精品解析：山东省济南市钢城区（五四制）2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试题

2021-2022学年山东省济南市钢城区七年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共48分） 1. 4的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 下列四个图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，π，这四个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知等腰三角形的两个边长分别为3和7，则这个三角形的另一条边长是（ ） A. 3或7 B. 3 C. 7 D. 以上均不对 5. 对于直线的描述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 与y轴的交点是 C. 经过点 D. 图象不经过第二象限 6. 估计的值在（ ） A. 5.4和5.5之间 B. 5.5和5.6之间 C. 5.6和5.7之间 D. 5.7和5.8之间 7. 若的三个内角，，满足关系式，则此三角形（ ） A. 一定是直角三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定有一个内角为45° D. 一定有一个内角为60° 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，若的周长为22，，则的周长为（ ） A. 26 B. 20 C. 18 D. 14 9. 正比例函数中y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ） A. B. C. D. 11. 在直角坐标系中，已知点，在y轴负半轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；③时，甲仓库内快件数为600件；④时，两仓库快递件数相同．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分．请填在答题卡上） 13. 计算：___________． 14. 点关于轴的对称点的坐标是______． 15. 将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是_____． 16. 如图，在数轴上点A表示的数是4、点P表示的数是1，线段，，以点P为圆心，PB长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是____________． 17. 如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 18. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 三、解答题：（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算：． 20. 某班级准备购买足球，已知商店的足球标价为80元．商店的优惠条件是：购买前10个足球按原价，从第11个开始按标价的7折卖，若购买足球的总费用为y元，购买足球的数量为x（）个． （1）求出y与x之间的函数关系． （2）当本班级准备购买20个足球时，购买足球的总费用为多少元？ 21. 如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF． 22. 如图，某研究性学习小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离是多少？ 23. 如图：在边长为的小正方形组成的正方形网格中，格点的顶点、的坐标分别是、． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 24. 如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且AB＝DC，∠A＝∠D． （1）试说明BE＝CE； （2）若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数． 25. 如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接． （1）试求出的值； （2）求的面积． 26. 在综合实践课上，甲、乙两组同学分别设计方案，检测背景墙面（如图所示）边和边是否分别垂直于底边． （1）甲组： 工具：卷尺，测量得边长为，边长为，点B和点D之间的距离是．请你依据测量数据判断：边垂直于边吗？说明理由． （2）乙组： 工具：20厘米的刻度尺，你能帮他设计一个方案检验边是否垂直于边． 27. 快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时间的关系如图所示． （1）甲乙两地之间的路程为 ；快车的速度为 ；慢车的速度为 ； （2）求出发几小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）出发几小时快慢两车相距． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年山东省济南市钢城区七年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共48分） 1. 4的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴4的平方根是． 故选：B． 2. 下列四个图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故A错误； B、该图形是轴对称图形，故B正确； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误； D、该图形不是轴对称图形，故D错误． 3. 在，，π，这四个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐个化简所给数字，判断得到无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． 综上所述， 无理数共有个． 4. 已知等腰三角形的两个边长分别为3和7，则这个三角形的另一条边长是（ ） A. 3或7 B. 3 C. 7 D. 以上均不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论，再利用三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形有两边相等，已知两边长为3和7，因此分两种情况讨论： 情况1：若腰长为3，则三边长为 ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，因此这种情况不成立，舍去； 情况2：若腰长为7，则三边长为 ∵，，满足三角形三边关系，因此这种情况成立，即这个三角形的另一条边长为7． 5. 对于直线的描述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 与y轴的交点是 C. 经过点 D. 图象不经过第二象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A．