2.7 一元一次不等式(组)的解法及其应用-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·贵州数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 7　 一元一次不等式(组)的解法及应用(必考) 要点归纳 要点 1 不等式的基本性质 基本性质 文字表达 数学表达 在解不等式中 的应用 性质 1 不等式两边加(或减)同一个数 (或式子),不等号的方向不变 如果 a > b,那么 a ± c ①　 >　 b±c 移项 性质 2 不等式两边乘(或除以)同一个 正数,不等号的方向不变 如果 a>b,c>0,那么 ac ②　 >　 bc(或 a c > b c ) 性质 3 不等式两边乘(或除以)同一个 负数,不等号的方向改变 如果 a>b,c<0,那么 ac ③　 <　 bc(或 a c < b c ) 去分母, 系数化为 1 要点 2 一元一次不等式的解法及解集表示 解法步骤 与解一元一次方程类似:1. 去分母;2. 去括号;3. 移项;4. 合并同类 项;5. 系数化为 1(特别注意性质 3 的变号) 注:根据实际情况选择解题步骤,如不等式中无分母,则跳过步骤 1. 解集 的表示 数轴上 的表示 解集 ④　 x<a　 ⑤　 x>a　 ⑥　 x≤a　 ⑦　 x≥a　 总结 在数轴上表示解集时,要注意“两定”:一定边界点,二定方向. 定边界 点时,“≥”或“≤”是实心圆点,“>”或“<”是空心圆圈;定方向的原 则为小于向左,大于向右 　 例 1　 下面是小明解不等式1 +x 3 < x 2 的过程,请把它补充完整. 答题规范: 解:去分母,得 2(1+x) <3x; 去括号,得⑧　 　 　 　 　 　 　 ; 移项,得⑨　 　 　 　 　 　 　 ; 合并同类项,得⑩　 　 　 　 　 　 　 ; 系数化 1,得 x􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 　 　 　 . (填依据:􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) 62 基础夯实练·贵州数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 要点 3 一元一次不等式组的解法及解集表示 解法步骤 ①分别求出不等式组中各个不等式的解集; ②将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来,找出它们的公共部分; ③根据公共部分写出不等式组的解集,若没有公共部分,则不等式组无解 解集的类型 及其在数轴 上的表示 (b>a) 类型 解集 解集在数轴上的表示 确定解集的口诀 x>a, x>b{ 􀃊􀁉􀁕　 x>b　 同大取大 x<a, x<b{ 􀃊􀁉􀁖　 x<a　 同小取小 x>a, x<b{ 􀃊􀁉􀁗　 a<x<b　 大小小大中间找 x<a, x>b{ 􀃊􀁉􀁘　 无解　 大大小小找不到 要点 4 含参不等式(组)的相关计算 例 2　 已知不等式组 x>2, x>a.{ (1)若不等式 x>a 的解集是 x>1,则 a 的值是􀃊􀁉􀁙　 1　 ; (2)若不等式组的解集是 x>2,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁚　 a≤2　 ; (3)若不等式组的解集是 x>3,则 a 的值为􀃊􀁉􀁛　 3　 ; → 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 思维点拨根据同大取大, 可知 a 与 2 的关系. (4)若不等式组的解集是 x>a,则 a 的取值范围是􀃊􀁊􀁒　 a≥2 　 . 例 3　 已知不等式组 x≤2, x>a.{ (1)若不等式组的解集为-1<x≤2,则 a 的值为􀃊􀁊􀁓-1　 ; (2)若不等式组有解,则 a 的取值范围是􀃊􀁊􀁔　 a<2　 ;→ (3)若不等式组恰好有三个整数解,则 a 的取值范围 是􀃊􀁊􀁕　 -1≤a<0　 ; 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋思维点拨 不等式组有解,则根 据“大小小大中间找”且 x 可以 取 2,从而确定 a 与 2 的关系. 思维点拨 不等式组恰好有三个整数解,则这三个整数解是􀃊􀁊􀁖　 2,1,0 　 ,则不等式 x>a 中,可以取到 x= 􀃊􀁊􀁗　 0　 ,但不能取到 x= 􀃊􀁊􀁘　 -1　 ,从而可确定 a 的取值范围. (4)若不等式组至少有三个整数解,则 a 的取值范围是􀃊􀁊􀁙　 a<0　 ; (5)若不等式组无解,则 a 的取值范围是􀃊􀁊􀁚　 a≥2　 . 思维点拨 根据“大大小小找不到”确定 a 的取值范围. 要点 5 一元一次不等式的实际应用 ◆常见关键词与对应不等号: (1)见到“大于、多于、超过、高于”用􀃊􀁊􀁛 >　 ;(2)见到“小于、少于、不足、低于”用􀃊􀁋􀁒 <　 ; (3)见到“至少、不低于、不小于、不少于”用􀃊􀁋􀁓　 ≥　 ; (4)见到“至多、不超过、不大于、不高于”用􀃊􀁋􀁔　 ≤　 . ▶▶大单元进阶练 1　 方程(组)、不等式的实际应用见《分层作业本》P18-20 72 基础夯实练·贵州数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 随堂练习 1. [人教七下 P120 第 4 题改编]下列说法错误的是 (　 C　 ) A. 若 a<b,则 a+1<b+1　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 若-2a>-2b,则 a<b C. 若 a<b,则 ac<bc D. 若 a(c2 +1) <b(c2 +1),则 a<b 2. 解不等式组 1+x>-2, 2x-1 3 ≤1, ì î í ï ï ï ï 并把解集在数轴上表示出来. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如图解所示. 3. [人教七下 P126 第 9 题改编]电脑公司销售一批计算机,第一个月以 3 500 元 /台的价格售出 40 台,第二个月起降价,以 3 000 元 /台的价格将这批计算机全部售出,销售总额超过 30 万元,则这批计算机最少有多少台? 设这批计算机有 x 台,则下列不等式表示正确的是 (　 D　 ) A. 3 500×40+3 000(x-40)≥30 B. 3 500×40+3 000(x-40) >30 C. 3 500×40+3 000(x-40)≥300 000 D. 3 500×40+3 000(x-40) >300 000 4. 某校在世界读书日启动“书香校园”活动,某班在参与读书活动中,计划购买一批笔记本 用于学生摘抄“好词好句” . 提供以下信息: 信息①:购买 10 个 A 型笔记本与 3 个 B 型笔记本共 45 元; 信息②:A 型笔记本的单价比 B 型笔记本便宜 2 元; 信息③:购买 1 个 A 型笔记本与 1 个 B 型笔记本共 8 元. (1)在信息①②③中任选两个作为条件　 　 　 　 (填序号),求 A 型笔记本和 B 型笔记本 的单价; (2)在(1)的条件下,全班 50 个同学每人购买一个笔记本,若购买 A,B 两种笔记本的总 费用不超过 200 元,则 A 型笔记本至少购买多少个? 温馨提示:请完成《分层作业本》P16-17 习题 82 ⑦2(13-4y) +3y= 16　 ⑧y= 2　 ⑨将 y= 2 代入③中　 􀃊􀁉􀁒x= 5 􀃊􀁉􀁓 x= 5, y= 2.{ 　 􀃊􀁉􀁔-5y= -10　 􀃊􀁉􀁕y= 2　 􀃊􀁉􀁖将 y= 2 代入②中 􀃊􀁉􀁗x= 5　 􀃊􀁉􀁘 x= 5, y= 2.{ 随堂练习 1. C　 2. 2　 变式 1　 2　 变式 2　 1 3. (1)解: 2x+3y= 12①, x+1 = 2y②,{ 由②得 x= 2y-1③, 把③代入①,得 2(2y-1) +3y= 12, 解得 y= 2, 把 y= 2 代入③,得 x= 3, ∴ 原方程组的解为 x= 3, y= 2;{ (2)解: 5x-2y= 3①, 4x+3y= 7②,{ ①×3,得 15x-6y= 9③, ②×2,得 8x+6y= 14④, ③+④,得 23x= 23, 解得 x= 1, 将 x= 1 代入②,得 4+3y= 7, 解得 y= 1, ∴ 原方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x)×1=235　 ③x=15,则 100-x=85 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1 3. 7. 2 km / h,2. 6 km / h　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 5. B 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③x+5　 ④x+1　 ⑤x+5　 ⑥x+1 ⑦x1 = -5,x2 = -1　 ⑧9　 ⑨4　 ⑩(x+3) 2 = 4　 􀃊􀁉􀁓x+3 = ±2　 􀃊􀁉􀁔x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖6　 􀃊􀁉􀁗5　 􀃊􀁉􀁘16>0　 􀃊􀁉􀁙 -6± 16 2 　 􀃊􀁉􀁚x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁛两个不相等　 􀃊􀁊􀁒两个相等　 􀃊􀁊􀁓- b 2a 　 􀃊􀁊􀁔没有　 􀃊􀁊􀁕- b a 　 􀃊􀁊􀁖 c a 随堂练习 1. 