，f)=sin®，若函数y=fw),x∈[-于的最大值为1，但最小值不为 -1,则o的取值范围是 10.已知t∈R,A、B、C三点不共线，O为平面ABC外任意一点.若 AP=-OA+OB+OC,且A、B、C、P四点共面，则t= 1L.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a、b,且a、b是异面直线，则a、b所成 角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 12.一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与 每个正三角形所成的二面角的大小均为B.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围 成一个十面体，则cos0的值为 二.选择题 13.直线2x-y+2=0在x轴上的截距是() A.-1 B.1 C.-2 D.2 14.已知直线l的方向向量为m,平面a的法向量为n,则“m·n=0”是“l∥a”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.将函数y=sin(4x+)的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿 着x轴向右平移严个单位，得到的函数的一个对称中心可以是( B.(，0 C. 5π D. 6 0 2 16.如图，在棱长为10的正方体ABCD-A,B,CD,中， D M为棱CD的中点，点P在侧面ADDA上，且到AA B 与AD,的距离均为3，则过点P且与AM垂直的平面 截正方体所得截面的形状是() A.三角形B.四边形 C.五边形D.六边形 三.解答题 17.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(3,3),B(2,1),B、C关于原点O对称。 (1)求BC边上的高所在直线的点法式方程： (2)已知过点B的直线I平分△ABC的面积，求直线I的一般式方程 18.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为 旋转轴旋转120°得到的封闭图形 (1)设BC=1,AB=2,求这个几何体的表面积： (2)设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点， G 且AP⊥BE.求异面直线AG与BP所成角的大小 19.已知f(x)=x2+2|x-a|,a为常数. (1)若y=f(x)为偶函数，求a的值： (2)设a>0,g)=四，若函数y=g,xe(0,a为减函数，求实数a取值范围 20.如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且SA=AB=BC=2, AD=1,M是棱SB的中点. (1)求点A到平面SBC的距离： (2)求平面SBC与平面SAD所成的锐二面角的余弦值： (3)设N是棱CD(含端点)上的动点，求直线AD与 平面AMN所成角的大小的取值范围， D 21.若函数y=f(x)在x=x,处取得极值，且f(x)=x,(常数∈R),则称x,是函数 y=f(x)的“相关点”. (1)若函数y=x2+2x+2存在“入相关点”，求九的值： (2)若函数y=a2-2nx（常数k∈R)存在“1相关点”，求k的值； (3)设函数y=f(x)的表达式为f(x)=ax3+bx2+cx(常数a、b、c∈R且a≠0)，若函 数y=f(x)有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点P1,2)存在3条直线与曲线 y=f(x)相切，求实数a的取值范围. 参考答案 一.填空题 1.2 2. 3-7 3.x=3 4.16π 5.垂心 6023 7.[1,3] 8.3 9 152 1.0,23’2 12. 5-V6 【第12题】 【详解】一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成， 并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为0 过点A作底面的垂线，垂足为B,O、O分别为上下底面正方形的中心 连接AO、BO,BO交CD于F,连接AF,如图所示， 由题意得AF⊥CD,OF⊥CD 所以∠AFO即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角； 所以∠AFO=0,所以sinO=sin∠AFB 由三角形都为正三角形得AO'=BO,AF=√3CF, 设正方形边长为2a,则B0=√2a,F0=a,所以BF=√2a-a,AF=5a, 所以co0=-BF-V2-1.5-V6 3 二.选择题 13.A 14.B 15.D 16.B 【第16题】 【详解】以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系D-xz, 其中M(0,5,0),A(10,0,10),A(10,0,0),D(0,0,10),P(7,0,7). D 设平面截AD于H,平面截A4于N,AF=(-10,5,-10), R B 设M(,0,10),则MP=(7-t,0,-3),且MP·4H=0. D 即-10(7-)+(-3)×(-10)=0，解得t=4,即H(4,0,10) M C =Hm,Hm=(3,0,-3),则N3+4,0,10-3). B 其中3元+4=10，得元=2，则N(10,0,4), 设平面截CB,于R,平面截BB,于Q, 设R(s,10,10),HR=(s-4,10,0),同理HR.AM=-10(s-4)+50=0,得s=9, 设Q10,10,),N0=(0,10,1-4),同理N0·AM=50-10l-4)=0,得1=9， 则R(9,10,10),Q(10,10,9). 三.解答题 17. 