2024-2025学年九年级上学期人教版数学期末复习综合检测卷

人教版九年级数学期末复习综合检测卷 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．（3分）世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机．以下图中，中心对称图形个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．3x2＝1 B．2 C．x2+2y＝﹣1 D．x+y＝0 3．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2+3x+m﹣4＝0有一根是0，则m的值等于（　　） A．4 B．±1 C．±4 D．﹣4 4．（3分）若函数y＝mx4是二次函数，则m的值为（　　） A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1 5．（3分）已知点P1（a，﹣3）和点P2（4，b）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（　　） A．﹣1 B．72024 C．﹣72024 D．1 6．（3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，AD，CD为⊙O的两条弦，过点C的切线交OA延长线于点B，若∠D＝29°，则∠B的度数为（　　） A．22° B．26° C．29° D．32° 8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月 10．（3分）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间有下列关系：s＝0.01x+0.01x2，在一个限速40km/h的弯道上的刹车距离不能超过（　　） A．15.8m B．16.4m C．14.8m D．17.4m 二．填空题 11．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）＝5化为一般形式为 　 　，它的二次项系数是 　 　． 12．（3分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍（0＜k＜1）．已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的关于k的一个方程是 　 　． 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　． 14．（3分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为　 　． 15．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD＝　 　°． 16．（3分）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为 　 　cm． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）解方程 （1）x2+6x﹣5＝0； （2）（x+3）（x﹣3）＝2． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+m+3＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根． （2）若方程的两根的平方和小于5，求整数m的值． 19．（8分）如图，已知二次函数yx2﹣x+c的图象经过点P（﹣3，6）． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． （3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3．请根据图象直接写出n的取值范围． 20．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠AOC＝142°，求∠CDM的度数． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积． 22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD． （1）求直径AB的长； （2）求阴影部分的面积．（结果保留π） 23．（8分）在一个不透明的盒子中有3个颜色、大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有1，2，3这3个号码． （1）搅匀后从中随机抽出1个小球，抽到1号球的概率是　 　． （2）搅匀后先从中随机抽出1个小球（不放回），再从余下的2个球中随机抽出1个球，求抽到的2个小球的号码的和为奇数的概率． 24．（8分）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元． （1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？ 25．（10分）某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月之间存在如图2（一段抛物线）所示的变化趋势． （1）分别求函数y1和y2的表达式； （2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C A D D C A B 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．（3分）世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机．以下图中，中心对称图形个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：从左到右第一、三两个图案是中心对称图形，第二、四两个图案不是中心对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．3x2＝1 B．2 C．x2+2y＝﹣1 D．x+y＝0 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可． 【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2+3x+m﹣4＝0有一根是0，则m的值等于（　　） A．4 B．±1 C．±4 D．﹣4 【分析】把x＝0代入方程，求出m的值． 【解答】解：把x＝0代入方程有：m﹣4＝0． 解得m＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 4．（3分）若函数y＝mx4是二次函数，则m的值为（　　） A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1 【分析】利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0， 解得：m＝﹣1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 5．（3分）已知点P1（a，﹣3）和点P2（4，b）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（　　） A．﹣1 B．72024 C．﹣72024 D．1 【分析】点P1和P2关于原点对称，则它们的横纵坐标分别互为相反数． 【解答】解：∵点P1（a，3）和P2（﹣4，b）关于原点对称， ∴a＝4，b＝﹣3， ∴（a+b）2024＝[4+（﹣3）]2024＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题侧重考查关于原点对称的点的坐标特征、有理数的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键． 6．（3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OA，根据弦AB垂直平分半径OC可求出OE的长，再由勾股定理求出AE的长，进而可得出结论． 【解答】解：连接OA，如图： ∵弦AB垂直平分半径OC，OC＝2， ∴OEOC＝1，AE＝BE， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE， ∴AB＝2AE＝2， 故选：D． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 7．（3分）如图，AD，CD为⊙O的两条弦，过点C的切线交OA延长线于点B，若∠D＝29°，则∠B的度数为（　　） A．22° B．26° C．29° D．32° 【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据切线的性质得到∠BCO＝90°，根据直角三角形的性质即可求得∠B． 【解答】解：连接OC， ∵BC与⊙O相切于C， ∴∠BCO＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BOC， ∵∠D＝29°， ∴∠BOC＝2∠D＝58°， ∴∠B＝90°﹣58°＝32°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理，正确作出辅助线，根据圆周角定理求出∠BOC是解决问题的关键． 8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD，根据垂径定理得出CE＝DE＝2，，求出△BOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠BOD＝60°，求出OB＝BD＝BC，再求出扇形BOD的面积即可． 【解答】解：连接OD，BC， ∵AB⊥CD，AB过O，CD＝4， ∴CE＝DE＝2，，∠BED＝90°， ∴BC＝BD， ∵∠ABD＝60°， ∴∠EDB＝30°， ∴BD＝2BE， 由勾股定理得：（2BE）2＝BE2+22， 解得：BE，BD＝2BE， ∵∠ABD＝60°，OB＝OD， ∴△BOD是等边三角形， ∴∠BOD＝60°，OD＝OB＝BD， ∴阴影部分的面积S＝S扇形BODπ， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，能求出圆的半径是解此题的关键． 9．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、旭日东升，是必然事件，符合题意； B、守株待兔，是随机事件，不符合题意； C、大海捞针，是随机事件，不符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 10．（3分）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间有下列关系：s＝0.01x+0.01x2，在一个限速40km/h的弯道上的刹车距离不能超过（　　） A．15.8m B．16.4m C．14.8m D．17.4m 【分析】将x＝40代入s＝0.01x+0.01x2，计算即可求解． 【解答】解：将x＝40代入s＝0.01x+0.01x2得， s＝0.01×40+0.01×402 ＝16.4， 即刹车距离不能超过16.4m． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是掌握函数值的求法． 二．填空题 11．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）＝5化为一般形式为 　3x2+2x﹣13＝0　，它的二次项系数是 　3　． 【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数可得答案． 【解答】解：（2+x）（3x﹣4）＝5， 3x2+2x﹣13＝0， 二次项系数为：3． 故答案为：3x2+2x﹣13＝0，3． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）． 12．（3分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍（0＜k＜1）．已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的关于k的一个方程是 　kk2＝1　． 【分析】分别得到每次钉入木板的钉子的长度，等量关系为：第一次钉入的长度+第二次钉入的长度+第三次钉入的长度＝1，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：∵第一次受击进入木板部分的铁钉长度是钉长的，铁钉的长度为1， ∴第一次受击进入木板部分的铁钉长度是， ∵每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的x倍， ∴第二次受击进入木板部分的铁钉长度是x， ∴第三次受击进入木板部分的铁钉长度是x×xx2， ∴可列方程为：kk2＝1． 故答案为：kk2＝1． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到钉子的长的等量关系是解决本题的关键． 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　x1＝﹣3，x2＝1　． 【分析】抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点为（﹣3，0），则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1，0），即可求解． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， 则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1，0）， 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝﹣3或1， 故答案为：x1＝﹣3，x2＝1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 14．（3分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为　　． 【分析】利用切割线定理求出BF，然后求出OE，利用勾股定理求出圆的半径OC即可． 【解答】解：连接BC并延长，交圆于F，过O作OE⊥BF， ∵BA是圆O的切线，切点为A， 由切割线定理可知：AB2＝BC•BF， ∵BC＝DC＝3，AB＝6， ∴BF＝12，CF＝9，∴DE，OD＝2， ∴OE， CE， OC． 故答案为：． 【点评】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键， 15．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD＝　54　°． 【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵多边形ABCDE是正五边形， ∴∠COD72°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD（180°﹣72°）＝54°， 故答案为：54． 【点评】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形内角的度数． 16．（3分）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为 　12　cm． 【分析】根据的长为36cm，可得半径OA，进而可得的长． 【解答】解： 法一：∵的长为36cm， ∴36， ∴OA， 则的长为：12（cm）； 法二：∵与所对应的圆心角度数的比值为270°：90°＝3：1， ∴与的弧长之比为3：1， ∴的弧长为36÷3＝12（cm）， 故答案为：12． 【点评】本题考查了弧长的计算，解决本题的关键是掌握弧长公式． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）解方程 （1）x2+6x﹣5＝0； （2）（x+3）（x﹣3）＝2． 【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （2）整理为一般式，再利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：（1）∵x2+6x﹣5＝0， ∴x2+6x＝5， 则x2+6x+9＝5+9，即（x+3）2＝14， ∴x+3＝±， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣3； （2）整理为一般式，得：x2﹣11＝0， ∴x2＝11， ∴x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+m+3＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根． （2）若方程的两根的平方和小于5，求整数m的值． 【分析】（1）根据根的判别式的值即可判断； （2）根据根与系数的关系解答即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（m+3）＝m2+4m+4＝（m+2）2， ∴无论m取任何实数，总有（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的两个根为x1，x2， 则x1+x2＝m+4，x1•x2＝m+3， ∵x12+x22＜5， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＜5， ∴（m+4）2﹣2（m+3）＜5， ∴（m+3）2+1＜5，即（m+3）2＜4， ∴|m+3|＜2， ∵m是整数， ∴|m+3|＝0或|m+3|＝1． ∴m+3＝0或m+3＝±1， ∴整数m的值为﹣2，﹣3，﹣4． 