16,36,6 2. (1)解:由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)解:a= 2,b= -5,c= 2, ∴ b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)解:由原方程得 x(x-7) +8(x-7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x1 = 7,x2 = -8. 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4) a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 要点归纳 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③4(1+x) 2 = 4. 84　 ④(a-2x) ( b -2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x· m-x 2 　 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧2 ⑨(40-2x)(26-x)= 144×6　 ⑩ax　 􀃊􀁉􀁓ax2 　 􀃊􀁉􀁔(1+x)　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 2 随堂练习 1. 2 750　 2. 120　 3. 10　 4. B 命题点 5　 分式方程及其解法 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -( x+ 1) -( x- 2) 　 ③x = - 1　 ④当 x = - 1 时,x-2≠0　 ⑤x= -1　 ⑥x-2　 ⑦m-1　 ⑧x-2　 ⑨2　 ⑩m-1 = 2　 􀃊􀁉􀁓3　 􀃊􀁉􀁔-1 或-2　 􀃊􀁉􀁕-2 命题点 6　 分式方程的实际应用 要点归纳 ① 600 x 　 ②x+10　 ③ 350 x+10 　 ④ 600 x = 2× 350 x+10 　 ⑤x= 60　 ⑥经 检验,x= 60 是原分式方程的解,且符合题意 　 ⑦则 B 种书 包每个的进价为 x+10 = 70(元)　 ⑧A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元　 ⑨ 6 3x 　 􀃊􀁉􀁒4x　 􀃊􀁉􀁓 10 4x 　 􀃊􀁉􀁔 6 3x + 20 60 = 10 4x 　 􀃊􀁉􀁕C　 􀃊􀁉􀁖 1 3 　 􀃊􀁉􀁗 1 3 　 􀃊􀁉􀁘 1 2 　 􀃊􀁉􀁙 1 2 　 􀃊􀁉􀁚 1 3 + 1 3 × 1 2 􀃊􀁉􀁛 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁊􀁒x= 1　 􀃊􀁊􀁓经检验,x = 1 是原分式方 程的解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁔乙队的施工速度快 随堂练习 1. 12 000 1. 5x +100 = 10 000 x 　 2. 540 x = 540 +60 x+20 3. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式　 6 命题点 7　 一元一次不等式(组)的解法及应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a ⑧2+x<3x　 ⑨2x-3x<-2　 ⑩-x<-2　 􀃊􀁉􀁓x>2　 􀃊􀁉􀁔不等式两 边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变　 􀃊􀁉􀁕x>b 􀃊􀁉􀁖x<a　 􀃊􀁉􀁗a<x<b　 􀃊􀁉􀁘无解　 􀃊􀁉􀁙1　 􀃊􀁉􀁚a≤2　 􀃊􀁉􀁛3　 􀃊􀁊􀁒a≥2　 􀃊􀁊􀁓-1　 􀃊􀁊􀁔a<2　 􀃊􀁊􀁕-1≤a<0　 􀃊􀁊􀁖2,1,0　 􀃊􀁊􀁗0　 􀃊􀁊􀁘-1 􀃊􀁊􀁙a<0　 􀃊􀁊􀁚a≥2　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒<　 􀃊􀁋􀁓≥　 􀃊􀁋􀁔≤ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 随堂练习 1. C 2. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 2 题解图 3. D 4. 