4.5 全等三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·贵州数学 　 第 四 章 三 角 形 命题点 5　 全等三角形的性质与判定(必考) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 考向 1　 全等三角形的性质 1. 如图,△DBC≌△ECB,且 BE 与 CD 相交于点 A,下列结论错误的是 (　 　 ) A. BE=CD B. AB=AC C. ∠D= ∠E D. BD=AE 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 名师原创 如图,△ABC≌△ADE,且点 D 在线 段 BC 上. 若∠E= 30°,∠B= 70°,则∠DAC= (　 　 ) A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 考向 2　 全等三角形的判定(必考,在四边形解答题 或几何压轴题中考查) 3. [北师七下 P96 习题 5 改编]数学活动课上,小星 制作了一个燕尾形的风筝. 如图,AD = CD, ∠ADB= ∠CDB,他准备用刻度尺量 AB 和 BC 的长是否相等. 小英却说:“不用再测量,因为 △ABD≌△CBD,所以 AB =BC. ”小英用到的 判定三角形全等的方法是 (　 　 ) A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 易错 ∙∙ [2024 安顺关岭县期末]用直尺和圆规过直 线 l 外一点 P 作已知直线的平行线,如图能得 出∠1 = ∠2 的依据是 (　 　 ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5. [2024 黔西南州期末]一名工作人员不慎将一块 三角形模具打碎成了如图所示的四块,他需 要去商店再配一块与原来大小和形状完全相 同的模具. 现只能拿两块去配,其中可以配出 符合要求的模具的是 (　 　 ) 第 5 题图 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 6. [2024 宜宾]如图,点 D,E 分别是等边三角形 ABC 边 BC,AC 上的点,且 BD = CE,BE 与 AD 交于点 F. 求证:AD=BE. 第 6 题图 7. [2024 陕西]如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 和点 F 在边 BC 上,且 BE=CF,求证:AF=DE. 第 7 题图 8. [2024 遵义绥阳县期末]如图,将一块三角板放 在正方形 ABCD 上,使直角顶点与点 D 重合, 三角板的一边交 AB 于点 P,另一边交 BC 的 延长线于点 Q. 求证:AP=CQ. 第 8 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 65 分层作业本·贵州数学 　 第 四 章 三 角 形 9. [2024 黔南州一模]如图,在矩形 ABCD 中,AD> AB,点 E 是线段 AD 上一点,且 ED = AB,BE⊥ EF. 求证:△AEB≌△DFE. 第 9 题图 10. [人教八上 P38 例 2 改编]综合与实践:活动小 组为测量池塘两端 A,B 的距离,三位同学分 别设计出如下三种方案: ①小华:如图①,先在平地上取一个点 C,从 点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和 B. 连接 AC 并延长到点 D,使 DC = CA,连接 BC 并延长到点 E,使 CE =CB,连接 DE,量 出 DE 的长即为 A,B 的距离. ②小欣:如图②,先过点 B 作 AB 的垂线 BF, 在 BF 上取 C,D 两点,使 BC = CD,再过点 D 作 BD 的垂线 DE,交 AC 的延长线于点 E,则量出 DE 的长即为 A,B 的距离. ③小彤:如图③,过点 B 作 AB 的垂线 BE,在 BE 上取一点 D,连接 AD,然后在 AB 的延 长线上取一点 C,连接 CD,使 ∠BDC = ∠BDA. 这时只要量出 BC 的长即为 A,B 的距离. 图① 图② 图③ 第 10 题图 (1) 以上三位同学设计的方案中可行的 是　 　 　 　 ; (2)请任选 1 个你认为可行的方案证明. 11. [2016 贵阳 18 题改编]如图,射线 AB 和射线 CB 相交于点 B,∠ABC = α(0°<α<180°),且 AB=CB,点 D 是射线 CB 上的动点(点 D 不 与点 C 和点 B 重合),作射线 AD,并在射线 AD 上取一点 E,使∠AEC=α,连接 CE,BE. (1)如图①,当点 D 在线段 CB 上,α= 60°时, 在 AD 上截取 AF = CE,连接 BF,证明: △ABF≌△CBE,请求∠AEB 的度数,探 究线段 AE,BE,CE 之间的数量关系; (2)如图②,当点 D 在线段 CB 上,α= 90°时, 请写出∠AEB 的度数,探究线段 AE,BE, CE 之间的数量关系,并说明理由. 