2.5 分式方程及其解法&2.6 分式方程的实际应用-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·贵州数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 5　 分式方程及其解法(4 年 2 考) 要点归纳 要点 1 分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 要点 2 分式方程的解法: 分式方程 去分母 转化 →整式方程→ 有解 检验 → 最简公分母不为 0 →分式方程有解 最简公分母为 0 →解是增根→分式方程无解{ 无解→分式方程无解 ì î í ï ïï ï ï 例 1　 解方程: 3 x-2 = x+1 2-x -1. 答题规范: 解:方程两边都乘①　 　 　 　 　 ,得②　 　 　 　 　 　 ,→去分母:不要漏乘不带分母的项 解得③　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,→解一元一次方程 检验④　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,→检验:解分式方程一定要检验 则原分式方程的解为⑤　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . →得解 要点 3 分式方程的增根与无解 (1)增根:是去分母后的整式方程的解,同时也使得分式方程的分母等于 0; 例 2　 若关于 x 的分式方程 m x-2 + 3 2-x = 1 有增根,求 m 的值. 解:方程两边都乘⑥　 x-2　 ,解得 x= ⑦　 m-1　 ,　 →将分式方程转化为整式方程, 　 求出 x(未知字母表示) ∵ 方程有增根,∴ 令⑧　 x-2　 = 0,∴ x= ⑨　 2　 ,→令最简公分母为 0,求出 x 的值 ∴ ⑩　 m-1=2　 ,m= 􀃊􀁉􀁓　 3　 . →代入即可求出未知字母的值 (2)无解的两种情况: ①分式方程化为整式方程后,整式方程无解􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解; ②分式方程化为整式方程后,整式方程的解是分式方程的增根􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解. 例 3　 已知关于 x 的分式方程3 -2x x-3 +3+mx 3-x = -1. 若原方程无解,则 m = 􀃊􀁉􀁔　 -1 或-2　 ;若 原方程有增根,则 m= 􀃊􀁉􀁕　 -2　 . 温馨提示:请完成《分层作业本》P14 习题 32 基础夯实练·贵州数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 6　 分式方程的实际应用(4 年 2 考) 要点归纳 类型 1 购买问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…多 /少 /贵 / …”“…与􀪍…相等􀪍􀪍(同)” . 例 1　 某商场准备购进 A,B 两种书包,每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 10 元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,用 600􀪍􀪍􀪍 元购进 A 种书包的个数是用 350 元购进 B 种书包个数的 2 倍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则 A,B 两种书包每 个进价各是多少元? 审:基本数量关系式:总费用 进价 =数量. 设:设 A 种书包每个进价为 x 元, 列:依题意,得④　 　 　 　 　 　 , (根据两种书包数量的倍数关系列方程) 解:解得⑤　 x=60　 , 总费用 进价(元) 数量(个) A 种 600 x ①　 　 　 　 B 种 350 ②　 x+10　 ③　 　 　 　 验:⑥　 经检验,x=60 是原分式方程的解,且符合题意　 , ⑦　 则 B 种书包每个的进价为 x+10=70(元) 　 , 答:⑧　 A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元　 . 注:双检验———①检验是否是分式方程的解;②检验是否符合实际问题. 类型 2 行程问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…晚 /少用 /提前 / …”“…先出发􀪍􀪍􀪍,…同时􀪍􀪍到达”“相遇”. 例 2　 [人教八上 P154 第 3 题改编]甲、乙两人分别从距目的地 6 千米􀪍􀪍􀪍和 10 千米􀪍􀪍􀪍􀪍的两地同 时出发,甲、乙的速度比是 3 ∶ 4􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,结果甲比乙提前 20 分钟􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍到达目的地,设甲的速度 为 3x 千米 /时,则所列方程是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 3x +20 = 10 4x B. 6 3x = 10 4x +20 C. 6 3x +20 60 = 10 4x D. 6 3x = 10 4x +20 60 审:基本数量关系式:路程 速度 =时间. 设:已知设出甲的速度为 3x 千米 /时. 列:依题意,得􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 　 　 . (根据甲乙同 时出发,到达目的地的时间差列方程) 【答案】􀃊􀁉􀁕　 C　 路程 (千米) 速度 (千米 / 时) 时间 (时) 甲 6 3x ⑨　 　 　 乙 10 ⑩　 4x　 􀃊􀁉􀁓　 　 　 42 基础夯实练·贵州数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 类型 3 工程问题 例 3　 [人教八上 P152 例 3]两个工程队共同参与一项筑路工程,①甲队单独施工 1 个月完􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 成总工程的 1 3 , 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 这时②增加了乙队,两队又共同工作了半个月 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,总工程全部完成. 