2.3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·贵州数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 一元二次方程及其解法(近 3 年连续考查) 要点归纳 要点 1 一元二次方程(ax2 +bx+c= 0,a≠0)必须同时满足以下三个条件: (1)是整式方程; (2)只含有 1 个未知数; (3)未知数的最高次数是 2. 易错警示:对于方程 ax2 +bx+c= 0,只有当①　 a≠0　 时才是 一元二次方程;若 ax2 +bx+c= 0 是一元二次方程,则必然隐含着②　 a≠0　 . 要点 2 一元二次方程的解法(基本思路:降次) 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 x2 = p(p≥0) x=± p (x+n) 2 = p(p≥0) x=± p -n 因式分解法 (x-a)(x-b)= 0 x1 =a,x2 =b x(ax+b)= 0 x1 = 0,x2 =- b a 公式法 所有一元二次方程: ax2 +bx+c= 0 (a≠0,b2 -4ac≥0) 求根公式为 x= -b± b2-4ac 2a , 在使用求根公式时: (1) 要 先 将 一 元 二 次 方 程 化 为 一 般 形式; (2)确定 a,b,c 的值时要带符号 配方法 所有一元二次方程,一般用于: 二次项系数化为 1 后一次项 系数是偶数的方程,形如 x2 + 2mx-n= 0 x= ± n+m2 -m 易错警示:①用公式法代 a,b,c 的值时要注意它们的符号; ②对于方程两边含有相同因式(如 2x(x-1)= 3(x-1))的一元二次方程,切勿直接约去公 因式求解导致丢根􀪍􀪍,正确做法是将方程化为两个因式之积为 0的形式,利用因式分解法求解. 　 例　 多解法 ∙∙∙ 解方程:x2 +6x+5 = 0. 解法 1:因式分解法: 解:由原方程,得(③　 　 　 )(④　 　 　 )= 0, 即⑤　 　 　 = 0 或⑥　 　 　 = 0, 解得⑦　 　 　 　 　 　 　 解法 2:配方法 解:由原方程,得 x2 +6x+⑧　 　 = ⑨　 　 , 即􀃊􀁉􀁒　 　 　 　 , 得􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 , 解得􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 　 　 　 . 91 基础夯实练·贵州数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 解法 3:公式法: 解:原方程 a= 􀃊􀁉􀁕　 　 　 ,b= 􀃊􀁉􀁖　 　 　 ,c= 􀃊􀁉􀁗　 　 　 b2 -4ac= 􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 , x= 􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 , 解得􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 　 　 　 　 . 要点 3 一元二次方程根的判别式 b2 -4ac 叫作一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根的判别式. (1)b2 -4ac>0⇔方程有􀃊􀁉􀁛　 两个不相等　 的实数根; (2)b2 -4ac= 0⇔方程有􀃊􀁊􀁒　 两个相等　 的实数根(x1 = x2 = 􀃊􀁊􀁓　 　 　 　 ); (3)b2 -4ac<0⇔方程􀃊􀁊􀁔　 没有　 实数根. 由(1)、(2)知 b2 -4ac≥0⇔方程有两个实数根. 注:由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时,若一元二次方程的二􀪍 次项系数含有字母􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,应注意二次项系数不为 0􀪍􀪍􀪍 这个隐含条件. 要点 4 一元二次方程根与系数的关系 若方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1 +x2 = 􀃊􀁊􀁕　 　 　 ,x1x2 = 􀃊􀁊􀁖　 　 　 . 随堂练习 1. [北师九上 P36 做一做改编]填上适当的数,使等式成立: x2 +8x+　 16　 = (x+4) 2;x2 -12x+　 36　 = (x-　 6　 ) 2 . 2. 