精品解析：山东省烟台市招远市2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期第一学段测试 初二数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　） A. 1条 B. 3条 C. 5条 D. 无数条 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】五角星的对称轴共有5条， 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列说法：①全等图形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等图形的周长相等，面积相等；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的概念及性质，根据全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形可得答案． 【详解】①全等图形的形状相同，大小相等，该说法正确； ②全等三角形的对应边相等，该说法正确； ③全等图形的周长相等，面积相等，该说法正确； ④面积相等的两个三角形全等，该说法错误， 故选：A． 4. 一直角三角形的两条直角边分别为5和12，下列说法不正确的是（ ） A. 斜边长为13 B. 该三角形的周长为30 C. 第三边的平方为169 D. 该三角形的面积为60 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的周长和面积公式，掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．根据勾股定理可求出斜边长，进而可求解，选择． 【详解】解：∵该直角三角形的两条直角边分别为5和12， ∴该直角三角形的斜边为，故A正确，不符合题意； ∴该直角三角形的周长为，故B正确，不符合题意； ∴第三边的平方为，故C正确，不符合题意； ∴该三角形的面积为，故D错误，符合题意． 故选D． 5. 如图，已知，，给出下列条件：；；；．添加其中一个，能使的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据“”可判断，根据“”可判断，根据“”可判断，没有“”的判定方法，即可判断，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故符合题意； 由， ∴，故符合题意； 由， ∴，故符合题意； 若，不能证明，故不符合题意； 综上可知：添加能使，共个， 故选：． 6. 下列图形中，与关于直线成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换，认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴垂直平分 ∴B是符合要求的． 故选：B． 7. 如图，中，平分，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义得到，根据垂直平分线的性质得到，得到，再由计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，已知的周长是30，，分别平分、，于点D，且，则的面积为（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，过O作于E，于F，连接，根据角平分线性质得出，求出的面积，再求出答案即可． 【详解】解：过O作于E，于F，连接， ∵，分别平分和，，，，， ∴，， ∵的周长为30， ∴， ∴ ， 故选：D． 9. 如图，以长方形的顶点A为圆心，的长为半径画弧，交边于点F；再以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交边于点E．若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题关键．连接，可得出，根据矩形的性质得，在中，利用勾股定理可求出，由求出，由求出即可． 【详解】解：如图，连接： 可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在四边形中，，，P是边上的一个动点，要使的值最小，则点P应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查轴对称的性质，作点B关于的对称点，连接，则交点P即为符合题意的点，根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：如图所示，作点B关于的对称点，连接，交于点P，连接，则的最小值为的长，点P即为所求， ∵点与点B关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 12. 若等腰三角形的周长为14，一边是4，则此等腰三角形的腰长是_____． 【答案】4或5##5或4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理的应用．分腰长为4和底边长为4两种情况，分别利用三角形三边关系定理进行验证即可． 【详解】解：分情况讨论： ①若腰长为4，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形； ②若底边长为4，则腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形； 综上分析可知：此等腰三角形的腰长为4或5． 故答案为：4或5． 13. 小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 14. 在中，，若，则__________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求得，代入式子即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在中，为边上的高，，，则的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，E是上一点，交于点F，当时，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】144 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质、三角形的面积计算方法等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．先证明，则，再利用割补法即可得到阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴图中阴影部分面积． 故答案为：144． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 在方格纸中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，在的正方形网格图中，是一个格点三角形．请在此网格中画出，要求：也是一个格点三角形，且和关于某直线成轴对称．请你在备用图中至少画出四种符合题意的情形．（画出和对称轴） 【答案】见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解． 【详解】解：如图，为所求作的三角形． 18. 如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC． 求证：∠C=∠E． 【答案】 ∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∵ ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠C=∠E． 【解析】 【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△ABC≌△ADE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“ SAS”、“ ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等． 19. 如图，在中，． （1）作出的角平分线交于点D；（不写做法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式可得答案． 【小问1详解】 解：如图，射线就是所要求做的的角平分线； 【小问2详解】 解：过点D作，垂足为点E， 由（1）可得：是的角平分线，即， ∴， ∴， ∴的面积为5． 20. 小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于点O，．垂足为点D，已知米，请根据上述信息求标语的长度． 【答案】15米 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线间的距离，灵活选用判定三角形全等的方法是解题的关键．由题意证明即得出答案． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为相邻两平行线间的距离相等， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 答：标语的长度为15米． 