4.4 直角三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·贵州数学 　 第 四 章 三 角 形 命题点 4　 直角三角形的性质与判定(必考) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 考向 1　 直角三角形的性质(必考,在几何题中涉及 考查) 1. 学科融合 [2023 江西]如图,平面镜 MN 放置在 水平地面 CD 上,墙面 PD⊥CD 于点 D,一束 光线 AO 照射到镜面 MN 上,反射光线为 OB, 点 B 在 PD 上,若∠AOC = 35°,则∠OBD 的度 数为 (　 　 ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. [2023 株洲]一技术人员用刻度尺(单位:cm) 测量某三角形部件的尺寸. 如图所示,已知 ∠ACB= 90°,点 D 为边 AB 的中点,点 A,B 对 应的刻度分别为 1,7,则 CD= (　 　 ) A. 3. 5 cm B. 3 cm C. 4. 5 cm D. 6 cm 3. 多解法 ∙∙∙ 数学文化 [2023 扬州]我国汉代数学家 赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方 图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由 4 个全 等的直角三角形和一个小正方形组成. 如图, 直角三角形的直角边长为 a,b,斜边长为 c,若 b-a = 4, c = 20,则每个直角三角形的面积 为　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. [北师八下 P34 第 11 题改编]如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC= 6,BC= 8,AB 的垂直平分线分 别交 AB,BC 于点 D,E,则 CE 的长为　 　 　 　 . 变式 4-1 [2024 遵义模拟改编]在上题的 Rt△ABC 中,如图,若点 D,E 分别是边 AB,BC 上的点, 将△ABC 沿着直线 DE 折叠,若顶点 B 的对应 点 B′落在直角边 AC 的中点上, 则 BE 的 长为　 　 　 　 . 变式 4-1 题图　 　 第 5 题图 5. [北师八上 P19 第 13 题改编]小星家因装修,准 备用电梯搬运一些木条上楼,如图,已知电梯 的长、宽、高分别是 1. 6 m,1. 2 m,2 m,那么电 梯内能放入下列木条中的最大长度是 (　 　 ) A. 3 m B. 2. 8 m C. 2. 4 m D. 2 m 6. [ 2024 遵义月考] 如图, 在四边形 ABCD 中, ∠ABC= ∠ADC = 90°,分别以四边形的四条边 为边向外作四个正方形,面积依次为 S1,S2, S3,S4,下列结论正确的是 (　 　 ) 第 6 题图 A. S3 +S4 = 4(S1 +S2) B. S1 -S2 =S3 -S4 C. S4 -S1 =S3 -S2 D. S4 -3S1 =S3 -3S2 考向 2　 含 30°、45°角的直角三角形(每年涉及考 查至少 2 道) 7. [ 2024 黔东南期末] 如图, 已知 Rt △ABC 中, ∠ACB= 90°,CD 是高,∠A= 30°,BD= 2 cm,则 AB 的长是 (　 　 ) 第 7 题图 A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 分层作业本·贵州数学 　 第 四 章 三 角 形 变式 7-1 如图,△ABC 中,∠C = 90°,AC = BC, AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E 且 AB= 6 cm,则△DEB 的周长为 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 变式 7-1 题图　 　 　 变式 7-2 题图 变式 7-2 如图,等腰直角三角形 ABC 中,∠C = 90°,D 是 BC 上一点,AD = 2CD,则∠DAB 的 度数是 (　 　 ) A. 22. 5° B. 20° C. 15° D. 30° 变式 7-3 如图, 在 △ABC 中, DE = 　 3 , ∠B = 45°,∠ACB= 60°,AD⊥BC 于点 D,∠ACD 的 平分线交 AD 于点 E,则 AB 的长为 (　 　 ) 变式 7-3 题图 A. 3 2 B. 3 3 C. 3 6 D. 4 3 考向 3　 直角三角形的判定 8. [2024 遵义月考]在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的 对边分别是 a,b,c,下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是 (　 　 ) A. ∠C= ∠A+∠B　 B. ∠A= 35°,∠B= 65° C. (b+c)(b-c)= a2 D. a= 3,b= 4,c= 5 9. [2024 贵州 14 题改编]如图,在△ABC 中,AB = CB,∠ABC= 45°,以点 A 为圆心,AB 长为半径 画弧交射线 BC 于点 D. 若 AB = 2,则 CD 的长 为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. [2024 贵阳修文县一模]如图是由边长为 1 的 小正方形组成的网格,△ABC 的顶点 A,B,C 均在格点上. 若 AD⊥BC 于点 D,则线段 AD 的长为 (　 　 ) A. 5 　 　 B. 2 　 5 　 　 C. 1　 　 D. 2 11. [2020 贵阳 16 题 8 分]如图,在 4×4 的正方形 网格中,每个小格的顶点叫作格点,以格点 为顶点分别按下列要求画三角形: (1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三 边长都是有理数; (2)在图②中,画一个直角三角形,使它的一 边长是有理数,另外两边长是无理数; (3)在图③中,画一个直角三角形,使它的三 边长都是无理数. 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 11 题图 12. 模型思维 多解法 ∙∙∙ [2024 遵义绥阳县期末]如图, 在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,∠A= 30°,AB= 15, 点 D,E,F 分别在边 AB,BC,AC 上,连接 DE, EF,DF,若 BD = 6,且△DEF 是等边三角形, 则 CF= 　 　 　 　 . 第 12 题图 温馨提示:一线三等角模型见《专项培优练》P6 13. 转化思维 多解法 ∙ ∙ ∙ 如图,在 △ABC 中, ∠B = 22. 5°,∠C= 45°,若 AC = 2,则△ABC 的面积 是　 　 　 　 . 第 13 题图 温馨提示:三角形中存在二倍角的构造方法见 《专项培优练》P17 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 55 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 　 ∴ DB= 4,∴ CD = BC = 4,AB = BD2 -AD2 = 42 -22 = 2 3 ,∴ 四边形 ABCD 的周长为 AB+BC+CD+DA= 2 3 +4 +4+2 = 2 3 +10. 12. D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,BD 是 AC 上的中 线,∴ BD⊥AC,CD = AD,∠CBD = 30°,∴ ∠ADB = ∠CDB = 90°,∵ ∠ACB = ∠CDE+ ∠DEC = 60°,又∵ CD = CE = AD,∴ ∠CDE = ∠DEC = 30°,∴ ∠CBD = ∠DEC,∴ BD = DE, ∠BDE= ∠CDB+∠CDE = 120°,所以这四项都是正 确的. 13. 1　 【解析】如解图,连接 AP,则 S△ABC = S△ACP + S△ABP, ∵ PE⊥AB,PF⊥AC,∴ S△ACP = 1 2 AC·PF,S△ABP = 1 2 AB· PE.又∵ S△ABC = 1,AB =AC = 2,∴ 1 = 1 2 AC·PF+ 1 2 AB· PE,即 1 = 1 2 ×2PF+ 1 2 ×2PE,∴ PE+PF= 1. 第 13 题解图 14. 99°或 108°或 116°　 【解析】当三角形是直角三角形时, 肯定可以分割成两个等腰三角形,此时最大角为 90°;如 解图①、解图②,一个内角是另一个内角的 3 倍时,三角 形可分割成两个等腰三角形,此时最大角为 99°或 116°; 如解图③,以 48°为底角构造等腰三角形,再向外侧构造 等腰三角形,此时最大角为 108°. 综上所述,最大角为 90°或 99°或 116°或 108°,∵ ∠C 为钝角,∴ ∠C 的度数 为 99°或 108°或 116°. 图① 　 　 图② 图③ 第 14 题解图 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 1. C　 2. B 3. 96　 【解析】解法 1:由题图可得,a2 +b2 = c2 ,将 b-a = 4,c= 20 代入可得 a2 +(a+4) 2 = 400,解得 a = 12 或 a = -16(不 合题意,舍去),∴ b = 16,∴ 每个直角三角形的面积为 1 2 ab= 1 2 ×12×16 = 96. 解法 2:∵ b-a= 4,∴ 小正方形的面积为 4×4 = 16,大正方 形的面积为 c2 = 400,∴ 每个直角三角形的面积为 1 4 × (400-16)= 96. 4. 7 4 　 【解析】如解图,连接 AE,设 CE= x,则 BE= 8-x,由题 意得 AE=BE= 8-x,在 Rt△ACE 中,CE2 +AC2 =AE2 ,即 x2 + 62 = (8-x) 2 ,解得 x= 7 4 . 第 4 题解图 变式 4-1　 73 16 　 【解析】 ∵ 点 B′落在 AC 的中点,∴ CB′ = 1 2 AC= 3,设 BE= x,则 CE= 8-x,由折叠的性质得 B′E=BE = x,在 Rt△CEB′中,CE2 +B′C2 = B′E2 ,即(8-x) 2 + 32 = x2 , 解得 x= 73 16 . 5. B　 【解析】如解图,根据勾股定理 AB2 = 1. 62 + 1. 22 = 4, AC2 =AB2 +BC2 = 4+4 = 8,故 AC= 2 2 ≈2. 8. 第 5 题解图 6. B　 7. C 变式 7- 1 　 B 　 【解析】 ∵ DE⊥AB, ∴ ∠C = ∠AED = 90°, ∵ AD 平分∠CAB, ∴ ∠CAD = ∠EAD,在△ACD 和△AED 中, ∠C= ∠AED ∠CAD= ∠EAD AD=AD { , ∴ △ACD ≌ △AED ( AAS), ∴ AC = AE,CD=DE,∴ BD+DE = BD+CD = BC = AC = AE,BD+DE+ BE=AE+BE=AB= 6,∴ △DEB 的周长为 6 cm. 变式 7-2　 C　 【解析】∵ △ABC 为等腰直角三角形,且∠C= 90°,∴ ∠CAB = 45°,在 Rt△ACD 中,∵ AD = 2CD, ∠C = 90°,∴ ∠CAD= 30°,∴ ∠DAB= ∠CAB-∠CAD= 15°. 变式 7-3　 C　 【解析】∵ AD⊥BC,∠B = 45°,∠ACB = 60°, ∴ ∠BAD= 90°-∠B= 45°,∠CAD= 90°-∠ACB= 30°,∴ AD = BD, ∵ CE 是 ∠ACB 的平分线, ∴ ∠DCE = ∠ACE = 1 2 ∠ACB= 30°,∴ ∠CAD = ∠ACE,∴ AE = CE,在Rt△CDE 中,DE= 3 ,∠DCE = 30°,∴ CE = 2DE = 2 3 ,∴ AE = CE = 2 3 ,∴ AD=AE+DE= 3 3 ,BD = 3 3 ,在 Rt△ABD 中,由勾 股定理,得 AB= AD2 +BD2 = 3 6 . 8. B　 9. 2 2 -2 10. D　 【解析】由勾股定理,得 AC2 = 22 +12 = 5,AB2 = 22 +42 = 20,BC2 = 32 + 42 = 25,∴ AC = 5 ,AB = 2 5 ,BC = 5,AC2 + 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 AB2 = BC2 , ∴ △ABC 是 直 角 三 角 形, ∵ AD ⊥ BC, ∴ S△ABC = 1 2 AC·AB = 1 2 BC·AD,∴ 5 × 2 5 = 5AD,∴ AD= 2. 11. 解:如解图. (答案不唯一) (1) 图① 　 　 　 (2) 图② (3) 图③ 第 11 题解图 12. 3 3 　 【解析】解法 1:如解图①,延长 EB,作∠EGD = 60°,∵ ∠DGE = ∠ECF = ∠DEF = 60°,∴ ∠DEG+∠FEC = ∠EFC+ ∠FEC = 120°,∴ ∠DEG = ∠EFC,又∵ ED = EF,∴ △DEG≌△EFC(AAS),∴ CE=GD,CF=GE,∵ BD = 6,∴ BG = 3 3 BD = 2 3 ,DG = 2BG = 4 3 ,∵ ∠A = 30°, ∠ABC= 90°,∴ BC= 3 3 AB= 3 3 ×15 = 5 3 ,BE =BC-CE = 3 ,CF=GE=BE+BG= 3 3 . 图① 　 　 　 图② 第 12 题解图 解法 2:如解图②,作 EH⊥AC 于 H,∵ △DEF 是等边三 角形,∴ ∠DEF= 60°,DE=EF,∵ ∠A= 30°,∠B = 90°,∴ ∠C= 90°-∠A= 60°,∵ ∠BED+∠DEF = ∠C+∠EFH,∴ ∠BED= ∠EFH,∵ ∠B= ∠EHF= 90°,DE=EF,∴ △EFH ≌△DEB(AAS),∴ FH=BE,EH=BD= 6,∴ HC= 3 3 EH = 2 3 ,∴ CE = 2CH = 4 3 ,∵ ∠A = 30°,∠B = 90°,∴ BC = 3 3 AB= 3 3 × 15 = 5 3 ,∴ BE = BC-CE = 3 ,∴ CF = FH+ CH= 3 +2 3 = 3 3 . 13. 2+ 2 　 【解析】解法 1:如解图①,过点 A 分别作 AD⊥ AC,交 BC 于点 D,作 AE⊥BC 于点 E,∵ ∠C = 45°,∴ △ADC 是等腰直角三角形,∴ AD = AC = 2,∠ADC = 45°, CD= 2AC = 2 2 ,∵ ∠ADC = ∠B+∠BAD,∠B = 22. 5°, ∴ ∠DAB= 22. 5° = ∠B,∴ AD = BD = 2,∵ AD = AC,AE⊥ CD,∴ DE=CE,∴ AE= 1 2 CD= 2 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AE = 1 2 ×(2+2 2 ) × 2 = 2+ 2 . 图① 图② 第 13 题解图 解法 2:如解图②,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥CA 交 CA 的延长线于点 E,∴ ∠BEA= ∠ADC= 90°, ∵ ∠C= 45°,∴ △EBC 是等腰直角三角形,∴ ∠EBC = ∠C= 45°,∵ ∠ABC = 22. 5°,∴ ∠ABE = ∠ABC = 22. 5°, ∴ BA 平分∠EBD,又∵ AC = 2,∴ AE = AD = AC·sin45° = 2 ,∴ BE=CE= 2+ 2 ,∴ S△ABC = 1 2 AC·BE= 2+ 2 . 解法 3:如解图③,过点 C 作 CD⊥BC 交 BA 的延长线于 点 D,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,则∠CAD = ∠B+∠ACB = 67. 5°,∠D = 90°-∠B = 67. 5°,∠ACE = 45°,∴ ∠CAD = ∠CDA= 67. 5°,∴ CD=AC= 2,AE =CE = 2 ,∴ DE =CD -CE= 2- 2 ,∵ DC⊥BC,AE⊥DC,∴ AE∥BC,∴ △DAE ∽△DBC,∴ AE BC =DE DC ,∴ 2 BC = 2 - 2 2 ,BC= 2 2 +2,∴ S△ABC = 1 2 BC·CE= 2+ 2 . 第 13 题解图③ 命题点 5　 全等三角形的性质与判定 1. D　 2. B　 3. A 4. A　 【解析】如解图,连接 AB,CD,根据作图过程可知,OA =OB=PC=PD,AB=CD,∴ △OAB≌△PCD(SSS) . 第 4 题解图 5. B 6. 证明:∵ △ABC 为等边三角形, ∴ ∠ABD= ∠C= 60°,AB=BC, 在△ABD 和△BCE 中, AB=BC, ∠ABD= ∠C, BD=CE, { ∴ △ABD≌△BCE(SAS), ∴ AD=BE. 7. 证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ AB=DC,∠B= ∠C= 90°, ∵ BE=CF, ∴ BE+EF=CF+EF,即 BF=CE, 在△ABF 和△DCE 中, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22