1.4 整式与因式分解-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点归纳 ①不循环　 ②-3 m　 ③盈利 50 元　 ④亏损 80 元 ⑤温度下降 3 ℃ 　 ⑥- 1 2 或 3 2 　 ⑦-a　 ⑧0　 ⑨0　 ⑩-1　 􀃊􀁉􀁓相等　 􀃊􀁉􀁔对称　 􀃊􀁉􀁕-a　 􀃊􀁉􀁖大　 􀃊􀁉􀁗a= -b　 􀃊􀁉􀁘1　 􀃊􀁉􀁙±1 􀃊􀁉􀁚 3 　 􀃊􀁉􀁛 5 　 􀃊􀁊􀁒108 　 􀃊􀁊􀁓3. 1　 􀃊􀁊􀁔大　 􀃊􀁊􀁕>　 􀃊􀁊􀁖 = 　 􀃊􀁊􀁗> 随堂练习 1. ①⑤⑧;①④⑥;⑧;①④⑤⑥⑧;②③⑦⑨⑩ 2. (1)F,B;(2)①-1,- 1 2 ,1, 2 ,3,π;②A,C,1;③ 1 2 , 1 2 , -2;-3,3, 1 3 ;④左, 3 2 3. - 1 3 <0< 3 < | -3 | <π 4. (1)7. 05×107 ;(2)5. 07×10-8 ;(3)3. 3×1010 ;(4)5. 4×103 命题点 2　 实数的运算 要点归纳 ①na　 ② 1 b 　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 随堂练习 1. (1)1;(2)12;(3)1;(4)1- 2 ;(5) -2;(6) 1 4 ;(7) -1; (8)2;(9) - 2 2 2. (1)解:原式= 2-9+1 = -6; (2)解:原式= -2+3+2 = 3; (3)解:原式= 4-3 3 + 3 -1+4× 3 2 = 4-3 3 + 3 -1+2 3 = 3; (4)解:原式= 1+ 1 3 ×3- 2 × 2 2 = 1+1-1 = 1. 命题点 3　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点归纳 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1　 ⑥≥　 ⑦a ⑧ ab 　 ⑨ a÷b 　 ⑩4　 􀃊􀁉􀁓9　 􀃊􀁉􀁔2　 􀃊􀁉􀁕3　 􀃊􀁉􀁖C　 􀃊􀁉􀁗2. 5 􀃊􀁉􀁘3　 􀃊􀁉􀁙C 随堂练习 1. (1)x≥4;(2)x>1;(3)x≥1 且 x≠2 2. (1)3 2 ;(2) -3;(3) -3;(4) 3 ;(5) 6 ;(6)2;(7)3 2 + 2 3 ;(8)1 3. 8 3 4. 3,4,4 命题点 4　 整式与因式分解 要点归纳 ①am+n 　 ②amn 　 ③ambm 　 ④am-n 　 ⑤ 1 ap 　 ⑥1 ⑦am+an+bm+bn　 ⑧a2 -b2 　 ⑨a2 ±2ab+b2 随堂练习 1. 3;3;-4　 2. (1)(1-45%)x;(2)a+10b 3. 2　 变式 1　 2 026　 变式 2　 15;± 13 4. 2n-1 n2 +1 　 5. (5n+1) 6. (1)a6 　 (2)6a2b　 (3) -a3 　 (4)8a6 　 (5)2a8 　 (6)3x2y4 (7)2a2 -2ab　 (8)4a2 -b2 　 (9)x2 -6x+9 7. (1)y(x-2y);(2)(4a-1) 2 ;(3)(3+x)(3-x); (4)x(x-y) 2 8. 解:解法 1:原式= x2 +2x+1-x2 -x = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 解法 2:原式= (x+1)(x+1-x) = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 命题点 5　 分式及其运算 要点归纳 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0　 ④ bd ac ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦x-1　 ⑧x+1　 ⑨x-2　 ⑩ a±b c 　 􀃊􀁉􀁓 ad±bc bd 　 􀃊􀁉􀁔(x-2)(x-1)　 􀃊􀁉􀁕(x+1)(x-1)　 􀃊􀁉􀁖(x+2)(x-2) 2 随堂练习 1. x≠5;x≠-1;x= 1 2. (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)2;(4) 1 a+2 ;(5) 1 a-2 ;(6) -x 3. 解:原式= x-3 x-1 · x2 -9-2x+10 x2 -9 = x -3 x-1 · (x-1) 2 (x+3)(x-3) = x -1 x+3 , 由题意得 x≠1,x≠±3,∴ 当 x= 2 时,原式= 2-1 2+3 = 1 5 . 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥13-4y 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911 基础夯实练·贵州数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 4　 整式与因式分解(必考) 要点归纳 要点 1 列代数式及求值 代数式 用基本运算符号将数或表示数的字母连接所成的式子,称为代数式. 单独的一 个数或一个字母也是代数式 列代 数式 关键是找出问题中的数量关系. 牢记一些公式,如:路程 = 速度×时间,总价 = 数 量×单价,售价= 标价×折扣;抓住关键词语,如:大、小、多、少、倍、分、增长、下 降等 易错警示:多项式后面带单位时,要用括号括起来,如:(x+y)人 代数式 求值 直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值. 如:已知 a= 2,则 2a+3 = 7 整体代入法: (1)观察已知关系式和所求代数式的关系; (2)将所求代数式变形后与已知关系式中含字母的部分(有时也需对已知关系 式变形)成倍数关系,一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式; (3)将所求代数式中上述成倍数关系的部分用已知关系式中相同代数式的值 替换求值. 整体代入法中常用乘法公式变形: a. a2 +b2 = (a+b) 2 -2ab= (a-b) 2 +2ab;　 b. 4ab= (a+b) 2 -(a-b) 2; c. a2 +b2 = 1 2 [(a+b) 2 +(a-b) 2]; d. x2 + 1 x2 = (x+ 1 x ) 2 -2 = (x- 1 x ) 2 +2 要点 2 简单数列推理 (1)若一列正整数:1,2,3,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n,这 n(n≥1)个数的和 为 n(n+1) 2 ; (2)若一列数:1,3,5,7,9,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n-1,这 n(n≥1)个数的 和为 n2; (3)若一列数:-1,1,-1,1,-1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n; (4)若一列数:1,4,9,16,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n2; (5)若一列数:4,7,10,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 3n+1; (6)若一列数:2,6,12,20,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n(n+1) . 要点 3 代数推理【2022 年版课标新增内容】 课标例题:设 abcd 是一个四位数,求证:若 a+b+c+d 可以被 3 整除,则这个数可以被 3 整除. 证明:abcd= 1 000a+100b+10c+d = (999a+99b+9c) + (a+b+c+d),显然(999a+99b+9c)能 被 3 整除,因此,如果(a+b+c+d)能被 3 整除,那么 abcd 就能被 3 整除. 01 基础夯实练·贵州数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 4 整式的相关概念 单 项 式 概念 数或字母的积的式子,单独的一个数或一个字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和 例: 叫作五次单项式 多 项 式 概念 几个单项式的和 项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项,其中不含 字母的项叫作常数项 次数 多项式中次数最高项的次数 例: 叫作四次三项式 整式 单项式和多项式统称为整式 要点 5 整式的运算 整式的 加减法 (1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫作同类项. 例 如:8n 与 5n,2a2b 与-7a2b 是同类项(几个常数项也是同类项); (2)把同类项合并成一项叫作合并同类项. 整式加减的本质就是先去括号,再 合并同类项. 例如:8n+5n= 13n,-7a2b+2a2b= -5a2b 幂的 运算 (1)同底数幂的乘法:am·an = ①　 am+n 　 (m,n 都是整数); (2)幂的乘方:(am) n = ②　 amn 　 (m,n 都是整数); (3)积的乘方:(ab)m = ③　 ambm 　 (m 是整数); (4)同底数幂的除法:am÷an = ④　 am-n 　 (a≠0,m,n 都是整数,且 m>n); (5)负指数幂:a-p = ⑤　 　 　 　 (a≠0,p 为整数); (6)零指数幂:a0 = ⑥　 　 　 1　 (a≠0) 整式的 乘法 (1) 单 项 式 与 单 项 式 相 乘: - 2am · an = -2a2mn; (2)单项式与多项式相乘:m(a+b+c)= ma+ mb+mc; (3)多项式与多项式相乘:(a+b)(m+n)= ⑦　 am+an+bm+bn　 ; (4)乘法公式: ①平方差公式: a+b( ) a-b( ) =⑧　 a2-b2　 ; ②完全平方公式: a±b( ) 2 =⑨　 a2±2 ab+b2　 整式的 除法 (1)单项式除以单项式:a3m2 ÷(-2am)= - 1 2 a2m; (2)多项式除以单项式:(3a2b-ab2 +b)÷b= 3a2-ab+1 11 基础夯实练·贵州数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 整式混 合运算 的顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,整式运算的结果是 单项式或多项式 注:数的运算律在整式的运算中依然成立. 