21. 如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长． 【答案】（1）∠C＝35°；（2）DC＝6cm． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC＝12cm，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴∠ABE=∠AED， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝ ， ∴∠C∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长20cm，AC＝8cm， ∴AB+BE+EC＝12cm， 即2DE+2EC＝12cm， ∴DE+EC＝DC＝6cm． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 22. 在综合实践课上，甲、乙两组同学分别设计方案，检测背景墙面（如图所示）边和边是否分别垂直于边． 甲组： 工具：卷尺，测量得边长为，边长为，点B和点D之间的距离是． 乙组： 工具：20厘米的刻度尺． （1）请你依据甲组测量数据判断：边垂直于边吗？说明理由． （2）你能帮乙组借用现有的工具设计一个方案：检验边是否垂直于边？简要说明设计方案． 【答案】（1） 边垂直于边，理由如下： 因为，， 所以， 即为直角三角形，， 所以，边垂直于边； （2） 边垂直于边，理由如下：（答案不唯一） 乙组设计方案：在上量取，在上量取， 如果，则边垂直于边，否则就不垂直． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理判断甲组的方案即可； （2）乙组的方案：在上量取，在上量取，如果，则边垂直于边，否则就不垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离． 【答案】5米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键． 根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：过点C作，垂足为点E， 则， 由题意得：米，米，米 则， 在中，由勾股定理得： ,即， 解得米． 答：该生头顶C到门铃A的距离为5米． 24. 材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， （1）材料中的方法体现的数学思想是（ ） A．函数思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想 （2）试说明 ； （3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】（1）C； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 【小问1详解】 解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C 【小问2详解】 解：由题意得： ∵直线m ，直线m ∴ 【小问3详解】 解：由（2）可知： 又 25. 课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： （1）请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； （2）在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． （3）将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】（1）24；不会 （2）27米 （3）25米 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； 【小问2详解】 解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； 【小问3详解】 解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期第一学段测试 初二数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　） A. 1条 B. 3条 C. 5条 D. 无数条 2. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法：①全等图形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等图形的周长相等，面积相等；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 4. 一直角三角形的两条直角边分别为5和12，下列说法不正确的是（ ） A. 斜边长为13 B. 该三角形的周长为30 C. 第三边的平方为169 D. 该三角形的面积为60 5. 如图，已知，，给出下列条件：；；；．添加其中一个，能使的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 下列图形中，与关于直线成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，平分，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的周长是30，，分别平分、，于点D，且，则的面积为（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 9. 如图，以长方形的顶点A为圆心，的长为半径画弧，交边于点F；再以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交边于点E．若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 10 10. 如图，在四边形中，，，P是边上的一个动点，要使的值最小，则点P应满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 12. 若等腰三角形的周长为14，一边是4，则此等腰三角形的腰长是_____． 13. 小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是_____________． 14. 在中，，若，则__________． 15. 在中，为边上的高，，，则的度数为_______． 16. 如图，在中，，，E是上一点，交于点F，当时，则图中阴影部分的面积为____________． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 在方格纸中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，在的正方形网格图中，是一个格点三角形．请在此网格中画出，要求：也是一个格点三角形，且和关于某直线成轴对称．请你在备用图中至少画出四种符合题意的情形．（画出和对称轴） 18. 如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC． 求证：∠C=∠E． 19. 如图，在中，． （1）作出的角平分线交于点D；（不写做法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，，，求的面积． 20. 小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于点O，．垂足为点D，已知米，请根据上述信息求标语的长度． 21. 如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长． 22. 在综合实践课上，甲、乙两组同学分别设计方案，检测背景墙面（如图所示）边和边是否分别垂直于边． 甲组： 工具：卷尺，测量得边长为，边长为，点B和点D之间的距离是． 乙组： 工具：20厘米的刻度尺． （1）请你依据甲组测量数据判断：边垂直于边吗？说明理由． （2）你能帮乙组借用现有的工具设计一个方案：检验边是否垂直于边？简要说明设计方案． 23. 某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离． 24. 材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， （1）材料中的方法体现的数学思想是（ ） A．函数思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想 （2）试说明 ； （3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 25. 课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： （1）请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； （2）在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． （3）将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $