12.3 课时2 角平分线的判定 分层作业　　2024—2025学年人教版数学八年级上册

12.3　课时2　角平分线的判定 【练基础】 必备知识 角平分线的判定 1.【教材P51习题T1变式】人们常用两个三角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,使两个三角尺的一直角边分别与OA,OB重合,移动三角尺使两个直角顶点分别与M,N重合,三角尺的另两条直角边相交于点C,作射线OC,可证得△MOC≌△NOC,从而得OC是∠AOB的平分线.在上述过程中,判定两个三角形全等的方法是 ( ) A.HL B.ASA C.SAS D.SSS 2.如图,若DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则对于∠1和∠2的大小关系,下列说法正确的是 ( ) A.一定相等 B.一定不相等 C.当BD=CD时相等 D.当DE=DF时相等 3.如图,PM=PN,∠BOC=30°,PM⊥AO于点M,PN⊥OB于点N,则∠AOB的度数为　 .  4.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A=60°,则∠BOC的度数为　 °.  5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且∠BDE=∠CDF.求证:AD平分∠BAC. 【练能力】 6.【2022·邢台期末】小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这个结论时给出了如下过程: 已知:如图,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,且PD=PE.求证:OC是∠AOB的平分线. 证明:通过测量可得∠AOC=23°,∠BOC=23°, ∴∠AOC=∠BOC, ∴OC是∠AOB的平分线. 关于这个证明,下面说法正确的是 ( ) A.小强用到了从特殊到一般的方法证明该结论 B.只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上,就能证明该结论 C.不能只用这个角,还需要用其他角度进行测量验证,该结论的证明才完整 D.小强的方法可以用作猜想,但不属于严谨的推理证明 7.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA三条平分线的交点.上述结论中,正确结论的个数是 ( ) A.1　 B.2　 C.3　 D.4 8.【教材P50练习T2变式】如图,△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P,则下列结论正确的是 ( ) A.AP平分线段BC B.AP平分∠CAB C.AP平分∠CPB D.AP⊥BC 9.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,则点P,Q,M,N中在∠AOB的平分线上的是　 点.  10.如图,OB=OC,∠ABO=∠ACO.求证:AO平分∠BAC. 11.如图1,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上一点,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F. (1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等. (2)如图2,若点P在AD的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?请证明. 【练素养】 12.如图,在△ACB和△DCE中,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD,交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)试判断AE,BD之间的关系,并说明理由. (2)连接CO,并在下面两个结论中选择你认为正确的一个加以证明: ①射线CO平分∠ACD; ②射线OC平分∠BOE. 参考答案 练基础 1.A　2.D 3.60° 4.120 5.【解析】证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠DEB=∠DFC=90°. ∵D是BC的中点, ∴BD=CD. 在△BED和△CFD中, ∴△BED≌△CFD(AAS), ∴DE=DF. ∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∴AD平分∠BAC. 练能力 6.D　7.D　8.B 9.Q 10.【解析】证明:如图,过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,则∠BDO=∠CEO=90°. 在△OBD和△OCE中, ∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE. ∵OD⊥AB,OE⊥AC, ∴AO平分∠BAC. 11.【解析】(1)证明:∵PE∥AB,PF∥AC, ∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD. ∵在△ABC中,AD是它的角平分线, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EPD=∠DPF,即PD平分∠EPF, ∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等. (2)若点P在AD的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论还成立. 证明:∵PE∥AB,PF∥AC, ∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD. ∵在△ABC中,AD是它的角平分线, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EPD=∠DPF,即PD平分∠EPF, ∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等. 练素养 12.【解析】(1)AE=BD且AE⊥BD. 理由:∵∠ACB=∠DCE, ∴∠ACB+∠DCA=∠DCE+∠DCA, 即∠ACE=∠BCD. 在△ACE和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD,∠CEA=∠CDB. ∵∠CME=∠DMO,∠DCE=90°, ∴∠DOM=∠DCE=90°, ∴AE⊥BD, ∴AE=BD且AE⊥BD. (2)②正确. 证明:如图,过点C作CJ⊥AE于点J,CK⊥DB于点K. ∵△ACE≌△BCD, ∴S△ACE=S△BCD, ∴AE·CJ=BD·CK. ∵AE=BD, ∴CJ=CK. ∵CJ⊥AE,CK⊥DB, ∴OC平分∠BOE. 学科网（北京）股份有限公司 $$