四川省成都市某中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

高2022级高三上学期12月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 一、单选愿：本愿共8小愿，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的. 1.若集合A={0,1,2,B={1,2,3引，C={xx∈A且x∈B时，则C=() A.{L,2 B.{0,l2,3到 c.3到 D. 2。下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，5，上，龙，其中最小的是() y A. B. C. D.r 3.等比数列{a}中，若a:+a2=2,a2+a,=8,则{a}的公比州 A.5 B.42 C.2 D.4 4.若圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B,则AB所在直线方程是() A.4r-4y+1=0 B.4x-4y-1=0 C.x+y-1=0 D.x-y+1=0 5.已知随机变量X-N4a),若其对应的正态密度函数f()满足f2-x)=f),且PX≤0)=0.1， 则PA1≤X≤2)=() A.0.8 B.0.5 c.0.4 D.0.1 6。若空间四点A,B,C,D共面面不共线，则这四点中) A.必有三点共线 B.至少有三点共线 C,必有三点不共线 D。不可能有三点共线 7.若数列{a,}满足a=W5y-12 ,其前n项和为5·则() A.S,既无最大值，又无最小值 B.当且仅当n=1时，S,取得最小值 C,当且仅当雅=8时，S.取得最小值 D.neN°，S.2S 8.如图，画在纸面上的抛物线y2=8x过焦点F的弦AB长为9，则沿x轴将纸面折成平面角为60 度的二面角后，空间中线段AB的长为) A.4W6 B.丽 c.5网 D.√厨 二、选舞题：本题共3小题，每小愿6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目晏 求：全部选对的得6分，部分选对的得郁分分，有选错的得0分 9.若a>b>0,则一定有() 后+bFa+b A.2 B.atb 2ab 2 2 a+b C.+m色 D.a>a±地>bMa>0a>0 a+m a 2+4 10.已知复数马=a+i5=1+i,a,beR,,5在复平面内对应的向量分别为OZ.OZ,其中0为 原点，则下列结论正确的是() A.若0Z10Z,则a+b=0 B.若0元10Z,则与+=- c.若OZ/oZ,则ab=1 D.着0沉OZ,则5∈R 11。时钟是伴随我们日常生活的必要物品.下面关于它的说法，正确的有() A.一天24小时内时针和分针重合22次（第一天零点算第一次重合，第二天零点不再重复算） B.零点时针和分针算第一次重合，则第六次重合时大约在早上5点27分到5点28分之间 C,设分针长度为10厘米，分别以分针指向表盘读数12和3的方向为y轴正半轴和x轴正半轴方向 建立平面直角坐标系，以某天零点开始记1=0（单位：分钟），若时钟正常工作，则在这之后，分针 终点提坐标x-0co号0>0)（伴a:度利 设下年5点20分时，时针和分针所成的锐角为ad则ma<a<cosa 三、填空题：本题共3小愿，每小愿5分，共15分 12.若tana=2,则sin2a= 13.若4，c白2是夹角为60的两个单位向量，则日与白-2e的类角为 14.与函数f(x)=x3-3x(xe0L2)的析式和值城相同。定义城不同的函数有个 四、解答题：本愿共5小愿，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知csin B+√6c0sC=0. ()求角C的值： (2)若a=4,c=2√万，求△4BC的面积 16.(本题15分)已知函数f（x)=(x+1)nr-a+2 ()当=1时，求f八到的图象在L,f》处的切线方程， (②)若函数了(x)在L+四)上单调递通增，求实数a的取值范围 17.(本题15分)已知三棱推P-ABC中，PA,PB、PC与底面ABC所成角相等，∠CAB=90, 4AC=AB=PB=2,D为BC中点，E点在PB上且PC∥藏面E4D (I)求证：PD⊥平面ABC, (2)求直线PC到平面E4D的距离 18.