解:(1)选①③(选法不唯一); 设 A 型笔记本的单价为 x 元,B 型笔记本的单价为 y 元, 由题意可得 10x+3y= 45, x+y= 8,{ 解得 x= 3, y= 5,{ 答:A 型笔记本的单价为 3 元,B 型笔记本的单价为 5 元; (2)设 A 型笔记本购买 a 个,购买 B 型笔记本(50-a)个, 由题意可得 3a+5(50-a)≤200, ∴ a≥25, 答:A 型笔记本至少购买 25 个. 第三章　 函　 数 命题点 1　 平面直角坐标系 要点归纳 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横　 ⑥(x,-y) ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y)　 􀃊􀁉􀁒(x,y+a) 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔 | a | 　 􀃊􀁉􀁕 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁖 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁗 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁘 | y2 -y1 | 随堂练习 1. (1) -2;2;(2) -2<m<2;m>2;三;(3) -1;-4; (4)(2-m,-3m-6);(0,6);(5)( -m,3m+3) 2. (1)( -1,2),2,1, 5 ;(2)( - 1 2 ,1); (3)2,( -3,2)或(1,2);(4)(1,1)或(1,3); (5)(2,1)或(2,-1); 10或 3 2 命题点 2　 函数及其图象的分析与判断 要点归纳 ①图象法　 ②≠　 ③≠　 ④≥　 ⑤≥　 ⑥≠　 ⑦>　 ⑧>　 ⑨> 随堂练习 1. C　 2. A 3. (1)②④;①③⑤⑥;⑤⑥; (2)横轴;纵轴; (3)45; (4)10:30;30;30 (5)20 km / h,10 km / h; (6)18;14:30 命题点 3　 一次函数的图象与性质 要点归纳 ① 　 ② 　 ③ 　 ④一、二、三 ⑤一、三、四　 ⑥一、三　 ⑦一、二、四　 ⑧二、三、四 ⑨二、四　 􀃊􀁉􀁒增大　 􀃊􀁉􀁓一、三　 􀃊􀁉􀁔减小　 􀃊􀁉􀁕二、四 􀃊􀁉􀁖正半轴　 􀃊􀁉􀁗一、二　 􀃊􀁉􀁘负半轴　 􀃊􀁉􀁙三、四　 􀃊􀁉􀁚(0,b) 􀃊􀁉􀁛( - b k ,0)　 􀃊􀁊􀁒<　 􀃊􀁊􀁓> 随堂练习 1. ,y= 2x+1;>,增大;>,正;( - 1 2 ,0), (0,1);一、二、三; 4,1,-2,-5;y= -3x-2;<,减小;<,负;( - 2 3 ,0),(0,-2); 二、三、四 2. (1)m≠-1　 变式　 1; (2) -3　 变式　 m>1; (3) -1<m≤1; (4)p<q　 变式 1　 m<-1　 变式 2　 D 命题点 4　 一次函数表达式的确定 及图象的变换 要点归纳 ①相反数　 ②相反数 随堂练习 1. (1)3;(2)2;(3)4; (4)解:设一次函数的表达式为 y= kx+b(k≠0), 由其图象经过 A(1,3),B( -1,2)两点,代入得 k+b= 3, -k+b= 2,{ 解得 k= 1 2 , b= 5 2 , ì î í ï ï ï ï ∴ 该一次函数的表达式为 y= 1 2 x+ 5 2 . 拓展 1　 y= 1 2 x-1;拓展 2　 y= -2x 2. (1)y= 2x;(2)y= 2x+6;(3)y= -2x+4;(4)y= 2x+4 命题点 5　 一次函数图象与性质的应用 随堂练习 1. (1)x= 6;x= 5;变式　 (7,0);(2)x>6;x<0; (3) x= 4, y= - 4 3 ;{ 12,8;(4)x≥-3 命题点 6　 一次函数的实际应用 要点归纳 ①x　 ②(100-x)　 ③70x+35(100-x)　 ④35x+3 500 ⑤(100-70)x+(75-35) (100-x) 　 ⑥-10x+4 000　 ⑦35x+ 3 500≤6 300　 ⑧0≤x≤80　 ⑨0　 􀃊􀁉􀁒3 500　 􀃊􀁉􀁓0　 􀃊􀁉􀁔4 000 􀃊􀁉􀁕购进这批服装的最低费用为 3 500 元,这批服装全部售出 的最大利润为 4 000 元 例 2　 􀃊􀁉􀁖12　 􀃊􀁉􀁗0. 2　 􀃊􀁉􀁘0. 25　 􀃊􀁉􀁙0. 2x+12　 􀃊􀁉􀁚0. 25x (2)解:当 y= 55 时,A 类:55 = 0. 2x+12,解得 x= 215;B 类:55 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 121