【详解】(1)因为B,C关于原点O对称，所以C(-2,-1),BC=(-4,-2), 所以BC边上高的直线法向量取(2，) 因为A(3,3),所以BC边上高所在直线的点法式方程为 2(x-3)+(y-3)=0 (2)因为过点B的直线I平分△ABC的面积， 所以直线1经过边AC的中点(，1)， 又B(2,1),所以直线1的方程y-1=0 18. 12π 【详解】(1)上下两个扇形的面积之和为：2×二× A 23 3 两个矩形面积之和为：4侧面圆弧段的面积为：2”×2=4红 3 3 故这个几何体的表面积为： 2π，4π 3+3 +4=4+2π (2)如下图，将直线AG平移到下底面上为BG 由AP⊥BE,且BE⊥AB,AP∩AB=A,可得：BE⊥面PAB B 则∠PBE=元，而G是弧DF的中点，则∠FAG= 由于上下两个平面平行且全等，则直线AG与直线BP的夹角等于直线BG,与直线BP的夹角，即 ∠P8G,为所求，则∠P8G,-受号名则直线AG与直线BP的夹角为 19 【详解】(1)f(x)的定义域是R,若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x) 即(-x)+2-x-ad=x2+2x-a,即r+a=r-d,两边平方并化简得2ar=0,所以a=0, 2g=f国.+2-4=x42l9 由于a>0,当0<x≤a时，≥ ≥1，21,1-s0. x2 若函数y=g(,xE(0,d为减函数，则a≤0，解得0<a≤2. a>0 20. 【详解】(1)求点A到平面SBC的距离： 法一：设平面SBC的法向量为元=(x,y,z), S8=(2,0,-2).SC=(2,2,-2,AB=(2,0,0) m·SB=2x-2z=0 于是有 →m=(1,0,1). m.SA=2x+2y-2z=0 所以点4到平面SBC的距离为m 2 m?+12 =2 法二：设点A到平面SBC的距离为X, VA-snC=Vs-ABc.SAswc=SMncSA2.2x=2.2.x= 所以点A到平面SBC的距离为√2 法三：：BC⊥平面SAB,又：AM⊥交线SB,.AM⊥平面SBC,.AM是点A到平面SBC 的距离。等腰直角三角形SBA中，.AM=√2，所以点A到平面SBC的距离为√2 (2)平面SBC的法向量为元=(1,0,1).平面SAD的一个法向量取(1,0,0)，设两个平面所成的锐三 面角为0，所以cos0= 1 +1 2,平面SBC与平面SMD所成的锐二面角的余弦值 2 法二：SAc=2V2,过点C作y轴的垂线，交y轴于点E,投影面积SsE=2, 设两个平面所成的锐二面角为0，所以c0s0=,2=V 平面SBC与平面SAD所成的锐二面 Γ2√22 、 角的余弦值 2 (3))因为SA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD, 所以SA⊥AB,SA⊥AD,建立如图所示的空间直角坐标系， A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(01,0),S(0,0,2),M(1,0,1). 设(x2,2,2).C=C而→(x2-2y2-2,22）上元(2,1,0)∈0,1]户N-22,2-1,0). 设平面AMN的法向量为i=(x,,),AM=(1,0,1),AN=(2-22,2-元，0) AD=(0,1,0) 于是有 n·AM=x+z1=0 设直线AD与平面AMN所成角的大小为a, 2-22 AD. sin a=cos AD, 2-1 2-21 2+ 2-1 +(-1 2-元 sina= 因为∈[0，，所以2-∈[1,2]，所以t∈[0，， 所以0≤au≤arcsin ,,即直线AD与平面AMW所成角的大小的取值范围为 0,arcsin 21. 【详解】(1)函数y=x2+2x+2的对称轴为x=-1, 且函数y=x2+2x+2在（-0，-1)上单调递减，在(-1，+0)上单调递增， 所以-1为函数y=x2+2x+2的极值点，因为函数y=x2+2x+2存在“1相关点"， 由题意可得，(-1)+2×(-)+2=-1，解得元=-1。 2)由y=x-2n(x>0).则y=2h-2_2kx- 由题意可得 k6-1=0 kaxo -2In xo= ,即1-2lno=x,即x+2lnx。-1=0, 设p()=x+2血x-1(x>0),则o(x)=1+2>0. 所以函数p(x)=x+2nx-1在(0，+o)上单调递增，且p(I)=0, 所以方程x,+2lnx-1=0存在唯一实数根1，即=1，即k=1, 此时y=r-2nx(x>0),则y=2r-2_2r-2 令y'>0,即x>1；令y<0,即0<x<1, 即函数y=x2-2lnx在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以函数y=x2-2lnx的极值点为1，所以1是函数y=a2-2nx的1相关点"， 所以k=1. (3)由f(x)=ar3+bx2+cx=2x,得ax3+bx2+(c-2)x=0,即ar2+br+c-2=0, △=b2-4a(c-2)>0 b 设x,x2为函数f(x)的“2相关点”，则x+x2=- a 55C2 a △=4b2-12ac>0 另-方面，f()=3ar2+2bx+c,所以+x= 2b 3a 所以-b=-驰且-2=，解得b=0,c=3,a<0 a 3a a 3a 故f(x)=ax+3x,则f'(x)=3ax2+3, 因为过点P(1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切， 设其中-个切点为(m,am2+3m),则r(m)=3am2+3=am+3m-2 m-1 整理得2am3-3am2-1=0, 设p(x)=2ar3-3ax2-1(a<0),且函数p(x)有三个不同的零点， 则p'(x)=6ax2-6ax=6ax(x-1), 令p(x)>0,则0<x<1;令p(x)<0,则x<0或x>1. 所以函数p(x)在(-o,0)和(L,+∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 所以 p(0)=-1<0 p0=2a-30-1>0·即a<-1,即实数a的取值范围为（←0，-l).