(本题17分)已知无穷数列a,}满足a=2024a,-2023(n∈N”),a=2025. ()求a}的通项公式： (2)树德中学各班将要举行“辞2024旧岁，迎2025新年”的主题活动，要求有一些含学科元素的游 戏或节目某班数学科代表想用这个数列，组织如下游戏：让参与同学在数列{和，}中随机抽取10项， 如果在这10项中，至少有k项的值能被2025整除，则这个同学即中奖并得到小礼物（此构想由信息 科代表协助编程完成，即抽取项的序号可由计算机产生随机数，抽取项的值能否被2025整除也由计 算机来判断，游戏时同学只需要按一次键即可知道抽取和判断结果)。 ()设随机变量5表示抽取项中能核2025整除的项的个数，求E(): (①本着开心迎新年的原则，若要中奖概率大于90%，那么规定k=3是否合理，若合现，请说明理由： 著不合理，请给出一个合理的k取值方案 19.(本题17分)我们可以通过将平面直角坐标三角换元得到平面内一点绕坐标原点O的坐标旋转 公式：如图，平而直角坐标系中，已知点P(x,y),设OP=r,角a始边在x轴非负半轴，终边与OP x=rcosa 重合，则可得 ,将OP绕坐标原点O逆时针旋转日后， P(y) y=rsina P(x.y) P点旋转到P(xy) x'=xcos0-ysin0 ()求证： y'=xsin0+ycos0 ②)已知曲线C是函数y号x+的图象，它是某双曲线 二片1a>0,b>0)绕原点0速时针旋转二后得到的，求C的商心事 3 ()已知曲线B:+广-y=1是由某椭圆号， 子*疗-1如>6>0)烧原点0逆时针炭转浮后所得的斜 2 椭圆.过点V 作与两坐标物都不平行的直线4交曲线E于点从、从，过原点O作直线马与直 5 找1垂直，直线交曲线E于点G、H判断问O阿 是否为定值，若是，请求出定值，若不是， 请说明理由。 数学参考答案 思号 教材思源 2 《选择性必修三》P100原国 4 (选择性必修一》P96例5.P98.9 《选择性必修二》取，P23。例9解法一的思想登偏创作 8 《选择性必修一》P41,练习1，P138.5两题改编创作 《必修一》各处的不等式，如P43.10.P46练习1等组合 10 《必修二》P61,14(1),P71正文第一、二段，是本题的解题思想 11 《必修一》P176.11.12改编创作 12 《必停一》P219,例4(3) 13 《必修一》P61,3(4)改编网单，可不通过计具画图即得 14 《必修一》P85,练习3改编创作 17 《必修二》P152,4(1)(非原创题。但解决本题的关键潭于教村这里) 18 《选择性必修二》P25,8:《选择性必修三》P35,9,棕合创作. 19 《必修二》P53.11为源头的组合改端 单项选择题 1A 2.B 3.D 4A 5.c 6.C 7.D 8.B 二、多项选择题 9.BD 10.ABC 11ABD 三、填空题 1390(暖 14.62 四、解答题 15.解：(1)在△4BC中，由csin B+√56cosC=0及正弦定理，得sinCsin B.+√5 sin BeosC=0, 而8e0,mB>0,则amC=5,又Ce0,,所以C-2 3 .(6分) (2)在A8C中，由余弦定理得ear,-2油mC,面C=音 因此28=16+b2+4h,又b>0.解得b=2, 所以△4BC的面积3ar=absinC=x2x4x5 25.(13分) 16解：当a=1时，f间=+lhr-x+2,(c>0,了e=r+片，f0=l,f0=l 所以了(x)的图象在x=1处的切线方程为：y=x.(7分) (2)f()=r++1-a,若函数到在L,+四)上单调递增。 则f因≥0对于x∈L,+四)相成立，即a≤r++1对于rea+o)成立 令g钊=r+1>小.当>1时，g)-号>0，则函数g)在红，+四)止单调递增，所以 g(x)>g(0)=2,故a≤2.(15分) 17.解：(1)：PA、PB、PC与底面ABC成相等的角，设P在面ABC上射影为O,则有 ∠PMO=∠PBO=∠PCO.∴.△PAO≌△PBO≌△PCO. .PA=PB=PC且OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心 :△ABC是直角三角形，且O是斜边BC的中点，：O点和D点重合， 即PD⊥面ABC,(7分) (2)法一：由(1)PD⊥平面ABC,.PD⊥AD 又：AD⊥BC,,AD⊥平面PBC,PB⊥AD(亦可由三垂线定理说明)①. AB=AC=2且∠BAC=90,.BC=2N5.