24.2　直角三角形的性质 教案 2024-2025学年 华东师大版九年级数学上册

24.2　直角三角形的性质 1.掌握直角三角形的性质3及其推论. 2.能利用直角三角形的性质3定理及其推论进行有关的计算和证明.（重点） 3.体会数形结合思想方法和数学建模能力，体会演绎推理的严谨性和“转化”思想解决实际问题中的应用.（难点） 一、复习引入 我们已经知道直角三角形的性质： 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 下面我们来探索直角三角形的其他性质. 二、探索新知 1.直角三角形的性质3 （1）探索：如图，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系. （2）发现：CD恰好是AB的一半. （3）猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （4）证明. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.求证：CD＝AB. 证明：如图，延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE. ∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝DB. 又∵DE＝CD，∴四边形ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形. ∴CE＝AB.∴CD＝CE＝AB. （5）结论. 直角三角形的性质3定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.推论 （1）探索：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系. （2）发现：用两个含30°角的直角三角尺可以摆出一个等边三角形. （3）猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. （4）证明. 已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝AB. 证明：作斜边AB上的中线CD， 则CD＝AB＝AD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）. ∵∠A＝30°，∴∠B＝60°.∴△CDB是等边三角形. ∴BC＝BD＝AB. （5）结论. 直角三角形的性质3推论： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 三、巩固练习 1.已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm和cm.求斜边上中线的长. 2.如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里.该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗？ 3.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米.你能算出自动扶梯AB的长吗？ 答案：1.直角三角形的斜边长为＝2（cm）.所以斜边上中线的长为1cm. 2.在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，AO＝30海里， ∴AD＝AO＝×30＝15（海里）.∵15＞20，∴该船如果不改变航向，没有触暗礁的危险. 3.在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝6米， ∴AB＝2BC＝2×6＝12（米）. ∴自动扶梯AB的长为12米. 四、归纳小结 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据. 五、课后作业 1.教材习题24.2第1～3题. 本课时学生学习直角三角形的性质3及其推论，解决与直角三角形有关的问题.培养学生数学核心素养以及逻辑推理能力.通过习题了解学生对新知的掌握情况，巩固新知，体会“转化”思想在解决实际问题中的应用.学生可以畅谈学习的收获和体会，提高学生的归纳总结能力和语言表达能力，使所学知识系统化、网络化.同时应该设置分层作业，有利于不同层次学生需求. 学科网（北京）股份有限公司 $$