图① 　 　 　 图② 第 11 题图 温馨提示:利用等角构造全等或相似见《专项培 优练》P18 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 75 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 AB2 = BC2 , ∴ △ABC 是 直 角 三 角 形, ∵ AD ⊥ BC, ∴ S△ABC = 1 2 AC·AB = 1 2 BC·AD,∴ 5 × 2 5 = 5AD,∴ AD= 2. 11. 解:如解图. (答案不唯一) (1) 图① 　 　 　 (2) 图② (3) 图③ 第 11 题解图 12. 3 3 　 【解析】解法 1:如解图①,延长 EB,作∠EGD = 60°,∵ ∠DGE = ∠ECF = ∠DEF = 60°,∴ ∠DEG+∠FEC = ∠EFC+ ∠FEC = 120°,∴ ∠DEG = ∠EFC,又∵ ED = EF,∴ △DEG≌△EFC(AAS),∴ CE=GD,CF=GE,∵ BD = 6,∴ BG = 3 3 BD = 2 3 ,DG = 2BG = 4 3 ,∵ ∠A = 30°, ∠ABC= 90°,∴ BC= 3 3 AB= 3 3 ×15 = 5 3 ,BE =BC-CE = 3 ,CF=GE=BE+BG= 3 3 . 图① 　 　 　 图② 第 12 题解图 解法 2:如解图②,作 EH⊥AC 于 H,∵ △DEF 是等边三 角形,∴ ∠DEF= 60°,DE=EF,∵ ∠A= 30°,∠B = 90°,∴ ∠C= 90°-∠A= 60°,∵ ∠BED+∠DEF = ∠C+∠EFH,∴ ∠BED= ∠EFH,∵ ∠B= ∠EHF= 90°,DE=EF,∴ △EFH ≌△DEB(AAS),∴ FH=BE,EH=BD= 6,∴ HC= 3 3 EH = 2 3 ,∴ CE = 2CH = 4 3 ,∵ ∠A = 30°,∠B = 90°,∴ BC = 3 3 AB= 3 3 × 15 = 5 3 ,∴ BE = BC-CE = 3 ,∴ CF = FH+ CH= 3 +2 3 = 3 3 . 13. 2+ 2 　 【解析】解法 1:如解图①,过点 A 分别作 AD⊥ AC,交 BC 于点 D,作 AE⊥BC 于点 E,∵ ∠C = 45°,∴ △ADC 是等腰直角三角形,∴ AD = AC = 2,∠ADC = 45°, CD= 2AC = 2 2 ,∵ ∠ADC = ∠B+∠BAD,∠B = 22. 5°, ∴ ∠DAB= 22. 5° = ∠B,∴ AD = BD = 2,∵ AD = AC,AE⊥ CD,∴ DE=CE,∴ AE= 1 2 CD= 2 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AE = 1 2 ×(2+2 2 ) × 2 = 2+ 2 . 图① 图② 第 13 题解图 解法 2:如解图②,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥CA 交 CA 的延长线于点 E,∴ ∠BEA= ∠ADC= 90°, ∵ ∠C= 45°,∴ △EBC 是等腰直角三角形,∴ ∠EBC = ∠C= 45°,∵ ∠ABC = 22. 5°,∴ ∠ABE = ∠ABC = 22. 5°, ∴ BA 平分∠EBD,又∵ AC = 2,∴ AE = AD = AC·sin45° = 2 ,∴ BE=CE= 2+ 2 ,∴ S△ABC = 1 2 AC·BE= 2+ 2 . 解法 3:如解图③,过点 C 作 CD⊥BC 交 BA 的延长线于 点 D,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,则∠CAD = ∠B+∠ACB = 67. 5°,∠D = 90°-∠B = 67. 5°,∠ACE = 45°,∴ ∠CAD = ∠CDA= 67. 5°,∴ CD=AC= 2,AE =CE = 2 ,∴ DE =CD -CE= 2- 2 ,∵ DC⊥BC,AE⊥DC,∴ AE∥BC,∴ △DAE ∽△DBC,∴ AE BC =DE DC ,∴ 2 BC = 2 - 2 2 ,BC= 2 2 +2,∴ S△ABC = 1 2 BC·CE= 2+ 2 . 第 13 题解图③ 命题点 5　 全等三角形的性质与判定 1. D　 2. B　 3. A 4. A　 【解析】如解图,连接 AB,CD,根据作图过程可知,OA =OB=PC=PD,AB=CD,∴ △OAB≌△PCD(SSS) . 第 4 题解图 5. B 6. 证明:∵ △ABC 为等边三角形, ∴ ∠ABD= ∠C= 60°,AB=BC, 在△ABD 和△BCE 中, AB=BC, ∠ABD= ∠C, BD=CE, { ∴ △ABD≌△BCE(SAS), ∴ AD=BE. 7. 证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ AB=DC,∠B= ∠C= 90°, ∵ BE=CF, ∴ BE+EF=CF+EF,即 BF=CE, 在△ABF 和△DCE 中, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 　 AB=DC, ∠B= ∠C, BF=CE, { ∴ △ABF≌△DCE(SAS), ∴ AF=DE. 8. 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠A= ∠DCQ= 90°,AD=CD, ∵ ∠ADC= ∠PDQ= 90°, ∴ ∠ADP= ∠CDQ. 在△ADP 与△CDQ 中, ∠DAP= ∠DCQ, AD=CD, ∠ADP= ∠CDQ, { ∴ △ADP≌△CDQ(ASA), ∴ AP=CQ. 9. 证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ ∠A= ∠D= 90°, ∴ ∠ABE+∠AEB= 90°, ∵ BE⊥EF, ∴ ∠DEF+∠AEB= 90°, ∴ ∠DEF= ∠ABE, ∵ ED=AB, ∴ △AEB≌△DFE(ASA) . 10. 解:(1)①,②,③; (2)①选小华同学的方案: 在△ABC 和△DEC 中, CA=CD, ∠ACB= ∠DCE BC=EC, { , ∴ △ABC≌△DEC(SAS),∴ AB=CD, ∴ 小华同学的方案可行; ②选小欣同学的方案: 在△ABC 和△EDC 中, ∠ABC= ∠EDC= 90°, BC=DC, ∠ACB= ∠ECD, { ∴ △ABC≌△EDC(ASA),∴ AB=DE, ∴ 小欣同学的方案可行; ③选小彤同学的方案: 在△ABD 和△CBD 中, ∠ABD= ∠CBD= 90°, BD=BD, ∠BDA= ∠BDC, { ∴ △ABD≌△CBD(ASA)∴ AB=BC, ∴ 小彤同学的方案可行. 11. 解:(1)∵ ∠ABC= ∠AEC= 60°,∠ADB= ∠CDE, ∴ ∠A= ∠C, 在△ABF 和△CBE 中, AB=CB, ∠A= ∠C, AF=CE, { ∴ △ABF≌△CBE(SAS), ∴ BF=BE,∠ABF= ∠CBE, ∴ ∠CBE+∠FBD = ∠ABF+∠FBD,即∠FBE = ∠ABC = 60°,∴ △BFE 为等边三角形, ∴ BF=BE=EF, ∴ ∠AEB= 60°,AE=AF+EF=CE+BE; (2)∠AEB= 45°,AE= 2BE+CE. 理由:如解图,在 AD 上截取 AF=CE,连接 BF, 第 11 题解图 同理可证△ABF≌△CBE, ∴ BF=BE,∠ABF= ∠CBE, ∴ ∠CBE + ∠FBD = ∠ABF + ∠FBD,即∠FBE= ∠ABC= 90°, ∴ ∠AEB= 45°,EF= 2BE, ∴ AE=EF+AF= 2BE+CE. 命题点 6　 相似三角形(含位似) 1. 12　 2. A　 3. C　 4. 80　 5. 4 ∶9 6. B　 变式 6-1　 A　 变式 6-2　 24 变式 6-3　 A　 【解析】设 DC=a,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥CE,∠ADC= ∠DCB = 90°,∵ ∠DAC = 30°,AD = 3 CD = 3 a,∵ ∠DEC = 45°,∴ CE = DC tan45° = a, ∵ AD∥CE, ∴ ∠DAF= ∠FCE,∠ADF = ∠DEC,∴ △ADF∽△CEF,∴ AF FC =AD CE = 3 a a = 3 . 7. 8　 8. 22. 8 9. 解:(1)添加 AC=BC,(添加的条件不唯一) 证明:∵ AC=BC,∴ ∠A= ∠B, ∵ ∠A= ∠CDE,∠CDB= ∠A+∠ACD= ∠CDE+∠BDE, ∴ ∠ACD= ∠BDE, ∴ △ACD∽△BDE; (2)∵ △ACD∽△BDE, ∴ AC BD =AD BE ,∴ 4 8-AD =AD 3 , 解得 AD= 2 或 6, ∴ A,D 两点之间的距离为 2 或 6. 10. (1)( -1,0),1 ∶2;(2)(6,6) 11. 1　 【解析】∵ △ABC,△BDE 都是等边三角形,∴ ∠ABC = ∠C = ∠EBD = ∠E = 60°, BE = BD = 3, AC = BC, ∴ ∠DBC= ∠FBE,∴ △DBC∽△FBE,∵ 点 D 是等边三角 形 ABC 中 AC 边上靠近点 C 的三等分点,∴ BE EF = BC CD = AC CD = 3 1 ,∴ EF= 1 3 BE= 1. 12. 解:(1) 1 2 　 【解法提示】∵ AB∥CD,∴ △AEB∽△DEC, ∴ BE CE = AB CD ,∵ AB= 1,CD= 2,∴ BE CE = 1 2 ; (2)①如解图①,点 F 即为所求; ②如解图②,点 M 即为所求. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32