【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 19．（8分）如图，已知二次函数yx2﹣x+c的图象经过点P（﹣3，6）． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． （3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3．请根据图象直接写出n的取值范围． 【分析】（1）把点P（﹣3，6）代入yx2﹣x+c中，即可求解； （2）把二次函数的表达式化为顶点式即可得该二次函数图象的顶点坐标； （3）由点Q到y轴的距离小于3，可得﹣3＜m＜3，在此范围内求n即可． 【解答】解：（1）把点P（﹣3，6）代入yx2﹣x+c中， 得：6（﹣3）2﹣（﹣3）+c， 解得：c， ∴该二次函数的表达式为yx2﹣x； （2）yx2﹣x（x﹣1）2﹣2， ∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）； （3）∵点Q到y轴的距离小于3， ∴|m|＜3， ∴﹣3＜m＜3， ∵x＝﹣3时，yx2﹣x（﹣3）2﹣（﹣3）6， x＝3时，yx2﹣x32﹣30， 又∵顶点坐标为（1，﹣2）， ∴﹣3＜m＜3时，n≥﹣2， ∴﹣2≤n＜6． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 20．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠AOC＝142°，求∠CDM的度数． 【分析】根据圆周角定理得到∠B＝71°，再根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得解． 【解答】解：∵∠AOC＝142°， ∴∠B∠AOC＝71°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDM＝∠B＝71°， 故∠CDM的度数为71°． 【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连结OC，由OA＝OC得∠OCA＝∠OAC，根据切线的性质得OC⊥CD，可得OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC＝∠OCA，即可得到AC平分∠DAB； （2）连接OE，由E是弧AC的中点，得AE＝EC，S弓形AE＝S弓形EC，可判断四边形OAEC为菱形，所以CE＝OC＝OE＝2，△OCE都为等边三角形，得到∠COE＝∠OCE＝60°，易得∠DCE＝30°，在Rt△DCE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DE，DC，所以S△DCE，由于弓形AE的面积＝弓形CE的面积，所以S阴影＝S△DCE． 【解答】（1）证明：连结OC， ∵CD是切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC平分∠DAB； （2）解：连结OE，EC， ∵E为弧AC的中点， ∴AE＝EC，S弓形AE＝S弓形EC， ∴∠DAC＝∠ECA， ∵∠DAC＝∠OAC， ∴∠ECA＝∠OAC， ∴EC∥OA， 而OC∥AE， ∴四边形OAEC为平行四边形， 而OA＝OC， ∴四边形OAEC为菱形， ∴CE＝OC＝OE＝1， ∴△OCE都为等边三角形， ∴∠COE＝∠OCE＝60°， 而∠DCO＝90°， ∴∠DCE＝30°， 在Rt△DCE中，CE＝1， ∴DECE，DCDE， ∴S△DCE， ∵S弓形AE＝S弓形EC， ∴S阴影＝S△DCE． 【点评】本题考查了切线的性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD． （1）求直径AB的长； （2）求阴影部分的面积．（结果保留π） 【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，再根据勾股定理求出AB即可； （2）根据圆周角定理求出圆心角∠AOD＝90°，再分别求出扇形AOD和△AOD的面积即可． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB10； （2）连接OD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACDACB＝45°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝90°， ∵直径AB＝10， ∴半径OA＝OD＝5， ∴阴影部分的面积S＝S扇形AOD﹣S△AOD ． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理和扇形的面积计算等知识点，能根据圆周角定理求出∠ACB＝90°是解此题的关键． 23．（8分）在一个不透明的盒子中有3个颜色、大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有1，2，3这3个号码． （1）搅匀后从中随机抽出1个小球，抽到1号球的概率是　　． （2）搅匀后先从中随机抽出1个小球（不放回），再从余下的2个球中随机抽出1个球，求抽到的2个小球的号码的和为奇数的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6个等可能的结果，抽到的2个小球的号码的和为奇数的结果有4个，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）随机抽出1个小球，抽到1号球的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有6个等可能的结果，抽到的2个小球的号码的和为奇数的结果有4个， ∴抽到的2个小球的号码的和为奇数的概率为． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．（8分）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元． （1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？ 【分析】（1）平均下降率为x，由2018年的出厂价×（1﹣下降率）2＝2020年出厂价可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设单价降价y元，则每天的销售量是（20+2y）台，根据总利润＝每台利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出结果． 【解答】解：（1）设这两年平均下降率为x， 根据题意得：144（1﹣x）2＝100， 等号两边同除以144得：（1﹣x）2 两边开方得：1﹣x＝±±， 所以x11（不合题意，舍去），x216.67%． 答：这两年平均下降率约为16.67%； （2）设单价降价y元， 则每天的销售量是2010＝20+2y（台）， 根据题意得：（140﹣100﹣y）（20+2y）＝1250， 整理得：y2﹣30y+225＝0， 解得：y1＝y2＝15． 答：单价应降15元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25．（10分）某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月之间存在如图2（一段抛物线）所示的变化趋势． （1）分别求函数y1和y2的表达式； （2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，用待定系数法求解即可； （2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）由题意设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8， 将（6，10），（9，9）代入y1＝kx+b，得： ， 解得， ∴y1x+12； 将（11，14）代入y2＝a（x﹣5）2+8，得： 14＝a（11﹣5）2+8， 解得a， ∴y2（x﹣5）2+8， 函数y1和y2的表达式分别为y1x+12，y2（x﹣5）2+8； （2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得： wx+12﹣[（x﹣5）2+8] （x﹣4）2+2.5， ∴当x＝4时，w有最大值，w最大＝2.5． ∴销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是2.5元． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$