哪 个队的施工速度快? 审:工作总量看作“1”,工作总量=工作效率×工作时间. ①甲单独施工的工作量:􀃊􀁉􀁖　 　 　 ,甲单独施工时间:1 个月,可得甲的工作效率 = 􀃊􀁉􀁗　 　 　 ;②乙的工作时间:􀃊􀁉􀁘　 　 　 个月,甲、乙共同工作的时间:􀃊􀁉􀁙　 　 　 个月; 甲的工作总量为􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 　 ;由题意可得甲、乙工作总量和为 1. 设:设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 1 x . 列:􀃊􀁉􀁛　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 解:解得􀃊􀁊􀁒　 x=1　 , 验:􀃊􀁊􀁓　 经检验,x=1 是原分式方程的解,且符合实际　 , ∴ 乙队单独施工 1 个月可完成全部任务. 答:􀃊􀁊􀁔　 乙队的施工速度快　 . 随堂练习 1. 为了实施乡村振兴,某企业帮扶火红村发展林果产业,先后两次购进同种果树苗,第一次 购树苗用去 12 000 元,第二次用去 10 000 元,第一次树苗的单价是第二次树苗单价的 1. 5 倍,第二次购进树苗的数量比第一次多 100 棵. 设第二次树苗单价为 x 元,则可列方 程:　 　 　 　 　 　 　 　 . 2. [人教八上 P153 例 4 改编]中国高铁已成为一张世界名片. 经过技术改进,某次列车平均 提速 20 km / h,列车提速前行驶 540 km 所用的时间,提速后可多行驶 60 km,求这次列车 提速 前 的 平 均 速 度. 设 这 次 列 车 提 速 前 的 平 均 速 度 为 x km / h, 则 可 列 方 程:　 　 　 　 　 　 　 　 . 3. 【2022 年版课标新增内容】某施工队挖掘一条长 96 米的隧道,开工后每天比原计划多挖 掘 2 米,结果提前 4 天完成任务,求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数. 小明同 学根据题意列出方程:96 x - 96 x+2 =4,则方程中未知数 x 表示　 原计划每天挖掘隧道的长度　 . 变式 某施工队要挖掘一条长 120 米的隧道,因为采取了新的施工工艺,开工后每天挖掘的 长度是原计划的 4 3 倍,结果比原计划提前 5 天完成任务,则原计划每天挖掘的长度 为　 6　 米. 温馨提示:请完成《分层作业本》P15 习题 52 ⑦2(13-4y)+3y=16⑧y=2⑨将y=2代人③中0x=5 ∴.x-1=±/5 m/r3, 2-5y=-1005=2将y=2代入②中 .x,=1+5,2=1-w5: y=2. (2)解：a=2.b=-5,e=2 5=5G=5 .b2-4ae=(-5)2-4×2×2=9>0, (y=2. 5±95±3 随堂练习 4 4 1.C2.2变式12变式21 1 2x+3y=12①， 六x1=2,出= 3.(1)解： x+1=2②. (3)解：由原方程得x(x-7)+8(x-7)=0 由②得x=2y-1③， .(x-7)(x+8)=0, 把3代入①.得2(2y-1)+3y=12. x=7,x3=-8. 解得y=2, 3.(1)a<4且a≠0：(2)4：(3)u>4:(4)a≤4 把y=2代入③，得x=3, 4.4 六原方程组的解为：=3， 命题点4一元二次方程的实际应用 (y=2 要点归纳 国9 ①a(1+x)2②a(1-x)2 ③4(1+x)2=4.84④(a-2x)(b -2x）5(a-)(6-x）0x.m2⑦.m+182 ①×3，得15x-6y=93, 2 ②×2，得8x+6y=14④. ⑨(40-2x)(26-x)=144×60ax①ux22(1+x) ③+④.得23x=23. B(1+x) 解得x=1, 随堂练习 将x=1代入②，得4+3y=7, 1.27502.1203104.B 解得y=1, 命题点5分式方程及其解法 六原方程组的解为任= 要点归纳 (y=1. ①(x-2)23=-(x+1)-(x-2)③x=-1④当x=-1 命题点2一次方程（组）的实际应用 时，x-2≠0⑤x=-16x-2⑦m-1⑧x-2⑨2 0m-1=2①32-1或-2M3-2 要点归纳 命题点6分式方程的实际应用 ①(100-x)②210r+(100-x)×1=235③x=15.则100-x=85 要点归纳 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产15吨，85吨 ⑤/0+6=10. a60 2x350 ②x+10③350④600 x+10 x+10 ⑤x=606经 (10a+b=235 检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意⑦则B种书 随堂练习 包每个的进价为x+10=70(元)⑧A种书包每个进价为60 90%x-y=20%y, 1 1 1. 元，B种书包每个进价为70元⑨。国4r①10 (80%x-y=10 212+2 3x 3x x+y=24. 2010 3.7.2km/h.2.6km/h4. 5.B 4×3r=12y 604r 93+3*2 命题点3 一元二次方程及其解法 了×对公1=1国经检验=1是原分式方 要点归纳 程的解，且符合实际②乙队的施工速度快 ①u≠0②a≠03x+5④x+1⑤x+5⑥x+1 随堂练习 ⑦x,=-5,x=-189⑨400(x+3)2=4①x+3=±2 1200 100=10000 2540.540+60 g,=-5,=-1B108655016>0D6±/16 1.1.5x xx+20 2 3.原计划每天挖掘隧道的长度变式6 0⑧x,=-5,x1=-1 0两个不相等②两个相等-2 命题点7一元一次不等式（组）的解法及应用 要点归纳 ②没有雪-6 ①>②>③<④x<a⑤x>u6x≤a⑦x≥a 82+x<3x⑨2x-3x<-200-x<-2①x>22不等式两 随堂练习 边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变⑧x> 1.16,36,6 x<aa<x<b无解M01Ba≤203④a≥2 2.(1)解：由原方程得x2-2x=4, 4-1②a<2雪-1≤a<02.1,050雪-1 则x2-2x+1=4+1.即(x-1)2=5. 7a<08a≥29>闭<0≥2≤ 120