请用你认为的最佳方法解下列方程. (1)x2 -2x-4 = 0;　 　 　 　 　 　 (2)2x2 -5x+2 = 0;　 　 　 　 (3)x(x-7)= 8(7-x) . 3. 已知关于 x 的方程 ax2 -4x+1 = 0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是　 a<4 且 a≠0　 ; (2)若该方程有两个相等的实数根,则 a 的值为　 a>4　 ; (3)若该方程没有实数根,则 a 的取值范围是　 a>4　 ; (4)若该方程有实数根,则 a 的取值范围是　 a≤4　 . 4. [北师九上 P56 第 5 题改编]已知方程 x2 - 3x+ 1 = 0 的两根是 x1,x2,则 x1 +x2 +x1 ·x2 的值 是　 　 　 4　 . 温馨提示:请完成《分层作业本》P12 习题 02 ⑦2(13-4y)+3y=16⑧y=2⑨将y=2代人③中0x=5 ∴.x-1=±/5 m/r3, 2-5y=-1005=2将y=2代入②中 .x,=1+5,2=1-w5: y=2. (2)解：a=2.b=-5,e=2 5=5G=5 .b2-4ae=(-5)2-4×2×2=9>0, (y=2. 5±95±3 随堂练习 4 4 1.C2.2变式12变式21 1 2x+3y=12①， 六x1=2,出= 3.(1)解： x+1=2②. (3)解：由原方程得x(x-7)+8(x-7)=0 由②得x=2y-1③， .(x-7)(x+8)=0, 把3代入①.得2(2y-1)+3y=12. x=7,x3=-8. 解得y=2, 3.(1)a<4且a≠0：(2)4：(3)u>4:(4)a≤4 把y=2代入③，得x=3, 4.4 六原方程组的解为：=3， 命题点4一元二次方程的实际应用 (y=2 要点归纳 国9 ①a(1+x)2②a(1-x)2 ③4(1+x)2=4.84④(a-2x)(b -2x）5(a-)(6-x）0x.m2⑦.m+182 ①×3，得15x-6y=93, 2 ②×2，得8x+6y=14④. ⑨(40-2x)(26-x)=144×60ax①ux22(1+x) ③+④.得23x=23. B(1+x) 解得x=1, 随堂练习 将x=1代入②，得4+3y=7, 1.27502.1203104.B 解得y=1, 命题点5分式方程及其解法 六原方程组的解为任= 要点归纳 (y=1. ①(x-2)23=-(x+1)-(x-2)③x=-1④当x=-1 命题点2一次方程（组）的实际应用 时，x-2≠0⑤x=-16x-2⑦m-1⑧x-2⑨2 0m-1=2①32-1或-2M3-2 要点归纳 命题点6分式方程的实际应用 ①(100-x)②210r+(100-x)×1=235③x=15.则100-x=85 要点归纳 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产15吨，85吨 ⑤/0+6=10. a60 2x350 ②x+10③350④600 x+10 x+10 ⑤x=606经 (10a+b=235 检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意⑦则B种书 随堂练习 包每个的进价为x+10=70(元)⑧A种书包每个进价为60 90%x-y=20%y, 1 1 1. 元，B种书包每个进价为70元⑨。国4r①10 (80%x-y=10 212+2 3x 3x x+y=24. 2010 3.7.2km/h.2.6km/h4. 5.B 4×3r=12y 604r 93+3*2 命题点3 一元二次方程及其解法 了×对公1=1国经检验=1是原分式方 要点归纳 程的解，且符合实际②乙队的施工速度快 ①u≠0②a≠03x+5④x+1⑤x+5⑥x+1 随堂练习 ⑦x,=-5,x=-189⑨400(x+3)2=4①x+3=±2 1200 100=10000 2540.540+60 g,=-5,=-1B108655016>0D6±/16 1.1.5x xx+20 2 3.原计划每天挖掘隧道的长度变式6 0⑧x,=-5,x1=-1 0两个不相等②两个相等-2 命题点7一元一次不等式（组）的解法及应用 要点归纳 ②没有雪-6 ①>②>③<④x<a⑤x>u6x≤a⑦x≥a 82+x<3x⑨2x-3x<-200-x<-2①x>22不等式两 随堂练习 边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变⑧x> 1.16,36,6 x<aa<x<b无解M01Ba≤203④a≥2 2.(1)解：由原方程得x2-2x=4, 4-1②a<2雪-1≤a<02.1,050雪-1 则x2-2x+1=4+1.即(x-1)2=5. 7a<08a≥29>闭<0≥2≤ 120