∵，∴y随x的增大而减小，故说法错误； B．当时，，∴与y轴的交点是，故说法正确； C． 当时，，，∴经过点，故说法错误； D．∵，，∴图象经过第二、三、四象限，故说法错误； 故选：B． 6. 估计的值在（ ） A. 5.4和5.5之间 B. 5.5和5.6之间 C. 5.6和5.7之间 D. 5.7和5.8之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题估计无理数的大小，利用被开方数越大，对应的算术平方根越大的性质，计算边界值的平方再比较，即可得到的范围． 【详解】解：∵，， 又∵ ， ∴ ， 即的值在和之间． 7. 若的三个内角，，满足关系式，则此三角形（ ） A. 一定是直角三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定有一个内角为45° D. 一定有一个内角为60° 【答案】D 【解析】 【分析】本题可利用三角形内角和公式求出的度数，继而可利用举反例进行排除求解本题． 【详解】因为三角形内角和为180°，， 故180°， 所以=60°，故D选项正确． 假设△ABC为等边三角形，此时符合题干要求，故可用此特例排除A，B，C选项． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和公式，通过角度关系判别图形性质，此类型题目作为单选题，可选用举例法快速解答． 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，若的周长为22，，则的周长为（ ） A. 26 B. 20 C. 18 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，再结合的周长为22，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∴， ∴的周长为． 9. 正比例函数中y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正比例函数的性质可得，从而得出，进而得出一次函数的图象在第一、二、四象限，即可得出结果． 【详解】解：∵正比例函数中y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，如图： 10. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【详解】解：如图所示：作点关于直线的对称点，再连接，交直线于点 则此时最小，过点作延长线于点， ，，， ，则， 在中，， 则的最小值为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 11. 在直角坐标系中，已知点，在y轴负半轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，分别求出的值，再分三种情况：①，②和③，建立方程，利用平方根的性质解方程或解一元一次方程即可． 【详解】解：由题意，设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①当时，为等腰三角形， ∴，即， ∴或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； ②当时，为等腰三角形， ∴，即， ∴或（均不符合题意，舍去）； ③当时，为等腰三角形， ∴，即， ∴，不符合题意，舍去； 综上，点的坐标为． 12. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；③时，甲仓库内快件数为600件；④时，两仓库快递件数相同．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象可知15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，据此可得甲仓库揽收快件的速度，进而得出时，甲仓库内快件数；由图象可知45分钟，乙仓库派送快件数量为180件，可得乙仓库每分钟派送快件的数量，进而得出乙仓库快件的总数量，然后根据题意列方程即可求出两仓库快递件数相同是时间． 【详解】解：由题意结合图象可知： 15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①说法错误； 乙仓库派送快件的速度为（件分），故说法②正确； 甲仓库揽收快件的速度为：（件分）， 所以时，甲仓库内快件数为：（件，故③说法错误； 乙仓库快件的总数量为：（件， 设分钟后，两仓库快递件数相同，根据题意得： ， 解得， 即时，两仓库快递件数相同，故④说法正确． 所以说法正确的有②④共2个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分．请填在答题卡上） 13. 计算：___________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：． 14. 点关于轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 15. 将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，即可得． 【详解】解：将直线向上平移2个单位，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象的平移规律：上加下减． 16. 如图，在数轴上点A表示的数是4、点P表示的数是1，线段，，以点P为圆心，PB长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出PB的长，再根据题意可知，即可求出点C表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∵， ∴， ∵点P表示的数是1， ∴点C表示的数是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，以及数轴上的点与实数的一一对应的关系，解题的关键是勾股定理求出PB的长． 17. 如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【答案】6 【解析】 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 18. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 【答案】60 【解析】 【分析】延长，交于点，先证出，再求出的长，然后根据图中空白部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵为的斜边，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵四边形，，均为正方形， ∴，，，， ∴四边形是长方形，， ∴，点共线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵，，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∴图中空白部分的面积是 ． 三、解答题：（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【详解】解： ． 20. 某班级准备购买足球，已知商店的足球标价为80元．