要点 6 因式分解 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方 法 提公因式法 (1)ma+mb+mc=m(a+b+c); (2)公因式的确定 系数:取各项系数的最大公约数 字母:取各项相同的字母 指数:取各项相同字母的最低次数 ì î í ï ï ï ï 公式法 a2 -b2 因式分解 平方差公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a+b)(a-b) 　 a2 ±2ab+b2 因式分解 完全平方公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a±b) 2 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 拓展十字相乘法:x2 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如:x2 +5x+6 =(x+2)(x+3). 随堂练习 1. 单项式-3πx3 的次数是　 　 　 ;多项式 x2 -3xy2 -4 的次数是　 　 　 ,常数项是　 　 　 　 . 2. 用代数式表示: (1)某班共有 x 名学生,其中女生人数占 45%,那么男生人数是　 　 　 　 ; (2)若一个两位整数的个位数字是 a,十位数字是 b,则这个两位数应表示为　 　 　 　 . 3. 若 x-2y= 3,则代数式 2x-4y-4 的值是　 　 　 　 . 变式 1 已知代数式 x-2y-1 的值是-3,则代数式 2 024-x+2y 的值是　 　 　 　 . 变式 2 [人教八上 P112 第 7 题改编]已知 a+b= 5,ab= 3,则 a2b+ab2 = 　 　 　 ,a-b= 　 　 　 . 4. 按规律排列的一组数据: 1 2 , 3 5 , 1 2 , 7 17 , 9 26 ,11 37 ,…,则第 n(n≥1)个数是　 　 　 　 . 5. [北师七上 P98 随堂练习改编]如图是用棋子摆成的“小雨伞”,根据规律得出第 n 个“小雨 伞”需要棋子的个数可用代数式　 (5n+1) 　 来表示. 第 5 题图 21 基础夯实练·贵州数学 第 一 章 　 数 与 式 6. 计算下列式子. (1)a2·a4 = 　 　 　 　 ;　 　 　 (2)2a·3ab= 　 　 　 　 ;　 　 (3)( -a) 3 = 　 　 　 　 ; (4)(2a2) 3 = 　 　 　 　 ; (5)2a10 ÷a2 = 　 　 　 　 ; (6)6x3y6 ÷2xy2 = 　 　 　 　 ; (7)2a(a-b)= 　 　 　 　 ;　 　 (8)(2a+b)(2a-b)= 　 　 　 　 ;(9)(x-3) 2 = 　 　 　 　 　 . 7. 将下列各式进行因式分解. (1)xy-2y2 = 　 　 　 　 　 　 ;　 　 　 　 　 (2)16a2 -8a+1 = 　 　 　 　 　 　 ; (3)9-x2 = 　 　 　 　 　 　 　 ; (4)x3 -2x2y+xy2 = 　 　 　 　 　 　 . 8. 多解法 ∙∙∙ 　 先化简,再求值:(x+1) 2 -x(x+1),其中 x= 2 024. 解:解法 1:原式=x2+2x+1-x2-x 原式=2 024+1=2 025. 　 　 　 解法 2:原式=(x+1)(x+1-x) =x+1, 温馨提示:请完成《分层作业本》P6-7 习题 命题点 5　 分式及其运算(4 年 3 考) 要点归纳 要点 1 分式的概念及性质 概念 (1)形如 A B (A,B 表示两个整式)的式子;(2)B 中含有字母且 B≠0 最简分式 分子与分母没有公因式的分式 与分式 有关的 “三个条件” (1)分式 A B 有意义的条件是:①　 B≠0　 ; (2)分式 A B 值为 0 的条件是:②　 A=0 且 B≠0　 ; (3)使代数式 A B ÷D C 有意义的条件是:③　 B≠0,C≠0,D≠0　 性 质 及 应 用 基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于 0 的整式,分式的值不变 性质应用 (1) a b =a·m b·m (m≠0),该性质应用于分式的通分; (2) a b =a÷m b÷m (m≠0),该性质应用于分式的约分; (3)符号变化法则:分子、分母与分式本身的符号,改变其中任意两个,分 式的值不变,即 a b = -a -b = --a b = - a -b 31