又PB=PC=2, △BPC也是等腰直角三角形，∠BPC=90,·PB⊥PC, :PC∥截而EAD,过PC的平而PBC与平而EAD交于ED, ,PC∥ED, PB⊥ED②，由①②得：PB⊥平面EAD,∴P点到平面E4D的距 离即PE, PB=AB=2,且由PC∥ED知E是PB中点， :PE=号x2=l.P点到平面EAD的距离为1. 2 :PC∥平面EAD,∴PC到平而EAD的距离即为P点到面EAD的距离，即为1， 法二：PC∥截面EAD,过PC的平面PBC与平面EAD交于ED,∴.PC∥ED :D是BC中点，六E是PB中点，六DE=PC=PB=1 由(1)PD⊥平面ABC,.PD⊥AD,又：AD⊥BC,·AD⊥平面PBC, ÷AD1DE,且AD=BC=5, .。=×√2x1=,+5am-气Su 2 2 2,旺吧归 2 设C点到面E4D的距离为h,Seh=SmEF,:6=lk5 2 h=1 :PC∥平面EAD,∴PC到平面EAD的距离即为C点到面EAD的距离，即为1. 方法三：建系，正确即可，此处略.(15分) 18.解：(1)由已知：41-1-2024a。-2024=2024(a,-) 又~a,-1=2024,a,-1=2024-2024=2024,a.=2024"+1.(6分) (2))由二项式定理， 0.=(2025-1y+1-2025"-C20251+C220252-…-C。2025+(-1y”+1, a.要能被2025整除，需(-1)°+1=0(n∈N),则n=1.3,5.7.…为正奇数。(10分) 且白是无穷数列，奇数项和偶数项一样多，所以随机抽取一项能被2025整除的概事是) 且每次抽取相互独立，5-B00宁.B9=10兮5.（B分) (m设中奖概率为P, 则P=1-5=0-G=-P5=2=1-”-C”-c =1-1+10+45.1-56 20 >90%,所以规定合理。 (17分 1024 (注：第(2))问需完全归钠推理，如二项式定理数学归纳法或其它方法均可如果是通过强力计算 前几项发现奇数项能被2025整除的规律的，属于不完全归钠，得2分) 19.解：(1)证明：经过逆时针旋转0到P'后，角a+8终边与OP'重合， x=rcos(a+0)=rcosa cos0-rsinasin0=xcos0-ysin, y =rsin(a+0)=rsina cos+rcosasin0=ycos0+xsin,. (4分) (2)法一：直接求离心率（抓住离心率与渐近线夹角即双曲线开口宽阔程度相关的本质） 易知曲找C的渐近找是y=5,与)y轴，它们夹角为二，顺时针旋转回去后两新近线夹角仍为 3 2w5 段鱼线C的离心率为e,则e=:m岛- (10分) 3 法二：先求双曲线标准方程，再求离心率（轨迹思想，旋转不改变形状） 曲线C上一点为P飞，迪时针旋转号后的点Pg)在了号x+的图泉 由1)知：x'=x-E 2 宁+夏，若将以上坐标代入y点4上科。 3 1.5 2 1.5 2 2 化简即得曲线C的方程： 1 2W5 252 由于旋转不改变形状，所以曲线C的离心率为25 (10分) 3 (3)法一：先求标准椭圆方程 选择一：用第(2)问法二的方法求（略）： 选择二：由y=x与2+y2-=1交点为1,1)和(-1，-1)，则a2=2 所以心一兮从商可得格圆方程为号+兰1，点Q旋转后的坐标为列 4 22 o. (12分 当直线4旋转后斜率不存在时， 叫9，品高2 当直线（旋转后斜率存在时。设直线旋转后为=网+25，黄转后M任，为小、N小。 3 2W5 与稀圆方程号，3江 式■而+ 2+2 =1联立，即 x23y2 3.可得3(m2+3到>2+4W3my-2=0, +2 1 43m 2 月+乃= 3m+3 = 3到m+3 221+m2） N=V+m片+为)-4为 (14分) (m2+3) 设直线人旋转后为少=一m,代入畅圆方程二，3买 =1中 2 p啡p 有，2 1+3m,(16分) 5,1 5(m2+33m42.(17分) “o62m+2m订 法二：不求标准椭圆方程，直接从斜椭圆入手 使直线4：y号--引小Ne小与斜精周后+广-可联立 9-4---号1. x2+y2-=1 522-3k+1 2-2-月 万-k+1 3 -k+1 ∴=+6+-4] + 522-3装+1 224 E+k） 5k-k+1 -4×3-k+ k-k+门 (14分) 设省线：少归-之，代入斜椭圆+-山，有+京+=， (16分) k2 2+1 互1=2-k+1++=2.（17分) 中b旷“+k有故mo所+1