商店的优惠条件是：购买前10个足球按原价，从第11个开始按标价的7折卖，若购买足球的总费用为y元，购买足球的数量为x（）个． （1）求出y与x之间的函数关系． （2）当本班级准备购买20个足球时，购买足球的总费用为多少元？ 【答案】（1）（，且为整数） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据总费用等于前10个足球按原价购买的费用加上从第11个起按照折扣算的费用，即可建立函数关系式； （2）把代入（1）中的函数关系式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴y与x之间的函数关系为：（，且为整数）； 【小问2详解】 解：当时，（元） 答：当本班级准备购买20个足球时，购买足球的总费用为元． 21. 如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据垂直定义得到∠ACB=∠EFD=90°，根据BF=CD得到BC=DF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可． 【详解】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD， ∴∠ACB＝∠EFD＝90°， ∵BF＝CD， ∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF， 在△ABC和△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（SAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 22. 如图，某研究性学习小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】先利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半和勾股定理，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 即学校与工厂之间的距离等于． 23. 如图：在边长为的小正方形组成的正方形网格中，格点的顶点、的坐标分别是、． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点、的坐标画出平面直角坐标系； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、，然后顺次连接即可； （3）由（2）得到点的对应点的坐标． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的； 【小问3详解】 解：由图可知，． 24. 如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且AB＝DC，∠A＝∠D． （1）试说明BE＝CE； （2）若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数． 【答案】（1）见解析 （2）25° 【解析】 【分析】（1）利用“角角边”证明△ABE和△DCE全等，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CE，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形外角的性质计算即可得解． 【小问1详解】 证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）， ∴BE＝CE； 【小问2详解】 由（1）知，BE＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°， ∴∠EBC＝25°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键． 25. 如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接． （1）试求出的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法即可求解； （2）代入可得的坐标即可求出三角形的面积． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得：， 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 则直线， 将代入， 得， 解得：， 则， ∵点， ∴， 则． 26. 在综合实践课上，甲、乙两组同学分别设计方案，检测背景墙面（如图所示）边和边是否分别垂直于底边． （1）甲组： 工具：卷尺，测量得边长为，边长为，点B和点D之间的距离是．请你依据测量数据判断：边垂直于边吗？说明理由． （2）乙组： 工具：20厘米的刻度尺，你能帮他设计一个方案检验边是否垂直于边． 【答案】（1）边垂直于边，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形即可； （2）在上量取，在上量取，如果，则边垂直于边，否则就不垂直． 【小问1详解】 解：边垂直于边，理由如下： ∵，， ∴， 即为直角三角形，， ∴． 【小问2详解】 解：设计方案如下∶ 在上量取，在上量取， 如果，则边垂直于边，否则就不垂直． 27. 快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时间的关系如图所示． （1）甲乙两地之间的路程为 ；快车的速度为 ；慢车的速度为 ； （2）求出发几小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）出发几小时快慢两车相距． 【答案】（1）；； （2）出发小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等 （3）小时或小时或小时 【解析】 【分析】（1）根据函数图象即可得甲乙两地之间的路程，再利用路程除以时间即可得两车的速度； （2）设出发小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等，则，根据快慢两车距各自出发地的路程相等建立方程，解方程即可； （3）先求出两车相遇时，行驶的时间为，再分四种情况：①，②，③和④，分别建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，快车到达点处，即到达乙地，所用时间为， ∴甲乙两地之间的路程为；快车的速度为； ∵快车到达乙地后停留， ∴快车按原路原速返回，到达甲地所用时间为， ∵快车比慢车晚到达甲地， ∴慢车到达甲地所用的时间为， ∴慢车的速度为． 【小问2详解】 解：设出发小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等， 由函数图象可知，， ∴， 解得， 答：出发小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等． 【小问3详解】 解：由题意可知，快慢两车会相遇一次，发生在快慢两车相向行驶的过程中，此时两车行驶的时间为， 设出发小时快慢两车相距， ①当时，则， 解得，符合题设； ②当时，则， 解得，符合题设； ③当时，则， 解得，不符合题设，舍去； ④当时，则， 解得，符合题设； 综上，出发小时或小时或小时，快慢两车相距． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $